2021-2022学年福建省福州市四校联盟高二（下）期末数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年福建省福州市四校联盟高二（下）期末数

学试卷

1.已知集合M={x\y-V2—%},N={x\—2<x<3},则MDN=()

A.{%|-3<%<2}B.{x|-3<x<2}

C.{x|-2<x<2}D.{x|-2<%<2]

2.若复数z满足z=(l—2i),i,则复平面内5对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.am>n>是m?>几2的（）

A.充分不必要条件B.充要条件

C.必要不充分条件D.既不充分又不必要条件

4.函数y=Jlog2（3%-2）的定义域是（）

A.（-8（）B.（|,+oo）C.（|,1]D.[1,+8）

5.函数f（x）=sinx-V3cosx（xG[一兀,0]）的单调递增区间是（）

A.[―兀,-争B.C.[-^,0]D.[-1,0]

6.我国著名数学家华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般

好，隔裂分家万事休.”在数学的学习和研究中，常用函数的图象来研究函数的性

质，也常用函数的解析式来分析函数的图象的特征，如函数f（x）=：x-sin尤的图

象大致是（）

7.已知》>0,y>0,%4-2y=1,

A.4+4V3B.12C.8+4V3D.16

8.已知小，〃表示两条不同直线，a表示平面，下列说法正确的是（）

A.若m〃a,n//a,则TH〃?IB.若Tiua,ppjm1n

C.若mla,mln,则n//aD.若zn〃a,mln,则nJ.a

9.下列选项中，与sinjv的值相等的是（）

6

A.cos(-^)B.cosl8°cos42°—sinl8°sin42°

tan30'+tanl5°

C.2sinl50sin750D.

l-tan300tanl50

10.有两位射击运动员在一次射击测试中各射靶10次，每次命中的环数如下:

甲78795491074

乙9578768677

在这次射击中，下列说法正确的是()

A.甲成绩的极差比乙成绩的极差大B.甲成绩的众数比乙成绩的众数大

C.甲的成绩没有乙的成绩稳定D.甲成绩的中位数比乙成绩的中位数大

11.已知四边形ABCQ为正方形，GDABCD,四边形。GEA与四边形。GFC也

都为正方形，连接E凡FB,BE,点，为8尸的中点，下列结论正确的是()

A.DE1BFB.EF与CH所成角为60。

C.ECJ_平面DBFD.8F与平面ACFE所成角为45。.

12.在某社区兴办的“环保我参与”有奖问答比赛活动中，甲、乙、丙3个家庭同时回

答一道有关环保知识的问题，己知甲家庭回答对这道题的概率是：，甲、丙2个家

庭都回答错的溉率是总，乙、丙2个家庭都回答对的概率是:，若各家庭回答是否

正确互不影响，则下列说法正确的是()

A.乙家庭回答对这道题的概率为:B.丙家庭回答对这道题的概摔为:

C.有。个家庭回答对的概率为京D.有1个家庭回答对的概率为私

13.函数/。)=｛：二］之0，则/(2)+/(_1)=.

14.已知向量落B满足五=(一1,遮)，b=(1,0),则向量3在信上的投影向量为.

15.已知函数/'(x)=sin(a>x+0)(3>0,|租|<］)部分图象如图所示，3=.

16.函数/(x)=2X+3%—4的零点所在的区间是(a,a+1)则a=.

17.4月23日是世界读书日，其设立的目的是推动更多的人去阅读和写作，某市教育部

门为了解全市中学生课外阅读的情况，从全市随机抽取1000名中学生进行调查，

统计他们每日课外阅读的时长，如图是根据调查结果绘制的频率分布直方图.

(1)求频率分布直方图中a的值，并估计1000名学生每日的平均阅读时间(同一组

中的数据用该组区间的中点值代表该组数据平均值)；

(2)若采用分层抽样的方法，从样本在［60,80)［80,100］内的学生中共抽取5人来进

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一步了解阅读情况，再从中选取2人进行跟踪分析，求抽取的这2名学生来自不同

组的概率.

18.已知函数/(x)=V3sin2x—2cos2x+m+1(%6R)的最小值为—2.

(1)求实数加的值；

(2)在44BC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若/⑷=2,c=5,cosS=i,

求AC的长.

19.已知向量五=(sinx,gsin(7T+x)),b=(cosx,—sinx),函数/'(x)=五•6—季

(1)求f(x)的最小正周期及f(x)图像的对称轴方程；

(2)先将f(x)的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平移E

个单位长度得到函数g(x)的图像，若函数y=g(x)—m在区间口,当]内有两个零点，

求力的取值范围.

20.如图，在正四棱柱4BCD—ABiCiDi中，已知4B=2,AAr=5,

E、产分别为。1。、上的点，且CE=BiF=l.

(团)求证：BE1平面ACF；

(团)求点E到平面AC尸的距离.

21.已知函数f(x)=G)x,函数g(x)=log2k

(1)若g(mx2+2x+m)的定义域为R,求实数m的取值范围；

(2)当xe时，函数3/=[/0)]2-24(乃+3的最小值为1,求实数〃的值.

22.党的十九大报告明确指出要坚决打赢脱贫攻坚战，让贫困人口和贫困地区同全国一

道进入全面小康社会，要动员全党全国全社会力量，坚持精准扶贫、精准脱贫，确

保到2020年我国现行标准下农村贫困人口实现脱贫.现有扶贫工作组到某山区贫

困村实施脱贫工作.经摸底排查，该村现有贫困农户100户，他们均从事水果种植，

2017年底该村平均每户年纯收入为1万元，扶贫工作组一方面请有关专家对水果进

行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其户

数必须小于种植的户数.从2018年初开始，若该村抽出4x户(xeZ,1WxW12)从

事水果包装、销售.经测算，剩下从事水果种植农户的年纯收入每户平均比上一年

提高或，而从事包装销售农户的年纯收入每户平均为(3-万元.

(参考数据:1.123=1.404,1.153=1.520,1.183=1.643,1.23=1.728).

(1)至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.32万元？若能，请求出从事包装、

销售的户数；若不能，请说明理由；

(2)至2020年底，为使从事水果种植农户能实现脱贫(即每户(水果种植农户)年均纯

收入不低于1.6万元)，至少要抽出多少户从事包装、销售工作？

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答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：M={x\x<2},N={x\—2<x<3},

MD/V={x|-2<x<2).

故选：C.

可以求出集合然后进行交集的运算即可.

本题考查了描述法的定义，交集的定义及运算，考查了计算能力，属于基础题.

2.【答案】D

【解析】解：z=(l—2i)・i=2+i,

W=2-i在复平面内所对应的点(2,-1)位于第四象限.

故选：D.

利用复数的运算法则、几何意义、共貌复数的定义即可得出.

本题考查了复数运算法则、几何意义、共施复数的定义，考查了推理能力与计算能力，

属于基础题.

3.【答案】A

2

【解析】解：m>n>0,可以推出Tn?>n,但>彦，如：m=—5,n=1,m<n,

不能推出m>n>0,

故"zn>n>0"是巾2>小的充分不必要条件.

故选：A.

根据充要条件的定义，一一分析即可.

本题考查充要条件的判断，属于基础题.

4.【答案】D

【解析】解：log2(3x-2)20,且3x-2>0,

解得x>1,

故选：D.

根据偶次根号下的被开方数大于等于零，对数的真数大于零，列出不等式组，进行求解

再用集合或区间的形式表示出来.

本题考查了函数定义域的求法，即根据函数解析式列出使它有意义的不等式组，最后注

意要用集合或区间的形式表示出来，这是易错的地方.

5.【答案】C

【解析】解：函数/(%)=sinx-遮cosx=2sin(x—三)，令2左兀一；4％—gW2左〃+],

求得2kzr--<%<2krc+—,

66

的单调递增区间[2时一?2痂+曲，k&Z.

结合xG[-n.n],可得函数的增区间为[一?0],

故选：C.

利用两角和差的正弦公式化简函数的解析式，再利用正弦函数的增区间，求得函数

/(x)=sinx—V3cosx(xe[―兀,0])的单调递增区间.

本题主要考查两角和差的正弦公式，正弦函数的增区间，属于基础题.

6.【答案】4

【解析】解：f(-x)=-|x-sin(-x)=-(|x-sinx)=-/(x),故函数/(x)为奇函数,

其图象关于原点对称，故排除80；

又/(9=：1<0,故排除C.

24

故选：A.

利用函数的奇偶性及特殊点的值，运用排除法得解.

本题考查函数图象的确定，考查函数性质的运用，考查数形结合思想，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】解：由x+2y=1可得，

(%+l)(y+1)_(x+%+2y)(y+%+2y)_(2x+2y)(x+3y)_2x24-8xy+6y2

xyxyxyxy

2x6yl2x6y「

y%Jyx

当且仅当巴=竺时，等号成立，即％2=3y2.

所以(x+l)(y+l)的最小值为8+4班，

xy

故选：C.

将x+2y=1代入(x+i)(y+i)中,利用基本不等式求解即可.

本题考查了基本不等式及其应用，属于中档题.

8.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查空间直线与平面的位置关系，属于基础题.

运用线面平行的性质，结合线线的位置关系，判断A,D：运用线面垂直的性质，结合

线线垂直，判断B,C.

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【解答】

解：若?n〃a,n//a,则团，力相交或平行或异面，故A错误；

若m_La,riua,则m_Ln,故3正确；

若mla,mln,则九〃a或九ua,故C错误；

若?n〃a,mln,则n〃a或？iua或711a或〃与a相交，故。错误.

故选：B.

9.【答案】ABC

【解析】解：因为sin9=；,

62

cos(-^)=cos^=I，A符合题意；

cosl8°cos42°-sinl8°sin42°=cos(18°+42")=cos60°=8符合题意；

2sinl50sin75=2sinl50cosl50=sin30"=C符合题意；

tan30°+tani50=tan(30。+15°)=tan45°=1,。不符合题意.

故选：ABC.

结合诱导公式及和差角，二倍角公式分别进行化简，即可求解.

本题主要考查了和差角公式，二倍角公式及特殊角的三角函数值的应用，属于基础题.

10.【答案】AC

【解析】解：对于选项4甲成绩的极差为10-4=6,乙成绩的极差为9-5=4,所

以甲成绩的极差比乙成绩的极差大，故选项4正确，

对于选项3：甲成绩的众数为7,乙成绩的众数为7,所以甲成绩的众数与乙成绩的众

数相等，故选项8错误，

2

对于选项C：甲成绩的平均数为"8+7+9+5；：+9+】°+7+4=7,方差为-7)+(8-

7)2+(7-7)2+(9-7)2+(5-7)2+(4-7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2+

(4-7)2]=4,

22

乙成绩的平均数为9+5+7+8+7；6+8+6+7+7=7>方差为卷©-77+(5-7)+(7-7)+

(8-7)2+(7-7)2+(6-7)2+(8-7)2+(6-7)24-(7-7)2+(7-7)2]=1.2,

所以甲成绩的方差大于乙成绩的方差，所以甲的成绩没有乙的成绩稳定，故选项C正确,

对于选项。：甲成绩的中位数为7,乙成绩的中位数为7,故选项。错误，

故选：AC.

根据极差、众数、平均数和中位数的定义，逐个分析各个选项即可.

本题主要考查了数据的极差、众数、平均数和中位数，是基础题.

11.【答案】ABC

【解析】解：由题意将所得几何体补成一个正方体，如图,

以。为坐标原点，以OA所在直线为x轴，以。C所在直线为y轴，以0G所在直线为

z轴，建立空间直角坐标系，

设4。=DC=DG=2,则0(0,0,0),C(0,2,0),E(2,0,2),F(0,2,2),5(2,2,0),"(1,2,1),

对于A,DE=(2,0,2),~BF=(-2,0,2),

•••DEBF=0,DE1BF,故4正确；

对于B,EF=(-2,2,0),CH=(1,0,1),设CH,EF所成角为仇6G(0,§,

•••cos。=|cos<FF,CW>|=濡,鬻=p解得9=p故B正确；

对于C,EC=(-2,2,-2),DB=(2,2,0),DF=(0,2,2),

设五=(x,y,z)是平面OB尸的一个法向量,

,西=2x+2y=0,令则元

(1,-14)，

n-DF=2y+2z=0

EC=-2n,AEC//n,：.ECDBF,故C正确;

对于D,由题意，EAABCD,则E4J.DB,

由题意得DBJL4C,EAdAC=A,

则DB，平面ACFE,则丽=(2,2,0)是平面ACFE的一个法向量，

设BF与平面ACFE所成角为a,a6[0,§,

■1•sina=|cos<OF,BF>|=粤普,=

11\DB\\BF\2।

解得a=g故。错误.

故选：ABC.

根据题意，将几何体补形为正方体，进而建立空间直角坐标系，通过空间向量的运算能

求出结果.

本题考查命题真假的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考

查运算求解能力，是中档题.

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12.【答案】AC

【解析】解：设甲家庭对这道题为事件4,乙家庭答对这道题为事件B,丙家庭对这道

题为事件C,

p(1)♦p(2)=[1-P(^)][1-P(C)]=^

则P(A)=:，且

4P⑻-P(C)=P(B).P©=：

解得P(B)=1,P(C)=j故A正确，B错误;

83

有。个家庭回答对的概率为:

Po=P(ABQ=P(2)P5)P(2)==X对=总故C正确；

4ooyo

有1个家庭回答对的概率为：

PI=P(应+港2+检)=：><洛+沁曰"洛=白故。错误.

故选：AC.

设事件，列出方程组，解出P(B)=j,P(C)=g计算有0个家庭回答对的概率和有1

个家庭回答对的概率，逐一判断各选项能求出结果.

本题考查概率的运算，考查相互独立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基础

知识，考查运算求解能力，是基础题.

13.【答案】e2-2

【解析】解：w{XT…，

则/(2)+/(-1)=e2-1—1=e2—2.

故答案为：e2—2.

结合分段函数的解析式，分别求出f(2)与门-1)即可.

本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题.

14.【答案】(—1,0)

【解析】解：v5=(-1,73),方=(1,0),.•.同=2,|B|=1,ab=-l,

_+—>]

・•・cos<a,b>=—

向量五在至上的投影向量为|为I•cos<或3>•孟=(-1,0).

故答案为：(—1,0).

根据向量五在方上的投影向量为|不•cos<五花〉•卷，计算即可.

本题考查投影向量，属于基础题.

15.【答案】|

【解析】解：由图象可得1=居一(—居)=兀，

所以丁=3兀，所以包=9兀，

30)3

所以3—

2

故答案为：|.

由图象可求得函数的最小正周期，从而可求得3.

本题主要考查由y=4sin(3x+租)的部分图象确定其解析式，考查数形结合思想与运算

求解能力，属于基础题.

16.【答案】0

【解析】解：/(0)=1-4=-3<0,/(I)=2+3-4=1>0,

根据零点存在定理，可得函数/(x)=2X+3%-4的零点所在的大致区间是(0,1)

故a=0.

故答案为：0.

确定/(0)=1-4=-3<0,/(1)=2+3-4=1>0,根据零点存在定理,可得结论.

本题考查零点存在定理，考查学生的计算能力，属于基础题.

17.【答案】解：(1)由频率分布直方图可得，(0.0025+0.01+a+0.015+0.01)X20=1,

即a=0.0125,

这1000名学生每日的平均阅读时间或=10x0,05+30x0.2+50x0.25+70x0.3+

90X0.2=58分钟.

(2)•.・由频率分布直方图，可知样本在［60,80)［80,100］内的学生频率分布为0.3,0.2,

样本在［60,80)［80,100］采用分层抽样的比例为3：2,

二［60,80)抽取了3人a,b,c,［80,100］抽取了2人d,e,

则再从5人中抽取2人共有{ab,ac,ad,ae,be,bd,be,cd,ce,de}10种不同的抽取方法，

抽取的2人来自不同组共有{ae,be,bd,be,cd,ce}6种，

抽取的2人来自不同组的概率P==

105

【解析】(1)由频率分布直方图的性质，可得各个区间的频率和为1,即可求a的值，再

将各区间的中点乘以对应的频率，并求和，即可求解.

(2)样本在［60,80)［80,100］内的学生频率分布为0.3,0.2,即样本在［60,80)［80,100］采用

分层抽样的比例为3：2,再结合古典概型，即可求解.

本题考查了频率分布直方图的应用问题，频率、频数与样本容量的应用问题，以及古典

概率的问题，属于基础题.

18.【答案】解：(l)/(x)=V3sin2x—2cos2x+m+1=—cos2x+V3sin2x+m=

2sin(2x--)+m.

6

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•♦•/■(%)的最小值为—2,二一2+租=—2,解得m=0.

(2)由人力)=2得sin(2A—5=1,

6

丁C4：九一九一117T，

0<4V7T,■—6<24---6-V—6

.••2K，解得4='

623

vcosB=0<B<71,

7

4V3

sinB=—――.

5V3

:.sinC=sin(A+8)=sinAcosB+cosAsinB=

由正弦定理上=三，得磊=2，得b=8,即4C=8.

sinBsmC/这

714

【解析】(1)先结合二倍角及辅助角公式先对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的

性质可求Tn.

(2)结合已知可求4,结合和差角求出sinC,再由正弦定理可求6即4c.

本题主要考查了利用二倍角及辅助角公式化简三角函数解析式及正弦定理和和差角公

式在求解三角形中的应用，属于基础试题.

19.【答案】解:(1),♦・向量五=(sinx,d5sin(;r+x)),b=(cosx,-sinx),函数/'(x)=Z-

rV3

匕--7，

f(x)=sinx-cosx—sinx-V3sin(7r+x)一4=^sin2x+V3sin2x-?=|sin2x—

ycosx=sin(2x—$,

故最小正周期为7=§=兀，

令2x-g=m+/OT,则％=瑞+容kez,故/(x)的对称轴方程为％=居+黑k&Z,

(2)根据题意将f(x)的图像上每个点的纵坐标不变，横坐标变为原来的2倍，再向左平

移g个单位长度得到函数g(x)的图像，得g(x)=sinx,

又当xej芍时，g(x)=sinx在白勺单调递增，在白芍单调递减，故

666226Z

故y=g(%)-m的零点转化为y=g(%)与y=M的交点问题，函数y=g(x)-m在区间

[£,9]内有两个零点，即y=g(%)与y=m有两个交点，

6o

则m的取值为41).

【解析】(1)利用诱导公式和辅助角公式可得/■(x)=sin(2x-§,可解.

(2)根据函数图象变换可得g(x)=sinx,将y=g(x)-?n的零点转化为y=g(x)与y=m

的交点问题，利用三角函数性质可解.

本题考查三角函数图象变换以及三角函数最值问题，属于较难题.

20.【答案】解：(助如图，以。为原点，DA.DC、所在直f

线分别为x、八z轴

建立空间直角坐标系,则。(0,0,0),71(2,0,0),B(2,2,0),

C(0,2,0),2(0,0,5),£(0,0,1),F(2,2,4)

...前=(-2,2,0),荏=(0,2,4),夕J

~BE=(-2,-2,1),AE=(-2,0,1).<%

：.BE~AC=O'BE-AF=0

•••BE1AC,BE1.AF,iLACC\AF=A

•••BE•L平面ACF

(团)由国)知，而为平面ACF的一个法向量

•••向量荏在炉上的射影长即为E到平面ACF的距离，设为d

~r\日»AE,BE5

于无d=T=&

故点E到平面ACP的距离|

【解析】(/)以。为原点，DA.DC、。历所在直线分别为x、az轴建立空间直角坐标

系，写出要用的点的坐标，要证明线与面垂直，只要证明这条直线与平面上的两条直线

垂直.

(〃)而为平面AC尸的一个法向量，向量荏在而上的射影长即为右到平面ACb的距离，

根据点到面的距离公式得到结果.

本题是一个立体几何的综合题目，题目的第一问，用空间向量来证明，实际上若不是为

了后一问应用方便，可以采用几何法来证明.

2

21.【答案】解：(l)g(m/+2%+TH)=log2(mx4-2x4-m),

•・•g(mx2+2%+m)的定义域为R,

・•・mx2+2%4-m>0恒成立，

当?n=0时，不符合，

・・•｛：2<0,解得…

•••实数，〃的取值范围为(1,+8);

(2)由题意，令t=G)x,tG[|,2].

则函数y=[/(x)]2-2a/(x)+3化为y=t2-2at+3=(t-a)2+3-