高考数学构造函数法解决导数不等式问题

构造函数法解决导数不等式问题在函数中解决抽象函数问题首要的前提是对函数四种基本性质的熟练掌握，导数是函数单调性的延伸，如果把题目中直接给出的增减性换成一个f'(x),则单调性就变的相当隐晦了，另外在导数中的抽象函数不等式问题中，我们要研究的往往不是f(x)本身的单调性，而是包含f(x)的一个新函数的单调性，因此构造函数变的相当重要，另夕卜题目中若给出的是f'(x)的形式，则我们要构造的则是一个包含f(x)的新函数，因为只有这个新函数求导之后才会出现f'(x)，因此解决导数抽象函数不等式的重中之重是构造函数。例如：f'(x)>0,则我们知道原函数f(x)是单调递增的，若f'(x)+1>0，我们知道g(x)二f(x)+x这个函数是单调递增的，因此构造函数的过程有点类似于积分求原函数的过程，只不过构造出的新函数要通过题目中给出的条件能判断出单调性才可。既然是找原函数，那么就可能遇上找不到式子的原函数的时候，但是我们判断单调性只需要判断导函数的正负即可，例如g(x)的原函数是不能准确的找到的，但是如果我们知道一个式子的导函数里面包含g(x),则也能大致将那个函数看成是原函数，例如m'(x)二型，或者m(x)的导函数中包含一个能判断符号的式子和g(x)相乘或x相除的形式，我们也可以将m(x)大致看成g(x)的原函数。构造函数模型总结：关系式为“加”型：⑴f'(x)+f(x)>0构造[exf(x)]'二ex[f'(x)+f(x)](2)xf'(x)+f(x)>0构造[xf(x)]'二xf'(x)+f(x)(3)xf'(x)+nf(x)>0构造[xnf(x)]'=xnf'(x)+nx«-1f(x)=x«-i[xf'(x)+nf(x)](注意对x的符号进行讨论)关系式为“减”型f'(x)-f(x)>0构造[ex(ex)2exxf'(x)-f(x)>0构造[凹]'=xf'(x)-f(x)xx2(3)xf(x)-nf(x)>0构造［竺］'=也x)二竺”(x)=对'(x)-nf(x)Xn(Xn)2Xn+1(注意对x的符号进行讨论)例1•设f(x),g(x)是R上的可导函数，f'(x),g'(x)分别是f(x),g(x)的导函数，且满足f'(x)g(x)+f(x)g'(x)<0，则当a<x<b时，有()A.f(a)g(b)>f(b)g(a)B.f(a)g(a)>f(a)g(b)C.f(a)g(a)>f(b)g(b)D.f(a)g(a)>f(b)g(a)解析：因为f'(x)g(x)+f(x)g'(x)<0不等式左边的原函数为f(x)g(x)，因此需要构造新函数，令h(x)二f(x)g(x)，可知h'(x)<0，则函数h(x)是单调递减函数，因此当a<x<b，有h(a)>h(b)即答案选C。变式：设f(x),g(x)是R上的可导函数，f'(x)g(x)+f(x)g'(x)<0，g(—3)=0，求不等式f(x)g(x)<0的解集。解析：同上题f'(x)g(x)+f(x)g'(x)的原函数为f(x)g(x)，构造新函数h(x)二f(x)g(x)可知h'(x)<0，h(x)单调递减，又因为g(—3)二0即h(—3)二0，所以f(x)g(x)<0的解集是(—3,+8)例2•已知定义为R的奇函数f(x)的导函数为f'(x)，当x丰0时，f'(x)+>0，x111右a二-f(-),b=—2f(—2),c二ln-f(ln2)，则下列关于a,b,c的大小关系正确的222是()A.a>b>cB.a>c>bC.c>b>aD.b>a>c解析：着眼点是f'(x)+竺>0，对'(x)+f(x)>0，则试图找出不等式左边这部分xx的原函数或者某个函数的导函数的一部分是不等式左边，设h(x)二xf(x)，则h'(x)二xf'(x)+f(x)，当x>0时"'(x)+f(x)>0，h'(x)>0，当x<0时，x对'(力+f(力>0，h'(x)<0，因此h(x)二妙(x)是左减右增的函数，因此xb二—2f(—2)>c二In1f(In2)>a二-f(-)例3•已知函数f(x)为定义在R上的可导函数，且f(x)<f'(x)对于任意xgR恒成立，e为自然对数的底数，则()A.f⑴>e-f(0)、f(2013)<e2013•f(0)B.f⑴<e-f(0)、f(2013)>e2013•f(0)

Cf⑴>e-f(0)、f(2013)>e2013•f(0)Df(1)<e-f(0)、f(2013)<e2013•f(0)解析：由f(x)<f'(x)nf(x)-f'(x)<0，构造函数h(x)二竺，求导得exh'(x)=八x)二f(x)>0,函数h(x)在定义域内单调递增，所以exf(1)>f(0)f(2013)>f(0)>,>e1e20131例4•设函数f(x)在R上的导函数为f'(x)，且2f(x)+xf'(x)>x2，下面的不等式在R内恒成立的是()A.f(x)>0B.f(x)<0C.f(x)>xD.f(x)<x解析：2f(x)+xf'(x)>x2n2f(x)+xf'(x)-x2>0，试着找出不等式左边部分的原1函数，若设h(x)=x2f(x)-x3，则h'(x)=x[2f(x)+xf'(x)]-x2无法判断h'(x)的正负，因此构造函数有误，构造的原则是构造的新函数的导函数的正负是可以1判断的，因此设h(x)=x2f(x)-—x4，则h'(x)=x[2f(x)+xf'(x)-x2]，当x>04时，h'(x)>0;当x<0时，h'(x)<0，则h(x)为左减右增的函数，且h(0)二0，1即f(x)>-x2>0，即f(x)>04例5•已知函数f(x)的定义域为R，且f(x)>1-f'(x),f(0)二4，则不等式f(x)>1+eln3-x的解集为()A.(0,+sA.(0,+s)B.(—,+’)2C・(1,+a)D.(e,+a)解析：f(x)>1+ein3-xnexf(x)>ex+ein3nexf(x)-ex>3令h(x)=exf(x)-ex,h'(x)=ex[f(x)+f'(x)-1]<0所以h(x)为R上的单调减函数，又因为h(0)二3，故不等式的解集为(0,+8)例6•设f'(x)是奇函数f(x)(xeR)的导函数，f(-1)二0，当x>0时，xf'(x)-f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A.(-8,-1)o(0,1)B.(-1,0)o(1,+8)C.(-8,-1)o(-1,0)D.(0,1)o(1,+w)解析：令g(x)=凹,g'(x)=xf'(x)-f(x)xx2当x>0时，g'(x)<0因为f(X)为R上的奇函数且f(―1)二0，所以f⑴二0,g(1)二半二0所以当xe(0,1)时，g(x)>0nf(x)>0当xe(1,+a)时，g(x)<0nf(x)<0又因为g(-x)二g(x),故g(x)为偶函数，所以当xe(-1,0),g(x)>0nf(x)<0当xe(1,+a)时，g(x)<0nf(x)>0综上，f(x)>0的解集为(-◎-12(0,1)例7•函数f(x)的定义域为R,f(-1)二2,对任意xeR,广(劝>2,则f(x)>2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+a)C.(-a,-1)D.(-a,+a)解析：f(x)>2x+4nf(x)—2x>4令g(x)二f(x)—2x,g'(x)二f'(x)—2>0所以g(x)为R的单调递增函数，又因为g(-1)二f(-1)-2x(-1)二4所以不等式的解集为(-1,+8)例8•已知f(x)定义域为(0,+8),f'(x)为f(x)的导函数，且满足f(x)<-xf'(x),则不等式f(x+1)>(x-1)f(x2-1)的解集是()A.(0,1)B.(1,+8)C.(1,2)D.(2,+8)解析：f(x)<-xf'(x)nf(x)+xf'(x)<0令g(x)二xf(x),g'(x)二f(x)+xf'(x)<0单调递减f(x+1)>(x-1)f(x2-1)n(x+1)f(x+1)>(x2-1)f(x2-1)g(x+1)>g(x2-1)x>-1x>1或x<-1nx>2x>2或x<-1高考真题举例解析：i•函数f(x)满足me+2xf(x)=T，/⑵=T，当x>0时，f(x)的极值状态是解析：因为X2f'(x)+2xf(x)=竺，关键因为等式右边函数的原函数不容易找出，因x此把等式左边函数的原函数找出来，设h(x)二x2f(x)，则h'(x)=ex，且x，判断f(x)的极h⑵=+，因为x2f'(x)+2xf(x)=—，则f'(，判断f(x)的极TOC\o"1-5"\h\z2xx3值状态就是判断f'(x)的正负，设g(x)=ex一2h(x)，则exx一2g'(x)=ex-2h'(x)=ex-2=ex()xx这里涉及二阶导，g(x)在x=2处取得最小值0,因此g(x)>0，则f'(x)>0，故f(x)没有极大值也没有极小值。(有难度，但不失为好题目)2■定义在R上的函数f(x)满足f(x)+f'(x)>1,f(0)=4，则不等式exf(x)>ex+3的解集为.解析：因为f(x)+f'(x)>1，设h(x)二exf(x)，则h'(x)二ex[f(x)+f'(x)]，不等式exf(x)>ex+3nexf(x)一ex一3>0，设函数g(x)=exf(x)一ex一3，g'(x)二h'(x)一ex，因为f(x)+f'(x)>1，所以h'(x)>ex，所以g'(x)>0，又因为f(0)二4，所以g(0)二f(0)-1-3二0，综上可判断出g(x)在定义域内单调递增且g(0)二0，因此原不等式的解集为(0,+8)3•定义在R上的函数f(x)满足f(1)二1，对任意的xeR有f'(x)<1，则不等式2x2+1f(x2)>—的解集是解析：f(x2)>号1nf(x2)-号>0，令t=x2，则f(t)一*>0，设h(t)二f(t)一*，则h'(t)二f'(t)一1，所以h'(t)<0，即函数h(t)单调递减，又因为h(1)二0，h(t)为偶函数，所以te