四川省绵阳市游仙区2022-2023学年九年级上学期期中数学试题（解析版）

2022-2023学年四川省绵阳市游仙区九年级（上）期中数学试卷一、选择题（共36分）1.下列方程一定是一元二次方程的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据一元二次方程必须满足四个条件：（1）未知数的最高次数是2；（2）二次项系数不为0；（3）是整式方程；（4）含有一个未知数．对选项一一进行分析，即可得出答案．【详解】解：A、∵含有分式，∴不是一元二次方程，故该选项不符合题意；B、∵含有2个未知数，∴不是一元二次方程，故该选项不符合题意；C、∵当时，∴不是一元二次方程，故该选项不符合题意；D、是一元二次方程，故该选项符合题意．故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程定义，解本题的关键在熟练掌握判断一个方程是否是一元二次方程的5个方面：“化简后”；“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”．2.在平面直角坐标系中，点P(−1，−2)关于原点对称的点的坐标是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据平面直角坐标系中任意一点P（x，y），关于原点的对称点是（-x，-y），然后直接作答即可．【详解】解：根据题意知：点P(−1，−2)关于原点对称的点的坐标为（1，2）．故选：C．【点睛】本题考查了关于原点对称的点坐标，是需要熟记的基本问题，关键是掌握关于原点对称的两个点的横纵坐标分别互为相反数．3.已知m是关于x方程的一个根，则（）A.5 B.8 C.－8 D.6【答案】B【解析】【分析】根据题意可将m代入，得．再将变形为，最后整体代入求值即可．【详解】∵m是关于x的方程的一个根，∴，∴，∴．故选B．【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义，代数式求值．掌握一元二次方程的解就是使该方程成立的未知数的值和利用整体代入的思想是解题关键．4.若关于x的方程的两根互为倒数，则（）A.3 B.1 C.−1 D.【答案】C【解析】【分析】设、是的两根，根据根与系数的关系，得出，再根据倒数的定义，得出，再利用等量代换，得出，求出的值，再根据原方程有两个实数根，即可求出符合题意的的值．【详解】解：设、是的两根，∴根据根与系数的关系，可得：，∵方程的两根互为倒数，∴可得：，∴，解得：，∵方程有两个实数根，∴，当时，，∴不符合题意，当时，，∴．故选：C【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系及倒数的定义，熟练掌握根与系数的关系是解本题的关键．5.下列关于x一元二次方程中，没有实数根的方程是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用判别式的取值范围进行判断即可．【详解】解：A、，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；B、，，方程有两个不相等的实数根，不符合题意；C、，，方程没有实数根，符合题意；D、，有两个相等的实数根，不符合题意；故选C．【点睛】本题考查一元二次方程根的个数．熟练掌握一元二次方程判别式与根的个数的关系是解题的关键．6.疫情形势下，我国坚持“动态清零”总方针，很多地区疫情得以有效控制，正有序恢复正常生产生活秩序，某商店今年5月份的销售额仅为2万元，恢复生产后，7月份的销售额为4.5万元，设这两个月销售额的月平均增长率为，根据题意，以下方程正确的是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用该商店7月份的销售额=该商店5月份的销售额×（1+这两个月销售额的平均增长率），即可得出关于的一元二次方程，此题得解．【详解】解：依题意得，故选：D．【点睛】本题主要考查了一元二次方程与增长率相关的问题，熟练掌握相关知识，根据题意正确找出等量关系是解题的关键．7.对于二次函数的图象，下列说法正确的是（）A.开口向下 B.对称轴是C.顶点坐标是 D.当时，y随x的增大而减小【答案】D【解析】【分析】根据顶点式的顶点坐标为，开口方向，对称轴，增减性求解即可．【详解】解：抛物线的顶点坐标是，开口向上，对称轴是直线，故A，B，C选项错误，当时，y随x的增大而减小，故D选项正确，故选D．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，掌握其性质是解题的关键．8.已知二次函数的图象如图所示，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（）A.①②③ B.①②④ C.①③④ D.②③④【答案】C【解析】【分析】把代入抛物线即可得到，①正确；由时，，得到，由可得，进而可得，②不正确；根据对称轴列出不等式可得，③正确；由变形得到，然后根据可求得，④正确．【详解】解：二次函数经过点，，故①正确；当时，，即，，，，解得，故②不正确；对称轴为直线，，，∴，故③正确；，，由图象可知，，∴，故④正确；综上所述，正确的是①③④，故选：C．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，主要利用了二次函数图象上点的坐标特征，对称轴公式，与y轴的交点等知识，此类题目要注意利用好特殊自变量的函数值．9.已知二次函数（k为常数）的图像与x轴的一个交点是，则关于x的一元二次方程的两个实数根是（）A.， B.， C.， D.，【答案】C【解析】【分析】根据解析式求得对称轴为，根据对称性求得另一个交点为，即可求解．【详解】解：∵二次函数（k为常数）的图像与x轴的一个交点是，对称轴为，∴另一个交点为，∴关于x的一元二次方程的两个实数根是，，故选C．【点睛】本题考查了根据抛物线与坐标轴的交点求一元二次方程的解，根据对称性求得另一交点的坐标是解题的关键．10.下面的三个问题中都有两个变量：①将一根长为的铁丝刚好围成一个矩形，矩形的面积与矩形一条边长；②赵老师爬香山所花的时间和平均速度；③中秋节后，某超市月饼卖不出去，决定促销，月饼原价为30元，成本价为10元/，单价每降价1元，可以多卖出，月饼利润与降价；其中，变量与变量之间的函数关系可以用如图所示的图象表示的是（）A.① B.①③ C.②③ D.①②③【答案】A【解析】【分析】①将一根长为的铁丝刚好围成一个矩形，求出矩形的面积与矩形一条边长之间的函数关系式即可得出答案；②赵老师爬香山时，路程一定，则所花的时间和平均速度成反比，不是二次函数，即可得出答案；③求出月饼利润与降价之间的函数关系式，即可得出答案．【详解】解：①矩形一条边长，则另外一条边长为，则矩形的面积为：，∴矩形的面积与矩形一条边长为二次函数，且二次函数的开口向下，抛物线过原点O，因此变量与变量之间的函数关系可以用图示的图象表示，故①符合题意；②设赵老师爬香山时，路程为s，则赵老师爬香山所花的时间和平均速度之间的函数关系式为：，∵s一定，∴y是x的一次函数，不是二次函数，因此变量与变量之间的函数关系不可以用图示的图象表示，故②不符合题意；③设按原价可以卖出akg，月饼利润与降价之间的函数关系式为：，y是x的二次函数，但，∴函数图象不过原点，因此变量与变量之间的函数关系不可以用图示的图象表示，故③不符合题意；综上分析可知，变量与变量之间的函数关系可以用图示的图象表示的是①，故A正确．故选：A．【点睛】本题主要考查了求函数关系式，二次函数图象，根据题意求出相应的函数解析式，是解题的关键．11.使用家用燃气灶烧开同一壶水所需的燃气量y（单位：m3）与旋钮的旋转角度x（单位：度）近似满足函数关系式y＝ax2+bx+c（a≠0），如图记录了某种家用节能燃气灶烧开同一壶水的旋钮的旋转角度x与燃气量y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋较角度约为（）度．A.36 B.45 C.50 D.42【答案】D【解析】【分析】根据题意和二次函数的性质，可以确定出对称x的取值范围，从而可以解答本题．【详解】解：由图象可知，物线开口向上，从18和72两个点可以看出对称轴，最终对称轴范围是36＜x＜45，即对称轴位于直线x＝36与直线x＝45之间，此燃气灶烧开一壶水最节省燃气的旋钮的旋转角度约为42°．故选：D．【点睛】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．12.如图，是由绕点旋转得到的，若，，，则旋转角的度数为（）A.80° B.50° C.40° D.10°【答案】B【解析】【分析】根据旋转的性质可得旋转角为∠BAD，即可求解．【详解】解∶∵是由绕点旋转得到的，∴旋转角为∠BAD，∵，，∴∠CAD=∠BAC+∠CAD=50°，即旋转角的度数为50°．故选：B【点睛】本题主要考查了图形的旋转，熟练掌握图形旋转的性质是解题的关键．二、填空题（共24分）13.已知是关于x的一元二次方程，则a的值为______．【答案】-1【解析】【分析】根据一元二次方程的定义得到，且，然后求解即可得出答案．【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程，∴，且．解得．故答案为：-1．【点睛】本题考查了一元二次方程的概念．只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程，一般形式是．特别要注意的条件，这是在做题过程中容易忽视的知识点．14.若，是一元二次方程的两个根，则的值是______．【答案】【解析】【分析】根据一元二次方程根与系数的关系：，得出，然后代入代数式求解即可．【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根，∴，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式求值，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解本题的关键．对于一元二次方程，两根，有如下关系：，．15.将抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为__．【答案】【解析】【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答．【详解】解：将抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为，故答案为：．【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的平移规律是解题的关键．16.已知抛物线与直线的交点坐标为（1，5），（-3，5），则方程的根是__________________．【答案】，【解析】【分析】根据抛物线与直线y=5的交点情况解答．【详解】解：已知抛物线与直线的交点坐标为（1，5），（-3，5），则方程的根是：，．故答案为：，．【点睛】本题考查了二次函数的性质，方程的根可以看作是抛物线与直线y=5交点的横坐标．17.如图是抛物线型拱桥，当拱顶离水面2m时，水面宽4m，如果水面下降0.5m，那么水面宽度增加________m．【答案】【解析】【分析】根据已知建立平面直角坐标系，进而求出二次函数解析式，再通过把代入抛物线解析式得出水面宽度，即可得出答案．【详解】解：如图所示，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y经过AB中点O且经过C点，则通过画图可得知O为原点，由题意得：抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为，∴点B的坐标为（2，0），∴通过以上条件可设顶点式，把点B坐标代入到抛物线解析式得：∴，∴抛物线解析式为，当水面下降0.5米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把代入抛物线解析式得出：，解得：∴水面宽度增加到米，∴比原先的宽度当然是增加了米，故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键．18.如图，将△ABC绕点A顺时针旋转，得到△ADE，若点E恰好在CB的延长线上，AC＝2，则EC＝______．【答案】【解析】【分析】由旋转可得：再利用勾股定理即可解决问题．【详解】解：∵由旋转可得：∴．故答案为．【点睛】本题考查旋转的性质，勾股定理的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．三、解答题（共90分）19.用适当方法解下列方程：（1）﹣25=0；（2）﹣6x﹣5=0；（3）3﹣4x+1=0；（4）2=3（x﹣3）．【答案】（1），（2），（3），（4），【解析】【分析】(1)选择直接开平方法求解即可．(2)选择公式法求解即可．(3)选择因式分解法求解即可．(4)选择因式分解法求解即可．【小问1详解】因为﹣25=0，所以，所以，解得，．【小问2详解】因为﹣6x﹣5=0，a=1，b=-6，c=-5，，所以，解得，．【小问3详解】因为3﹣4x+1=0，所以，所以x-1=0或3x-1=0，解得，．【小问4详解】因为2=3（x﹣3），所以，所以x-3=0或2x-9=0，解得，．【点睛】本题考查了因式分解法、公式法、直接开平方法求解方程的根，选择适当解方程的方法是解题的关键．20.已知关于x的一元二次方程．（1）求证：方程总有两个实数根；（2）若该方程有一个根是正数，求k的取值范围．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】（1）计算根的判别式，判断其符号即可；（2）求得方程的两根，再结合条件求范围即可．【小问1详解】证明：由题意可知，∴方程总有两个实数根；【小问2详解】由求根公式，得，，∵该方程有一个根是正数，∴，∴．【点睛】本题主要考查的是根的判别式的应用，知识点：一元二次方程中，根的判别式，时，方程有两个不相等的实数根，时，方程有两个相等的实数根，时，无实数根．21.已知二次函数．（1）用配方法把这个二次函数的解析式化为的形式；（2）写出这个二次函数图象的开口方向，顶点坐标和对称轴；（3）将该抛物线向左平移个单位，使经过点，求值．【答案】（1）（2）开口方向向下，，对称轴为直线（3）【解析】【分析】（1）根据配方法的操作整理即可得解；（2）根据小于0确定出抛物线开口向下，根据顶点式解析式写出顶点坐标和对称轴．（3）根据平移规律即可得到，代入点，即可解得．【小问1详解】解：，即；【小问2详解】∵，∴该抛物线的开口方向向下，由知，抛物线的顶点坐标是，对称轴为直线；【小问3详解】将该抛物线向左平移个单位得到，平移后的抛物线经过点，，解得或，，．【点睛】本题考查了二次函数的三种形式的转化，二次函数的性质，二次函数图象与几何变换，熟练掌握配方法的操作以及根据顶点式形式写出对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键．22.已知二次函数的对称轴是，且图像过点，与一次函数的图像交于点．（1）求两个函数的解析式．（2）设两个函数图像的另一个交点为，坐标原点为，求的面积．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）先将交点坐标，代入二次函数的解析式中，再联立抛物线的对称轴方程即可求出二次函数的解析式；将交点坐标代入一次函数的解析式中，即可求得的值，也就求出了一次函数的解析式；（2）两个函数联立方程求得另一个交点的坐标，然后利用三角形面积公式求得即可．【小问1详解】解：二次函数的图像的对称轴是直线，且图像过点，，，解得：，，一次函数的图像交于．，；【小问2详解】解：由题意得，解得：或，两个函数图像的另一个交点，，，．【点睛】本题考查了二次函数的性质、用待定系数法求函数解析式、函数交点问题与方程组的解法等知识，熟练掌握待定系数法求函数解析式及函数图像交点问题是解决题目的关键．23.某公园在垂直于湖面的立柱上安装了一个多孔喷头，喷头高出湖面3米，从喷头每个孔喷出的水柱形状都相同，可以看作是抛物线的一部分，当喷头向四周同时喷水时，形成一个环状喷泉．安装后，通过测量其中一条水柱，获得如下数据，在距立柱水平距离为d米的地点，水柱距离湖面的高度为h米．d（米）0501.001.502.002.50h（米）3.754.003.753.001.75请解决以下问题：（1）在网格中建立适当的平面直角坐标系，根据已知数据描点，并用平滑的曲线连接；（2）结合表中所给数据或所画图象，直接写出这条水柱最高点距离湖面的高度；（3）求所画图象对应的函数表达式；（4）从安全的角度考虑，需要在这组喷泉外围设立一圈正方形护栏，这个喷泉的任何一条水柱在湖面上的落点到护栏的距离不能小于1米，请直接写出公园至少需要准备多少米的护栏（不考虑接头等其他因素）．【答案】（1）见解析；（2）水柱最高点距离湖面的高度是4米；（3）；（4）公园至少需要准备32米的护栏．【解析】【分析】（1）根据对应点画图象即可；（2）由图象可得答案；（3）利用待定系数法可得关系式；（4）求出落水点距离喷头的水平距离，进而求出正方形的边长，进而可以求出正方形的周长．【小问1详解】如图，【小问2详解】由图象可得，顶点（1，4），∴水柱最高点距离湖面的高度是4米；【小问3详解】由图象可得，顶点（1，4），设二次函数的关系式为，把（2，3）代入可得a=-1，所以；【小问4详解】当h=0时，即，解得d=-1（舍去）或d=3，∴正方形的边长为2×（3+1）=8（米），∴至少需要准备栏杆4×8=32（米），∴公园至少需要准备32米的护栏．【点睛】本题考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的性质是解题关键．24.某商店以每件16元的价格购进了一批热销商品，当售价为每件36元时，每月可售出160件商品．因某些原因商家需尽快将这批商品售出，经过市场调查发现：售价每下降1元，每个月多卖出2件，则降价多少元时，商品每月的利润可达到1800元？【答案】10元【解析】【分析】设降价x元时商品每月的利润可达到1800元，由题意：当售价为每件36元时，每月可售出160件商品．降价出售，经过市场调查发现：售价每下降1元，每个月多卖出2件，列出一元二次方程，解方程即可．【详解】解：设降价x元时商品每月的利润可达到1800元，由题意得：（36﹣x﹣16）（160+2x）=1800，解得：x=10或x=﹣7（不符合题意舍去），∴x=10，答：降价10元时商品每月的利润可达到1800元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25.利用对称性可以设计美丽的图案，在边长为1的正方形方格纸中，有如图所示的（顶点都在格点上）．（1）先作出该三角形关于直线成轴对称的；（2）再作将绕点逆时针方向旋转后的；（3）求的面积．【答案】（1）见解析（2）见解析（3）3【解析】【分析】（1）利用轴对称变换的性质分别作出A