经典高等数学课件映射与函数

1第一页，共二十九页，2022年，8月28日二、数学、初等数学、高等数学1.数学：研究“数”和“形”的科学。2.初等数学：

17世纪以前的数学。研究的“数”是常数或常量；研究的“形”是孤立的,不变的,规则的几何形体。(又称为常量数学)3.高等数学：

17世纪以后的数学。研究的“数”是变数或变量；研究的“形”是连续的,变化的,不规则的几何形体。(又称为变量数学)2第二页，共二十九页，2022年，8月28日1.分析基础:函数,极限,连续;2.微积分学:一元微积分(上册);(下册);3.向量代数与空间解析几何;4.无穷级数;5.常微分方程.高等数学主要内容多元微积分oyx3第三页，共二十九页，2022年，8月28日三、数学方法及特点1.数学方法：

2.特点：3.高等数学（微积分）的方法及特点：

用数学知识、理论、方法对所研究对象进行定量分析、描述、推到和计算，以便从量的关系上认识事物发展变化的规律性。

高度的抽象性、严密的逻辑性、严格的确定性、应用的广泛性。

用变化的观点去观察问题；从变化的过程中去认识解决问题。(主要研究函数,工具是极限)4第四页，共二十九页，2022年，8月28日四、怎样学习高等数学1.认识高等数学的重要性,培养浓厚的学习兴趣.马克思恩格斯要辨证而又唯物地了解自然,就必须熟悉数学.一门科学,只有当它成功地运用数学时,才能达到真正完善的地步.2.学数学最好的方式是做数学.聪明在于学习,天才在于积累.学习数学，不做练习题，如入宝山而空返.由薄到厚,由厚到薄.华罗庚五、具体要求：具体要求：1.重视每一节课.2.独立按时完成作业.

把作业写在作业纸上,交给课代表,要在下次上课前交给我,一旦上课,不再收交作业.学习数学，不做练习题，如入宝山而空返.我讲课的方法：遇山开路遇水搭桥.目的：从举一反三到无师自通.5第五页，共二十九页，2022年，8月28日第一章数学分析基础函数极限连续—研究对象—研究方法—研究桥梁函数与极限二、映射三、函数一、集合第一节映射与函数6第六页，共二十九页，2022年，8月28日一、集合1.集合:具有某种特定性质的事物的总体称为集合.组成这个集合的事物称为该集合的元素.有限集无限集注:M

为数集表示M

中排除0的集;表示M

中排除0与负数的集.简称集简称元7第七页，共二十九页，2022年，8月28日常用数集:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:不含任何元素的集合称为空集.例如,规定空集为任何集合的子集.直积(笛卡尔乘积)：8第八页，共二十九页，2022年，8月28日2.区间：是指介于某两个实数之间的全体实数.这两个实数叫做区间的端点.称为开区间,有限区间：则实数集其中：a称为区间的左端点；b称为的右端点.注意：几何表示：区间长度:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.9第九页，共二十九页，2022年，8月28日闭区间:半开区间：和区间长度：引进记号：读作：无穷大.类似的有：读作：正无穷大；读作：负无穷大；10第十页，共二十九页，2022年，8月28日无限区间：注：以后在不需要指明所说区间是否包含端点，有限区间还是无限区间的场合，为“区间”，且常用I

表示.以及是我们就简单的称它11第十一页，共二十九页，2022年，8月28日则数集记为：(2)几何意义:3.邻域:12第十二页，共二十九页，2022年，8月28日注:13第十三页，共二十九页，2022年，8月28日4.常量与变量:

在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意:常量与变量是相对“过程”而言的.通常用字母a,b,c等表示常量,而数值变化的量称为变量.常量与变量的表示方法：用字母x,y,t等表示变量.5.绝对值:绝对值不等式:14第十四页，共二十九页，2022年，8月28日二、映射:定义:设X,Y

是两个非空集合,若存在一个对应规则f,使得有唯一确定的与之对应,则称

f

为从X

到Y

的映射,记作元素

y

称为元素x

在映射

f下的像,记作元素

x称为元素y

在映射

f

下的原像.集合X

称为映射f

的定义域;Y

的子集称为f

的值域

.注意:

1)映射的三要素—定义域,对应规则,值域.2)元素x

的像y

是唯一的,但y

的原像不一定唯一.15第十五页，共二十九页，2022年，8月28日3)对映射若,则称f

为满射;

若有则称f

为单射;若f既是满射又是单射,则称f

为双射或一一映射.

X(数集或点集

)说明:在不同数学分支中有不同的X(≠

)Y(数集)f称为X

上的泛函;X(≠

)Xf称为X

上的变换;R

f称为定义在X

上的函数.映射又称为算子.惯用名称.例如,16第十六页，共二十九页，2022年，8月28日定义域函数的定义:设数集则称映射为定义在D

上的函数,记为函数图形:自变量因变量三、函数的概念17第十七页，共二十九页，2022年，8月28日定义域与对应法则.3.说明：

当两个函数的定义域及对应法则均相同时，则这两个函数相同，否则就是不同的.与变量用什么字母无关.(1)函数的两要素:不同不同相同(对应规则)(值域)(定义域)18第十八页，共二十九页，2022年，8月28日

表示函数的记号除常用的f外，还可用其它的英文字母或希腊字母.如:为区别不同的函数，需用不同的记号来表示它们.(3)单值与多值：如果自变量在定义域内任取一个数值时,对应的函数值总是只有一个,这种函数叫做单值函数,否则叫做多值函数.

一般把多值函数附加条件后化为单值函数进行研究.19第十九页，共二十九页，2022年，8月28日(4)定义域及其求法：有实际背景的函数要考虑实际意义；对于抽象地用算式表达的函数通常约定这种函数的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围.(自然定义域)在这个约定下,表示函数时,不必写出1)分式函数：分母不等于零的自变量的值.2)开偶次方：3)对数函数：4)反三角函数：5)多个函数的代数和的定义域：是其各自定义域的交集.20第二十页，共二十九页，2022年，8月28日(5)表示法：对无实际背景的函数,书写时可以省略定义域.对实际问题,书写函数时必须写出定义域；例如,

反正弦函数定义域值域21第二十一页，共二十九页，2022年，8月28日四、几个特殊的函数举例1.常数函数2.绝对值函数图形是平行于x轴的一条直线.2xyoy=2yxo图形如图.22第二十二页，共二十九页，2022年，8月28日称为符号函数.它的定义域值域图形如上.注意到：对于一切x，有关系式成立.3.符号函数23第二十三页，共二十九页，2022年，8月28日4.取整函数高斯函数[x]表示不超过x

的最大整数如：一般地：-4–3-2-112341234-1-2-3-4oxy图形称为阶梯曲线，而且在x的整数值处,图形发生跳跃,跳度为1.24第二十四页，共二十九页，2022年，8月28日有理数点无理数点•1xyo5.狄利克雷函数德国数学家狄利克雷对函数作了广义的论述：不管是否可用一个数学公式来表示对应关系，能作出图像，两个变量之间,只要有数值上的确定法则对应关系,也不管是否均可认为是函数关系.25第二十五页，共二十九页，2022年，8月28日yxoyxo6.取最值函数如：26第二十六页，共二十九页，2022年，8月28日定义：自变量在不同的范围内用不同的式子来表示的函数,叫分段函数.如：高斯函数-4–3-2-112341234-1-2-3-4oxy,符号函数等.注意：(1)分段函数指的是一个函数，而非几个函数.(2)分段函数的定义域是将x的值并起来，值域