2021-2022学年甘肃省庆阳市宁县某中学高三（下）第四次月考数学试卷（理科）（附答案详解）

2021-2022学年甘肃省庆阳市宁县二中高三(下)第四次

月考数学试卷(理科)

一、单选题(本大题共12小题，共60.0分)

1.已知集合2={x|x|-1<x<1},B={x|0<x<2},则4UB=()

A.(-1,2)B.(-1,2］C.［0,1)D.［0,1］

2.在复平面内，复数z满足(1一i)z=2,贝ijz=()

A.2+iB.2—iC.1+iD.1—i

3.已知是定义在［0,1］上的函数，那么“函数/(x)在［0,1］上单调递增”是“函数

/(%)在［0,1］上的最大值为/(I)”的()

A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件

C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件

A.—B.4C.3+V3D.2

2

5.｛即｝和｛%｝是两个等差数列，其中黄(14人W5)为常值，%=288,a5=96,尻=

192,则坛=()

A.64B.128C.256D.512

6.函数/(%)=cosx-cos2x,试判断函数的奇偶性及最大值()

A.奇函数，最大值为2B.偶函数，最大值为2

C.奇函数，最大值为看D.偶函数，最大值为g

7.若2a=5b=10,则,+,=()

A.-1B.Ig71

C.D,log71。

8.设Q=log2().3,b=log|o.4,c=O.403,则Q、b、c的大小关系为()

A.a<b<cB.c<a<bC.b<c<aD.a<c<b

9.两个圆锥的底面是一个球的同一截面，顶点均在球面上，若球的体积为子，两个

圆锥的高之比为1：3,则这两个圆锥的体积之和为()

A.37TB.47rC.9TTD.127r

10.设｛an｝是等差数列，下列结论正确的是()

A.若的+>0，则+@3>0

B.若%+a3V0,则由+a2Vo

C.若0<的<则>Vala3

D.若的<0,则@一。1)(。2-a3)>0

11.正项等比数列｛。九｝中，存在两项Q7n、an使得向高=4%,且即=。5+2。4，则\+：

的最小值是()

A.1B.2C.；D.个

236

12.设函数/(x)的定义域为R,f(x+l)为奇函数，/(x+2)为偶函数，当xe［1,2］时，

/0)=以2+。若/(0)+/(3)=6,则/(｝=()

A-B.-IC.D.|

二、填空题(本大题共4小题，共20.0分)

13.a=(2,1),b=(2,-1),c=(0,1),贝|J0+X)V=；a-b=.

x—2y+420

14.已知实数x,y满足2x+y-2N0,则/+y2的取值范围是.

.3%—y—3<0

15.已知数歹！］｛册｝中，ai=a2=1,即+2=［即+2丁3?数，则数列｛每｝的前20项和

(2ctn，n是偶数

为.

16.在锐角三角形4BC中，若sin4=2sinBsinC,则tanAtanBtanC的最小值是.

三、解答题(本大题共6小题，共70.0分)

17.已知等差数列｛即｝的公差不为零，=25,且%,a.,%3成等比数列.

(I)求｛即｝的通项公式；

(II)求+。7+…+a3n-2•

第2页，共16页

18.设/'(x)=sinxcosx-cos。。+》

(/)求/'(X)的单调减区间；

(〃堆锐角△ABC中，角4,B,C的对边分别为a,b,c,若&)=0,a=l,求

面积的最大值.

19.设立为数列｛aj的前般项和，已知2an-ax=Sx-Sn,neN*

(I)求的,a2,并求数列｛a"的通项公式；

(H)求数列色即｝的前n项和.

20.已知函数/(x)=excosx-x.

(1)求曲线y=fQ)在点(0)(0))处的切线方程；

(2)求函数f(x)在区间［0,方上的最大值和最小值.

21.已知二次函数y=f(x)的图象经过坐标原点，其导函数为尸(x)=6x—2,数列｛即｝

的前n项和为土,点(n,Sn)(n6N*)均在函数y=/(x)的图象上.

(I)求数列｛%｝的通项公式；

(【口设“:；^,〃是数列也｝的前n项和，求使得〃<算对所有neN*都成立的

anan+izu

最小正整数m.

22.已知函数/(x)=｝—x+a^x.

(1)讨论/(%)的单调性；

(2)若f(x)存在两个极值点打,不，证明：八岁管<a-2.

xl"~x2

答案和解析

1.【答案】B

【解析】解：因为4={x|-1<%<1},B={x|0<x<2},

所以AUB={x|—1<xW2}.

故选：B.

利用并集的定义求解即可.

本题考查了并集及其运算，解题的关键是掌握并集的定义，属于基础题.

2.【答案】C

【解析】解：在复平面内，复数z满足(1一i)z=2,

22(l+i).,.

Az=—=-----------=l+i.

1-i(l-i)(l+i)

故选：c.

利用复数的运算法则直接求解.

本题考查复数的求法,考查复数的运算法则等基础知识,考查运算求解能力，是基础题.

3.【答案】A

【解析】解：若函数函数/Q)在［0,1］上单调递增，由单调性的定义可知，此时函数/&)

在［0,1］上的最大值为f(l),即充分性成立；

若函数/(x)在［0,1］上的最大值为f(l),则函数/(x)在［0,1］上不一定单调递增，比如函数

f(x)=(x-i)2,故必要性不成立.

综上，“函数f(x)在［0,1］上单调递增”是“函数/Q)在［0,1］上的最大值为“1)”的充分

不必要条件.

故选：A.

从充分性及必要性两个方面分别进行判断，综合即可得出答案.

本题考查利用函数单调性研究函数的最值以及充分必要条件的判断，考查逻辑推理能力,

属于基础题.

4.【答案】A

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【解析】解：由三视图还原原几何体如图,

则4PBC是边长为近的等边三角形，

则该四面体的表面积为S=3xixlxl+ixV2xV2x^=^.

2222

故选：A.

由三视图还原原几何体，其中P41底面4BC,AB1AC,PA=AB=AC=2,再由三

角形面积公式求解.

本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题.

5.【答案】B

【解析】解:由已知条件可得］=

D5

。比,彳

则rn.i,须5=%=96父X192=64,

因此坛=亨="1=128.

故选：B.

由已知条件先求出生，然后结合等差数列的性质求解.

本题主要考查了等差数列的性质的应用，属于基础题.

6.【答案】D

【解析】解：由题意，/(-%)=cos(-x)-cos(-2x)=cosx-cos2x=/(%),所以该

函数为偶函数，

又/(久)=cosx~cos2x=-2cos2x+cosx+1=-2(cosx—^)2+京

所以当cosx=:时，/(X)取最大值，

故选：D.

由函数奇偶性的定义结合三角函数的性质可判断奇偶性；利用二倍角公式结合二次函数

的性质可判断最大值.

本题主要考查了函数奇偶性的定义，三角函数的性质以及二次函数的性质，属于基础题.

7.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查了对数的运算性质，考查了对数式与指数式的互化，是基础题.

对已知的指数式化为对数式，再利用对数的运算性质求解.

【解答】

解：V2a=5b=10,

"a=10g210,b=log510,

1111

:.-+—=------+------

ablog210log510

=log102+log105=LglO=1,

故选：C.

8.【答案】D

【解析】解：：a=log20.3<log2l=0,

b=log^0.4=log2|>log22=1,

0<c=O.403<0.4°=1,

■■■a<c<b,

故选：D.

利用对数函数和指数函数的性质求解.

本题考查三个数大小的比较，注意对数函数和指数函数性质的合理运用.

9.【答案】B

【解析】解：如图，设球的半径为R,两圆锥的顶点分别为Q,

P,底面圆的圆心为半径为r,

•.•球的体积为紧/?3=子，...R=2,

•••两个锥体的高之和PQ=2R=4,又两个圆锥的高之比为1：

3,

:.Q01=1,P01=3,:.。1。=2—1=1,

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■1•r=JR2_0]02=,4-i=遮,

二这两个圆锥的体积之和为[兀「2.2R=[x兀x3x4=4兀，

故选:B.

先根据球的体积公式求出球的半径，从而得两圆锥的高，从而得圆锥底面圆心到球心的

距离，再由勾股定理求出圆锥底面圆的半径，最后代入圆锥的体积公式即可求解.

本题考查球的内接圆锥问题，圆锥的体积公式，球的体积公式，属基础题.

10.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查等差数列的通项公式，考查计算能力，是基础题.

由题意，逐项进行判断，即可得出结论.

【解答】

解：若为+<12>0,则2ai+d>0,a2+a3=2aI+d+2d,d<0时，结论不一定成

立，即A不正确;

若由+<13<。，则与+&3=2g+2d<0,+a2=2ai+2d-d,d的正负不确定，

所以田+。2的正负不确定，故8不正确；

22

若0<%<a2,可知%>0,d>0,a2>0<a3>0,­•.a2-ara3=(%+d)—+

2d)=d2>0,

•1.a2>故选项C正确；

若即<0,则®2——。3)=-d?W0,即。不正确.

故选：C.

11.【答案】A

【解析】

【分析】

本题主要考查等比数列的运算性质以及基本不等式的应用，涉及的知识点较多，要求熟

练掌握基本不等式成立的条件，属于中档题.

由。6=。5+2(14，求出公比q,由JamCZn=4的,确定m,n的关系，然后利用基本不等

式即可求出则上+士的最小值.

mn

【解答】

解：在等比数列中，•：=&5+2。4，

,**口4勺2=a4q+2a4，

即q2-q-2=O

解得q=2或q=-1(舍去)，

•••⑪皿玛=4%,

•••yjal-2m+n-2=4%，

即”+71-2=16=24,

•••m+n—2=4,即m+n=6,

m,nI

•o,--+o7=1,

1.4/114、,7nn、1.4.4m.n.5,/4mnS.0、，293

・•・-----1—=(---1—)(—Il—)=—I---1-------1-----2-Fo2/—,—=—F2X--=一，

mnmn66666n6m676n6m6662

当且仅当等=；,即n=2m时取等号.

故选A.

12.【答案】D

【解析】

【分析】

本题考查函数的周期性与奇偶性的综合应用.

由已知得/(x)的周期为4,则展)=—/(|),由已知得〃1)=0,/(2)=,即可求出

函数的解析式，即可得解.

【解答】

解：因为/(x+1)为奇函数，

所以/(—X+1)=-f(x+1),

所以/(%)的图象关于(1,0)中心对称，则/(I)=0,

因为/(x+2)为偶函数，

所以-x+2)=〃>+2),

所以/(%)的图象关于直线x=2轴对称.

由/(-X+1)=-/(x+1),得f(-x+2)=-/(X),

所以/(x+2)=-/(%),

则f(x+4)=-/(x+2)=/(x),即f(x)的周期为4,

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所以解)=爬)=一居),

又因为/(0)=—/(2)，/(3)=/(1)=0,/(0)+/(3)=6,

所以/(I)一f(2)=6,则f(2)=-6,

因为当％G[1,2]时,/(x)=ax2+b,

即犒蓼露26,解得｛：：/，

所以，当工€[1,2]时，/(x)=-2x2+2,

所以相)=一展)=一(一2x[+2)=|.

故选。.

13.【答案】03

【解析】解：因为&=(2,1),b=(2,-1).c=(0,1),

所以0+K)-c=a-c+K•c=(0+1)+(0-1)=0;

a-b=2x2+lx(-1)=3-

故答案为：0；3.

根据平面向量的坐标运算和数量积运算，计算即可.

本题考查了平面向量的坐标运算和数量积运算问题，是基础题.

14.【答案】913]

【解析】解：作出不等式组对应的平面区域，

设z=M+y2,则z的几何意义是区域内的点到原点距离的

平方，

由图象知4到原点的距离最大，

点。到直线BC：2x+y—2=0的距离最小，

由图丁；彗二:得｛1泰即｛2,3),此时z=22+32=4+9=13,

点。到直线BC：2x+y—2=0的距禺d==今

则Z=d2=(3)2=g,

故z的取值范围是E，13],

故答案为：冷13].

作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，结合两点间的距离公式以及

点到直线的距离公式进行求解即可.

本题主要考查线性规划的应用，涉及距离的计算，利用数形结合是解决本题的关键.

15.【答案】1123

【解析1解：由题意可知，数歹式。2”｝是首项为1，公比为2的等比数列，数歹Ha2n.i｝是

首项为1,公差为2的等差数列，

故数列｛斯｝的前20项和为色岩2+10x1+等x2=1123.

故答案为：1123.

由题意可知，数列｛a如｝是首项为1,公比为2的等比数列，数列｛a2n-i｝是首项为1，公差

为2的等差数列，代入对应求和公式计算即可.

本题考查了等差数列和等比数列的求和公式，属于基础题.

16.【答案】8

【解析】

【分析】

本题考查了三角恒等式的变化技巧和函数单调性知识，有一定灵活性.

结合三角形关系和式子s讥A=2sinBsinCoTffittisinBcosC+cosBsinC=2sinBsinCf进

而得到tcmB+tanC=2ttmBtcmC,换元结合函数特性可求得最小值.

【解答】

解：由s讥4=sin(7T-4)=sjn(B+C)

=sinBcosC+cosBsinC,

因为sin/=2sinBsinC,

可得sinBcosC+cosBsinC=2sinBsinC9①

由三角形4BC为锐角三角形，则cosB>0,cosC>0,

在①式两侧同时除以cosBcosC可得

tanB+tanC=2tanBtanC,

又tcuM=一tanS-/)=-tan$+c)

tanB+tanC

1-tanBtanC

则tzmAtcmBtcmC=-二::■：；；tanBtanCf

由tcmB+tanC=2tanBtanC^J^

2

tanAtanBtanC=—Z(tanFtanC)

1-tanBtanC

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令tanBtcmC=t,由A,B,C1为锐角,

可得tcm/l>0,tanB>0,tanC>0,

由②式得1一tanBtanC<0,解得t>1,

2t22

tanAtanBtanC=------=-

ITkF

又2

由t>i得，-握

因止匕tQTL4tanBtcmC的最小值为8.

故答案为8.

17.【答案】解：(/)设等差数列｛册｝的公差为dWO,

由题意出,allfQ13成等比数列，・・•底1=

(@i+10d)2=01(01+12d),化为d(2ai+25d)=0,

•・・dHO,・・・2x25+25d=0,解得d=-2.

Aan=254-(n-1)x(—2)=-2n4-27.

(〃)由(/)可得Q3n_2=—2(3九一2)+27=—6n+31,可知此数列是以25为首项，一6为

公差的等差数列.

„,_+a3n-2)

•••sn=ar+a4+a7+…+a3n_2=-----------------

n(25-6n+31)

二2

=-3n2+28n.

【解析】(/)设等差数列｛6｝的公差为d丰0,利用成等比数列的定义可得，/1=%的3,

再利用等差数列的通项公式可得(的+10d)2=%(%+12d),化为d(2%+25d)=0,

解出d即可得到通项公式即；

(〃)由(/)可得a3n-2=-2(3n-2)+27=-6n+31,可知此数列是以25为首项，一6为

公差的等差数列.利用等差数列的前n项和公式即可得出%+a4+a7+-+a3n.2.

熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前71项和公式是解题的关键.

2

18.【答案】解：(I)/(x)=sinxcosx-cos(x+

i.0i.i.

=-sin2x-----1--sm2nx,

222

si・n2cx——1.

2

令：~+2kTCW2xW2/CTT+~(kGZ),

解得:7+fcTT<x<^+kn(k6Z),

所以函数的单调递减区间为：碎+而序+kn](kGZ).

(H)在锐角△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.若&)=0,a=l,

所以：sinA=p

47r

4=1

222

由余弦定理得：a=b+c-2bccosA9

所以1=h24-c2—遮be,

所以炉+c?=V3bc+1,

由于匕2+c2>2bc,

所以bcW2+V5，当且仅当b=c时，等号成立，

所以：S^ABC=\besinA<(2+V3),

即面积的最大值为：出I

4

【解析】本题考查的知识要点:三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数单调性的应用，

余弦定理的应用，三角形面积公式的应用.属于中档题.

(I)首先利用三角函数关系式的恒等变换，把函数关系式变形成正弦型函数，进一步求

出函数的单调递减区间.

(II)首先利用锐角三角形求出4的值，进一步利用余弦定理和基本不等式求出儿的最大

值，最后求出三角形面积的最大值.

19.【答案】解：(1)令n=l,得2a1一的=静，即为=研,

v%丰0,­••%=1,

令n=2,得2a2—1=1-(1+a2)>解得a2=2,

当7i22时，由2an-l=Sn得，2%i-i-1=S"-i，

两式相减得2a；,-2an_i=an,即an=2an_「

*数列｛a.｝是首项为1，公比为2的等比数列，

-.an=2时[,即数列｛即｝的通项公式即=2"T；

(H)由(I)知，nan=n-2f设数列｛n%｝的前n项和为",

则〃=1+2x2+3x22+…+nx2"T,①

第12页，共16页

27^=1x2+2x22+3x23+-+nx2M,(2)

①-②得，-7；=1+2+22+…+2n-1-n-2n

=2n-l-n-2n,

n

：.Tn=l+(n-l)2.

【解析】(I)令"=1和2,代入所给的式子求得的和a2,当n>2时再令n=n-1得到

2an_i-l=Sn_i，两个式子相减得与=2即-1，判断出此数列为等比数列，进而求出

通项公式；

(H)由(I)求出na”=n-2"-1,再由错位相减法求出此数列的前n项和.

本题考查了数列斯与力之间的转化，以及由错位相减法求出数列的前n项和的应用.

20.【答案】解：(1)/(%)=excosx-x,

：•/'(x)=ex(cosx—sinx)—1,

可得曲线y=/(尤)在点(0,/(0))处的切线斜率为k=f(0)=0,

/(0)=1,切点为(0,1),

曲线y=/(x)在点(0,/(0))处的切线方程为y=1；

(2)/(x)=excosx—x,

f'[x)=ex(cosx—sinx)—1,

令g(x)=ex(cosx—sinx)—1,

g'(x)=ex(cosx-sinx—sinx—cosx)=­2ex-sinx,

当％e[0,^],可得=-2ex-sinx<0,

即有g。)在[0,§上单调递减，

可得g(x)4g(o)=o,即尸(%)<o,

则/(x)在上单调递减，

即有函数/(%)在区间[0,自上的最大值为/(0)=e°cosO-0=1；

最小值为f6)=S2COS^-J=-J.

【解析】本题主要考查导数的运用：求切线的方程和最值，考查运算能力，正确求导是

解题的关键，属于中等题.

(1)求出f(x)的导数，可得切线的斜率，由点斜式方程即可得到所求方程；

(2)求出/(x)的导数，再令g(x)=〃(尤)，求出g(x)的导数，可得g(x)在区间[0,§的单调

性和最大值，即可得到/(久)的单调性，进而得到/(X)的最值.

21.【答案】解：(I)设这二次函数f(x)=ax2+"(aw0),

则f'(x)=2ax+b,

由于/1'(%)=6%—2,得

a=3,b=—2,

所以/(%)=3x2—2x.

又因为点(n,Sn)(neN*)均在函数y=f(x)的图象上，

所以又=3n2-2n.

22

当n>2时，an=Sn-Sn_!=(3n-2n)-[3(n-l)-2(n-l)]=6n-5.

当n=1时，ai=Si=3xl2—2=6x1—5,

所以，an=6?i-5(neN*)

(11)由(1)得知bn=即；=(6,­)(6(n+i)-5)=5(藐与一藐7T)'

故仇=](1后)+(»白+…+(/_焉)]="1_焉).

因此，要使久1—三7)〈非(ne/v*)成立的m,必须且仅须满足左亲即m210,

L071+1ZUZNU

所以满足要求的最小正整数加为10.

【解析】(I)设这二次函数=ax2+bx(a丰0),根据导函数求得/(x)的表达式，

再根据点S，Sn)(nGN*)均在函数y=f(x)的图象上，求出w的递推关系式，

(11)把(1)题中的1的递推关系式代入%，根据裂项相消法求得"，最后解得使得及〈共对

所有几eN*都成立的最小正整数m.

本题主要考查二次函数、等差数列、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能,

考查分析问题的能力和推理能力.

22.【答案】解：(1)函数/(x)=}-x+a[nX的定义域为(。,+8),

可得：尸㈤=—2―1+2=—二产，

'、JX2XX2

设g(X)=/-Q%+1，%€(0,+°°),

当a<0时，9(%)>0恒成立，即/'(%)<0恒成立,

此时函数f(%)在(0,+8)上是减函数，

当a>0时，判别式/=a2