高考数学常用结论

高考数学常用结论1.德摩根公式C(ARB)=CAUCB；c(AUB)=CAQCB.TOC\o"1-5"\h\zUUUUUU2AQB=AoAUB=BoA匸BoCB匸CAoAQCB"oCAUB=RUUUU若A=｛a「a2,a｝，则A的子集有2n个，真子集有(2n—1)个，非空真子集有(2n—2)个123n二次函数的解析式的三种形式①一般式f(x)=ax2+bx+c(a丰°);®顶点式f(x)=a(x-h)2+k(a丰°):③零点式f(x)=a(x一x)(x一x)(a主0)12三次函数的解析式的三种形式①一般式f(x)=ax3+bx2+cx+d(a丰°)②零点式f(x)=a(x-x)(x-x)(x-x)(a主°)TOC\o"1-5"\h\zri123设xi-x2Gla,b4xi丰x2那么(x-x)[f(x)一f(x)]>°o必仟丿〉°of(x)在[a,b]上是增函数；\o"CurrentDocument"1212x-x12(x-x)[f(x)一f(x)]<°O必仟丄<0of(x)在[a,b]上是减函数.1212x-x设函数y=f(x)在某个区间内可导，如果广(x)>°，则f(x)为增函数；如果广(x)<°，则f(x)为减函数.6•函数y=f(x)的图象的对称性：函数y=f(x)的图象关于直线x=a对称of(a+x)=f(a一x)of(2a一x)=f(x)函数y=f(x)的图象关于直x=~y~对称of(a+x)=f(b一x)of(a+b一x)=f(x).函数y=f(x)的图象关于点(a，°)对称of(x)=-f(2a一x)函数y=f(x)的图象关于点(a，b)对称of(x)=2b一f(2a一x)7.两个函数图象的对称性：函数y=f（x）与函数y=f（一x）的图象关于直线x=°（即y轴）对称.函数y=f（mx一a）与函数y=f（b一mx）的图象关于直线x=对称.2m特殊地：y=f（x一a）与函数y=f（a一x）的图象关于直线x=a对称函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称的解析式为y=f（2a一x）函数y=f（x）的图象关于点（a，°）对称的解析式为y=一f（2a一x）函数y=f（x）和y=f-1（x）的图象关于直线y=x对称.m8•分数指数幕an=nam（a>°,nGN*，且n>1）.m1a-n=——（a>°,m,ngN*，且n>1）.manlogN=boab=N(a>°,a丰1,N>°)a.logM+logN=logMN(a>°.a丰1,M>°,N>°)aaaMlogM-logN=log(a>°.a丰1,M>°,N>°)aaaN对数的换底公式logN=m•推论logbn=logb.alogaammam对数恒等式alogaN=N(a>°,a主1)11.ans,n11.an1、c(数列｛a｝的前n项的和为s=a1+a2+•••+a).s-s,n>2nn12nnn-1

等差数列匕｝的通项公式a—a+(n-1)d—dn+a-d(neN*).nn11等差数列仏)的变通项公式a—a+(n一m)d，若n+，若n+m—p+q,(m,n,p,q为正整数)则a+a—a+a对于等差数列乂14•若数列匕是等差数列，S是其前n项的和，keN*，那么S，S一S，S一S成等差数列。如下图所示:nnk2kk3k2kkvk+1a+a2+a3+…+a+a+…+a+a——+…+akvk+1SkS2k-Skn(a+a)n(n-1)其前n项和公式s—1——na1+n21S3k-S2k1dSkS2k-Skn(a+a)n(n-1)其前n项和公式s—1——na1+n21S3k-S2k1d—n2+(a一一d)n212215.数列匕是等差数列Oa—kn+b擞列匕｝是等差数列OS=An2+Bnnnn16•设数列方/是等差数列，S吞是奇数项的和，S偶是偶数项项的和,奇偶—S+S偶—2d，其中d为公差；S是前n项的和，则有如下性质n①前n项的和S②当n为偶数时,③当n为奇数时，则S奇一S偶—。中，S—S偶n-1：奇+：偶—n（其中a中是等S奇一S偶差数列的中间一项）。17•若等差数列匕的前2n一1项的和为S2，等差数列n2n12n一1项的和为S'1,2n-1S2'n-118.等比数列匕｝的通项公式a—a1qn-1—仝nn1-qn(neN*)；等比数列的变通项公式a—aqn-mnnma(1-qn)h1-4,q丰1其前n项的和公式s—1n1q

na,q—11a-aq.1n,qH11-qna,q—1119.对于等比数列'J，若n+m—u+v（n,m,u,v为正整数），则。-a—a-a也就是：a1-a—a2-a11n2n-1—a3'an-2a,a,a，…,a,a,a—。如图所示：1J__3一一2_诅n20.数列｝是等比数列,na2*an-1S是其前n项的和，keN*，那么Sk，S”—Sk，S3k-S”成等比数列。nk2kk3k2k如下图所示：a+a2+a3+…+a+a+…+a+a——+…+akvk+1SkS2k-Sk21.同角三角函数的基本关系式sin29+cos29=1S3k-讼鶉，tan9-COt9-11+tan2a—1tan9=cos2a正弦、余弦的诱导公式sin(号+a)-<sin(号+a)-<(-1)2sina,n为偶数(-1)2cosa,n为奇数cos(巴+a)-<2n(-1)2cosa,n为偶数n+1(-1)2sina,n为奇数优秀学习资料一卫迎下载优秀学习资料一卫迎下载优秀学习资料―卫迎下载优秀学习资料―卫迎下载cos（a+—）=-cosa,sin（a+—）=sina即:奇变偶不变，符号看象限，如22sin（兀-a）=sina,cos（兀-a）=-cosa和角与差角公式sin（a土卩）=sinacos卩土cosasin卩；cos（a土卩）=cosacos卩干sinasin卩；tan（a土卩）=；ana士tan:.sin（a+卩）sin（a—卩）=sin2a-sin2卩（平方正弦公式）;cos（a+卩）cos（a—卩）=cos2a—sin2卩.basina+bcosa八；Q2+b2sin(a+^)(辅助角申所在象限由点(a，b)的象限决定，tan申=).a24.二倍角公式sin2a=sinacosa.cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin2a.（升幕公式）1+cos2a1-cos2a2tanacos2a=,sin2a=（降幕公式）tan2a=〒1-tan2a2tana—-tan2a25.万能公式:sin2a=25.万能公式:sin2a—+tan2a—+tan2asina—-cosa半角公式：tan-=T-—-=.a2—+cosasina三函数的周期公式2—函数y=Asin(-x+6，心及函数y=Acos(-x+6，心("，申为常数’且AW>°)的周期T=-2—明大于0，则T=|-|——函数y=tan（Ox+6,x主k—+ykGZ（A，川为常数’且AW>°）的周期T=-28.y=sinx的单调递增区间为2k—-二，2k—+二kgZ单调递减区间为2k—+—2k—+—,2k—+—kgz，对称轴为x=k—+—（kgz）,对称中心为（k—,0）（kgz）29.y=cosx的单调递增区间为bk兀一兀,2k兀］kgZ（—）k—（kgz），对称中心为k—+—,0（kgz）V2丿（——）ky=tanx的单调递增区间为k兀-—，k—+—kgz，对称中心为（2兀，°）（kgz）V22丿2对称轴为x=30.单调递减区间为bk—，2k—+兀］kgzabC31.32.正弦定理一=一=一=2R31.32.sinAsinBsinC余弦定理a2=b2+c2-2bccosA;b2=c2+a2-2cacosB;c2=a2+b2-2abcosC33•面积定理（1）S=ah=；bh=；ch（h、h、h分别表示a、b、c边上的高）.2a2b2cabc（2）S=—absinC=—bcsinA=—casinB⑶SAOAB⑶SAOAB=_\i（IOAI•IOBI）2—（OA•OB）2二_OA・OBtan0（0为OA,OB的夹角）^2^234•三角形内角和定理在厶ABC中，有

C兀a+bA+B+C=2C"-(A+B)o2P-To2C二―2(A+B).平面两点间的距离公式d=I—BI*—B-—B=x—x)2+(y—y)2(a(x,y),b(x,y)).向量的平行与垂直设a二(x1,y1),b=(x2‘y2)，且b丰0,贝a〃bb二入axy一xy=0.1221a丄b(a丰0)Oa・b=0ox1x2+丁］y?=0.37•线段的定比分公式设<(珂，y1),t(x2,y2),P(x，y)是线段P.的分点，九是实数，且爭=九匹，则x+九xOP=tOP+(1-1)OP(t二OP=tOP+(1-1)OP(t二—)21+九■51+几oop=―1~-~2oTOC\o"1-5"\h\zy+九y1+九y二2I'1+九若OA=若OA=xOB+y°B则A,B,C共线的充要条件是x+y=1三角形的重心坐标公式△ABC(x+x+x,y+y+y)G(2,123)3f三个顶点的坐标分别为A(x1,y1)>B(x2，y丿、C(X3，y3)，则AABC的重心的坐标是11223340.点的平移公式40.点的平移公式5oOP'=OP+PP'(图形F上的任意一点P(x,y)在平移后图形F'上的对应点y二y'-k为P(x'为P(x',y')，且PP的坐标为(h，k)).41.常用不等式：(1)2)3)4)Q,bGRna2+b2>2ab(当且仅当a=b时取“=”号).a，bGR+n>Jab(当且仅当a=b时取“二”号).a3+b3+c3>3abc(a>0,b>0,c>0).问一<|a+b|<问+切注意等号成立的条件aa2+b2(a>0,b>0)1a+b⑸了亍<灿<丁<+

ab42•极值定理已知x，y都是正数，则有如果积xy是定值p，那么当x=y时和x+y有最小值2^p；如果和x+y是定值s，那么当x=y时积xy有最大值4s2.43.一元二次不等式ax2+bx+c>0(或<°)(a丰0,人=b2—4ac>0)，如果a与ax2+bx+c同号，则其解集在两根之外;如果a与ax2+bx+c异号，则其解集在两根之间•简言之：同号两根之外，异号两根之间.x<x<xo(x—x)(x—x)<0(x<x)；121212x<x,或x>xo(x—x)(x—x)>0(x<x)12121244•含有绝对值的不等式当a>0时，有Ixl<aox2<a2o-a<x<ax>aox2>a2ox>a或x<一a优秀学习资札_优秀学习资札_X迎下载45.无理不等式(1){f(x)>*：g(x)Of(x)>0g(x)>0、f(x)>g(x)(2)©f(x)>g(x)f(x)>0g(x)>0(3)Qf(x)<g(x)、f(x)>[g(x)]2了(x)>0g(x)>0或Jf(x)>0tg(x)<0'、f（x）<[g（x）]246.指数不等式与对数不等式（1）当a>1时,Jf(x)>0af(x)>ag(x)Of(x)>g(x)；logf(x)>logg(x)o<g(x)>0f(x)>g(x)(2)当0Va<1时,Jf(x)>0af(x)>ag(x)Of(x)<g(x);logf(x)>logg(x)o<g(x)>0f(x)<g(x)y—yb47•斜率公式k二一1（P（x’，yi）、P,（x2,y丿）直线的方向向量v=（a,b）,则直线的斜率为k=—（aH0）x—x111222a2148.直线方程的五种形式:（1）3）点斜式y一y1二k(x一x1)(直线1过点P(t，y1)，且斜率为k).斜截式y=kx+b(b为直线1在y轴上的截距).y—yx—x片二片(yHy)(P(x,y)、P(x,y)(xHx)).y—yx—x12111222122121两点式4）截距式三+~=1(a,b分别为x轴y轴上的截距，且aH0,bH0)ab一般式Ax+By+C=°(其中A、B不同时为0).(1)若/Jy二kx+q,12:（5）49•两条直线的平行和垂直①孕匕oqy=kx+b22=k,bHb②1丄1Okk=—1212；1212(2)若1:Ax+By+C=01:Ax+By+C=0111192222①1||1AB—AB=0且AC—ACH0•②1①1212211221‘②[k—k50•夹角公式tana=11;殳f1•(11:y-k1x+b1,1:21AB—AB=1221(1:Ax+By+C=01:Ax+By+CAA+BB(1111,2221212丄12时，直线人与12的夹角是~2-k—k直线1]到12的角是tana=1+kk(11:y=k1x+b121

|Ax+By+C|

d=0——A2+B2tana丄1oAA+BB二0；21y=kx+b2222

kk12222直线l151.点到直线的距离12Hj)AA+BBH0)1212kkH—1)12(点p(x0,y°),直线1:Ax+By+C=0).优秀学习资料一卫迎下载优秀学习资料一卫迎下载52．两条平行线的间距离|C一C|d=2——(直线l:Ax+By+C=°,lAx+By+C=°,C主C)).A2+B211221253.圆的四种方程(1)2）圆的标准方程圆的一般方程3）圆的参数方程1(x-a)2+(y-b)2=r2.x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2一4F〉°).x=a+rcos0y=b+rsin0"圆的直径式方程(x圆的直径式方程(x一卩兀一x2)+(y一y])(y一y2)=0(圆的直径的端点是Aq，y])、B(x2,y2)).x=acos0y=bsin056•椭圆乂+=1(a>b>0)焦半径公式|pF|=e(x+),\pf\=e(—x).a2b21c2cx2y2a2x2y2a256•椭圆——+=1(a>b>0)的准线方程为x=±，椭圆厂+=1(a>b>0)的准线方程为y=±-a2b2cb2a2cx2y22b257•椭圆——+=1(a>b>0)的通径(过焦点且垂直于对称轴的弦)长为-a2b2a（4）圆中有关重要结论：（1）若卩（x°,y°）是圆x2+y2=r2上的点，则过点卩（x°,y°）的切线方程为xx°+yy°=r2⑵若p（x°,y°）是圆（x一a）2+（y一b）2=r2上的点，则过点卩（x°,y°）的切线方程为（x°―a）（x一a）+（y°一b）（y一b）=r2⑶若卩（x°,y°）是圆x2+y2=r2外一点，由p（x°,y°）向圆引两条切线,切点分别为a,b则直线ab的方程为xx°+yy°=丫2⑷若p（x°,y°）是圆（x一a）2+（y一b）2=r2外一点，由p（x°,y°）向圆引两条切线，切点分别为a,b则直线ab的方程为（x一a）（x一a）+（y一b）（y一b）=r2°°TOC\o"1-5"\h\zx2y2椭圆——+丁=1（a>b>°）的参数方程是ia2b2x2y25&P是椭圆忘+厉二1（a>b>0）上一点,F1，F2是它的两个焦点，JPF2=。了0则&F]F2的面积=b2tan2x2y2a259•双曲线a?-忘二1（a>0,b>°）的准线方程为x双曲线厂一=1（a>°，b>0）的准线方程为y=±-b2a2cx2y2b60.双曲线——一=1（a>°，b>0）的渐近线方程为y=±—xa2b2a双曲线厂一=1（a>°，b>0）的的渐近线方程为y=±〒xb2a2bx2y261.P是双曲线——一=1(a>°，b>°)上一点,F「F2是它的两个焦点PF2=9a2b212120的面积二b2cot262.抛物线y2=2Px上的动点可设为p（A，y）或P（2pt2,2pt）或p（x,y。），其中y?=62.抛物线y22po63.p(x0,y0)是抛物线y2=2px上的一点,f是它的焦点，则|pf|=x0+彳64.抛物线y264.抛物线y2=2px的焦点弦长心2psin20其中0是焦点弦与X轴的夹角65.直线与圆锥曲线相交的弦长公式|AB|=J(xi-x2)2+(yl-y2)2或IAB=|xi-叩吋活吋(弦端点A(ry>B(x2,y2)，由方程｛F(Z,1y)［0消去y得到ax2+bx+c=A>0,k为直线的斜率).若(弦端点A>0,k为直线的斜率).若(弦端点A(x］，y1),Bq，y2)由方程y=kx+bF(x,y)=0消去X得到ay2+by+c=0A>0,k为直线的斜率).则|AB|=1人-柑+右=圆锥曲线F(x，y)=0关于点p(x0,y°)成中心对称的曲线是F(2x0-x，2y0—y)=0.共线向量定理对空间任意两个向量a、b(b#0),a〃bO存在实数，入使a=^b.对空间任一点O和不共线的三点A、B、C,满足OP=xOA+yOB+zOC,则四点P、A、B、C是共面Ox+y+z=1.69.空间两个向量的夹角公式cos〈a,69.空间两个向量的夹角公式cos〈a,b〉ab+ab+ab11CCPP+a2+a2.:b2+b2+b223嚳123.AB-m一70.直线AB与平面所成角卩=arcsin(m为平面a的法向量).IABIImI123b=(b1，b2,b3))•m-nm-n71.二面角a-1-P的平面角0=arcCOS或兀一arcCOS(m,n为平面a,卩的法向量).ImIInIImIInI72•设AC是a内的任一条直线，且BC丄AC,垂足为C,又设AO与AB所成的角为01,AB与AC所成的角为02,AO与AC所成的角为0.则COS0=COS0COS0.12若夹在平面角为申的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是01,02，与二面角的棱所成的角是9,则有sin2申sin20=sin20+sin20-2sin0sin0cos申；1212'I01-02IW卑<180-(01+02)(当且仅当0=90时等号成立).空间两点间的距离公式若A(X］，人，z1),B(x2,y2,z2)'则d=1AB1=AB-AB=J(x-x)2+(y-y)2+(z-z)2A,B‘212121^点Q到直线1距离h=(IaIIb|)2―(a-b)2(点P在直线1上，直线1的方向向量a=PA，向量b=PQ).IaI76•异面直线间的距离d=(11,12是两异面直线，其公垂向量为n,C、D分别是11,12上任一点，d为11,-间的距离).InI121212AB是经过面a的一条斜线，AGa).IABAB是经过面a的一条斜线，AGa).77.点B到平面a的距离d=(n为平面a的法向量，InI12=12+12+12OCOs20+COs20+COs20=1123123(长度为1的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为11、12、13,夹角分别为01、02、03)(立几中长方体对角线长的公式是其特例).S'面积射影定理S=-(平面多边形及其射影的面积分别是S、S'，它们所在平面所成锐二面角的为0).COs0

80.球的半径是R,4则其体积是V二3兀R3,其表面积是S二4兀R2.8"锥――Sh,V—Sh,3柱82•分类计数原理(80.球的半径是R,4则其体积是V二3兀R3,其表面积是S二4兀R2.8"锥――Sh,V—Sh,3柱82•分类计数原理(加法原理)N—m+m+•••+m.12n83•分步计数原理(乘法原理)N—mxmx・・・xrn.12n84.排列数公式Am二n(n-1)•…(n-m+1)二nn!(n-m)！.(nmeN*，且m<n)85.排列恒等式(1)Am=(n一m+l)Am-1;(2)nnnAm—nAmn-mn-1;(3)Am―nAm-1;(4)nn-1nAn―An+1-An;(5)nn+1nAm—Am+mAm-1.n+1nnAmn(n-1).…(n-m+1)组合数公式Cm=㈠nAmm组合数的两个性质(1)n！(n,m!-(n-m)!，wN*,且m—n).88.组合恒等式(1)Cm—nCm=Cn-mnnn-m+1Cm-1;(2)n;(2)Cm+Cm-1=Cmnnn+1—Cm.n-mn-1(3)Cm———Cm-1；nmn-14)kCk―nCk-1nn-15)"Cr=2n;(5)nr—0Cr

r+Cr+Cr+•…+Cr—Cr+1r+1r+2nn+1排列数与组合数的关系是：Am=m!Cm・nn二项式定理(a+b)n—C0an+C1an-1b+C2an-2b2++Cran-rbr++Cnbnnnnnn二项展开式的通项公式：T1—Cran-rbr(r—0，1，2-，n).r+1n等可能性事件的概率P(A)互斥事件A,B分别发生的概率的和P(A+B)=P(A)+P(B).n个互斥事件分别发生的概率的和P(A]+A2An)=P(Ai)+P(A2)+P(An).独立事件A,B同时发生的概率P(A・B)=P(A)・P(B).n个独立事件同时发生的概率P(A1・A2An)=P(A1)・P(A2)P(An).n次独立重复试验中某事件恰好发生k次的概率P(k)=CkPk(1―P)n-k-nn97•函数y—f(x)在点x0处的导数是曲线y—f(x)在P(x0,/(x0))处的切线的斜率f(x0),相应的切线方程是y-y—f(x)(x-x)000.导数与函数的单调性的关系㈠f(x)>0与f(x)为增函数的关系。广(x)>0能推出f(x)为增函数，但反之不一定。如函数/(x)—x3在(―卩+8)上单调递增，但广(x)>0,.・・广(x)>0是f(x)为增函数的充分不必要条件。㈡广(x)，0与f(x)为增函数的关系。f(x)为增函数，一定可以推出广(x)>0，但反之不一定，因为广(x)>0，即为广(x)>0或广(x)—0。当函数在某个区间内恒有f(x)—0，则f(x)为常数，函数不具有单调性。・・・/‘(x)>0是f(x)为增函数的必要不充分条件。抽象函数的性质所对应的一些具体特殊函数模型：①f(X]+x2)—f(X])+f(x2)n正比例函数f(x)—kx(k主0)②f(②f(x1+x2)-f(x1)-f(x2)；f(x1-x2)—f(x1)'f(x2)f(x)—ax③f*-x2)-f(%)+fW)；fG)-f(x1)-fWUf(x)—lOgax2优秀学习资料一卫迎下载优秀学习资料一卫迎下载优秀学习资札_优秀学习资札_X迎下载lOO.n个数据x，x，xx，则它们的平均数为x=（x+x+x+•••+x）,123nn123n方差s2=_[（x一x）2+（x一x）2+（x一x）2+...+（x一x）2]n123n（1）总体：在统计中,所有考查对象的全体叫做全体.（2）个体：在所有考查对象中的每一个考查对象都叫做个体.（3）样本：从总体中抽取的一部分个体叫做总体的样本.（4）样本容量：样本中个体的数目叫做样本容量.二、抽样方法：（1）简单随机抽样：设一个总体的个数为N.如果通过逐个抽取的方法从中抽取一个样本,且每次抽取时每个个体被抽到的概率相等，就称这样的抽样为简单的随机抽样,简单随机抽样常用的方法有抽签法和随机数表法.（2）分层抽样：当已知总体是由有差异明显的几部分组成时，常将总体分成几部分，然后按各部分所占的比例进行抽样，这种抽样叫做分层抽样，其中所分成的各部分叫做层.类别共同点各自特点相互联系适用范围简单随机抽样抽取过程中每个个体被抽取的概率相等从总体中逐个抽取总体中个体数较少分层抽样将总体分成几层进行抽取各层抽样可采用简单随机抽样或系统抽样总体有差异明显的几部分组成三、两种抽样方法的区别与联系：.四、重要结论：n个体数N的总体中抽取一个样本容量为n的样本，那么在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等，且等于N-五、典型例题剖析：例1、一个总体含有6个个体，从中抽取一个样本容量为2的样本，说明为什么在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率相等.解：设任意一个个体为a,那么个体a被抽到分两种情况：1（1）第一次被抽到：根据等可能事件概率得P,=，16（2）第二次被抽到：即是个体a第一次没被抽到、第二次被抽到这两件事都发生.51个体a第一次没被抽到的概率是6,个体a第一次没被抽第二次被抽到的概率是5•511根据相互独立事件同时发生的概率公式’个体°第二次被抽到的概率是p2=6X5=6•（也可这样分析：根据等可能事件的概率求得,一共取了两次，根据分步原理所有可能结果为6X5=30,个体a第一次没被抽到第二次被抽到这个随机事件所含的可能结果为5X1=5,51所以个体a所以个体a第二次被抽到的概率是P—=)2=30=6)个体a在第一次被抽到与在第二次被抽到是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式，在先后抽取2个个体的过程中，个体a被抽到的概111率P=P率P=P1+P2—+———6+6=3.1由个体a的任意性,说明在抽样过程中每个个体被抽到的概率都相等（都等于3）点评：注意区分“任一个个体a每次抽取时被抽到的概率”与“任一个个体a在整个抽样过程中个体a被抽到的概率”的区别,一般地，如果1用简单随机抽样从个体数为N的总体中抽取一个容量为n的样本，那么“任一个个体a每次抽取时被抽到的概率”都相等且等于N，“任n一个个体a在整个抽样过程中被抽到的概率”为—.例2、（1）在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，从中抽取一个容量为20的一个样本求①每个个体被抽到的概率，②若有简单随机抽样方法抽取时，其中个体a第15次被抽到的的概率，③若用分层抽抽样样方法抽取时其中一级品中的每个个体被抽到的概率.201解：①因为总体个数为120，样本容量为20，则每个个体被抽到的概率P,—=—112061②因为总体个数为120，则体a第15次被抽到的的概率P2=J20201111③用分层抽样方法：按比例=—分别在一级品、二级品、三级品中抽取24X=4个,36X=6个,6