矩形中的折叠问题20200508

课前准备

期中模拟四1.学案P21-222.练习本请大家坐到书桌前！山东师范大学第二附属中学孟庆玲矩形中的折叠问题小专题（一）

例1：如图，在矩形纸片ABCD中，AB＝6cm，BC＝8cm，将矩形纸片折叠，使点C与点A重合，请在图中画出折痕，并求折痕的长．情境创设问题驱动敲黑板：对应点的连线被折痕（对称轴）垂直平分.探究1：如图,将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在F处，BF交AD于点E.你能得到哪些结论？1、全等三角形：

△FBD≌△CBD;△ABE≌△FDE

敲黑板：角平分线与平行线组合时,能得到等腰三角形2、相等的线段：BF=BC=AD;DF=DC=AB;AE=FE;BE=DE3、相等的角：∠FBD=∠CBD;∠FDB=∠CDB;∠BAE=∠DFE;∠EBD=∠EDB

…

4、重要结论：

△BED是等腰三角形探求发现形成新知小结：折叠过程实质上是一个轴对称变换，折痕就是对称轴，变换前后两个图形全等；对应点的连线被折痕（对称轴）垂直平分.知识归纳拓展应用

1．如图，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，则重叠部分△AFC的面积为（）A．12 B．10 C．8 D．6B。

小结：在矩形的折叠问题中，求线段长问题，一般设未知数，找到相应的直角三角形，用勾股定理建立方程，利用方程思想解决问题。知识归纳拓展应用

2．如图，已知长方形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上一点，∠BEG＝60°．沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（）A．5 B．4 C．3 D．2A知识归纳拓展应用

3.如图，在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，点E为BC的中点，将△ABE沿AE折叠，使点B落在矩形内点F处，连接CF，则CF的长为（）D重点考点：折叠前后对应点的连线被折痕（对称轴）垂直平分.知识归纳拓展应用

4.如图，将矩形ABCD沿直线EF对折，点D恰好与BC边上的点H重合，∠GFP＝62°，那么∠EHF的度数等于

．56°知识归纳拓展应用

5.在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于点E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．（1）求证：四边形BFDE为平行四边形；解:（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，AD∥BC∴∠ABD＝∠CDB，由折叠的性质,∴∠EBD＝∠BDF，又∵AD∥BC∴BE∥DF∴四边形BFDE为平行四边形；在Rt△ABE中，由勾股定理得，x2+22=（2x）2解得x=知识归纳拓展应用

5.在矩形ABCD中，将点A翻折到对角线BD上的点M处，折痕BE交AD于E．将点C翻折到对角线BD上的点N处，折痕DF交BC于点F．（2）若四边形BFDE为菱形，且AB＝2，求BC的长．解：∵四边形BFDE为菱形，∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°，∵∠A＝90°，AB＝2，∴设AE=x，则BE=2x∴BE＝2AE＝∴BC＝AD＝AE+ED＝AE+BE＝＝知识归纳拓展应用

6.将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（m，0）（m＞0），点D（m，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．（1）当m＝3时，求点B的坐标和点E的坐标；（自己重新画图）

在Rt△CDE中，知识归纳拓展应用

6.将矩形OABC置于平面直角坐标系中，点A的坐标为（0，4），点C的坐标为（m，0）（m＞0），点D（m，1）在BC上，将矩形OABC沿AD折叠压平，使点B落在坐标平面内，设点B的对应点为点E．（2）随着m的变化，试探索：点E能否恰好落在x轴上？若能，请求出m的值；若不能，说明理由．（2）点E能恰好落在x轴上．理由如下：∵四边形OABC为矩形，∴BC＝OA＝4，∠AOC＝∠DCE＝90°，由折叠性质可得：DE＝BD＝BC﹣CD＝4﹣1＝3，AE＝AB＝OC＝m，在Rt△AOE中，OA2+OE2＝AE2，如图1，点E恰好落在x轴上，知识归纳拓展应用7.如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10．（1）求矩形ABCD的周长；（2）E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处．①求DE的长；

∴FC＝4，在Rt△ECF中，42+（8﹣DE）2＝EF2，知识归纳拓展应用7.如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10．E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处．

(2)②点P是线段CB延长线上的点，连接PA，若△PAF是等腰三角形，求PB的长．

解：②分三种情形讨论：当AP＝AF时，∵AB⊥PF，∴PB＝BF＝6当PF＝AF时，则PF＝AF=10，∴PB=PF-BF=10-6=4当AP＝PF时，设PB=x在Rt△APB中，AP2＝PB2+AB2＝x2+82∴x2+82＝（x+6）2解得x＝综上所述，PB＝6或4或问题变式思维提升

例2：如图,矩形纸片ABCD中,AB=3cm,AD=4cm，点E、F分别在矩形ABCD的边AB、AD上，将△AEF沿EF折叠，使点A′落在BC边上,当折痕EF移动时，点A′在BC边上也随之移动。则A′C的范围为

1≤A′C≤331443敲黑板：点E、F分别在AB、AD上移动，可画出两个极端位置时的图形。知识归纳拓展应用7.如图，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝10．E是CD上的点，将△ADE沿折痕AE折叠，使点D落在BC边上点F处．（3）M是AD上的动点，在DC上存在点N，使△MDN沿折痕MN折叠，点D落在BC边上点T处，求线段CT长度的最大值与最小值之和．解：（3）当点N与C重合时，所以线段CT长度的最大值与最小值之和为：8+4=12．CT取最大值是8当点M与A重合时，CT取最小值为4，学习小结，反思提升1.折叠过程实质上是一个轴对称变换，折痕就是对称轴，变换前后两个图形全等;对应点的连线被折痕(对称轴)垂直平分.2.求折叠问题中的线段的长的方法一般有：设未知数后，利用勾股定理、面积法解决问题。今后我们还会学习更多解决折叠问题的方法）3.在折叠问题中，若直接解决较困难时，有时还可采用动手操作，通过折叠观察得出问题的答案。当堂检测学以致用布置作业数学作业：1、学案P36-372、整理小专题（一）3、选做题：如图，矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点E是BC边上一点，连接AE，把∠B沿AE