2021-2022学年北京高三（下）开学数学试卷（附答案详解）

2021-2022学年北京四中高三（下）开学数学试卷

1.已知集合4={xWZ|（x+2）（x—l）V0},B=[-2,-1},那么4UB等于（）

A.{-2,—1,0,1}B.{-2,—1,0}C.{—2,—1}D.{—1}

2.已知i为虚数单位，则复数z=岩对应的点位于（）

1—31

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.设86R,“sin。=cos。”是“cos28=0"的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

4.三棱柱ABC-AiBiG中，AA^IffiABC,4B_LBC.则

下列两条直线中，不互相垂直的是（）

A.44］和BC

B.AB1和BQ

C.aB和BC

D.AB和BiC

5.设E,尸分别是正方形ABCQ的边AB,BC上的点，且AE=

BF=|BC,如果市=m超+n前（m,n为实数），

那么m+n的值为（）

A.--

2

B.0

C.-

2

D.1

6.已知4（1,0）,直线l:x—y+l=0,则点A到直线/的距离为（）

A.1B.2C.V2D.2V2

7.已知函数/'（X）=sin（3x+g）（3>0）的最小正周期为4兀，则（）

A.函数f（x）的图象关于原点对称

B.函数/（x）的图象关于直线x=g对称

C.函数/"（乃图象上的所有点向右平移g个单位长度后，所得的图象关于原点对称

D.函数/（%）在区间（0,兀）上单调递增

8.设抛物线y2=8x的焦点为F,准线为I,P为抛物线上一点，PALI,A为垂足.若

直线AF的斜率为一百，则仍可=（）

A.4V3B.6C.8D.16

9.已知函数/(无)=｛置学x<09>0且a芋1).若函数f(x)的图象上有且只

有两个点关于y轴对称，则〃的取值范围是()

A.(0,1)B.(1,4)

C.(0,l)U(l,+8)D.(0,l)U(l,4)

10.数列｛an｝表示第八天午时某种细菌的数量•细菌在理想条件下第〃天的日增长率5=

0.6(7=N)当这种细菌在实际条件下生长时，其日增长率/会发生变

an

化.如图描述了细菌在理想和实际两种状态下细菌数量Q随时间的变化规律.那么，

对这种细菌在实际条件下日增长率7的规律描述正确的是()

0.日增长率

0.

A..

0.

时间C天)

日指长率

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0.6

0.4

c.

0.2

时间

♦EN长品

0.6

0.4*

D.•*

0.21..

**

051015

"阿t天、

11.在（产+昼）5的展开式中，常数项为.（用数字作答）.

12.在数列｛%（｝中，«!=1>an-an+1=-2,则S[oo=.

13.双曲线接一、=l（a>0,b>0）的渐近线为等边三角形。A8的边OA,OB所在直

线，直线AB过双曲线的焦点，且|4B|=2,则。=.

14.如图所示，点。在线段AB上，4a4。=30。，/.CDB=50°,。8=4.若再给出一条

线段的长度，可以使AABC唯一确定，这个线段可以是.（只需写出代表该线

段的字母，无需给出长度）

15.已知曲线C的方程是（x—a2+（y一%2=8,给出下列四个结论：

①曲线C与两坐标轴有公共点；

②曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形；

③若点P,0在曲线C上，则IPQI的最大值是6企；

④曲线C围成图形的面积大小在区间（40,44）内.

所有正确结论的序号是.

16.在△ABC中，sinA=&sinB,b=&.再从条件①、条件②、条件③这三个条件中

选择一个作为己知，使△力BC存在且唯一确定，并解决下面的问题：

（回）求角B的大小；

（团）求AABC的面积.

条件①：c=4；

条件②：b2—a2=c2—y/2ac；

条件③：acosB=bsinA

17.如图所示的多面体中，面42C。是边长为2的正方形，平面PDCQ平面A8CZ）,

PD1DC,E,F,G分别为棱BC,AD,PA的中点.

（回）求证：EG〃平面PDC。；

（回）已知二面角P-BF-C的余弦值为冷，求四棱锥P-4BCD的体积.

6

18.2020年5月1日起，北京市实行生活垃圾分类，分类标准为厨余垃圾、可回收物、

有害垃圾和其它垃圾四类.生活垃圾中有一部分可以回收利用，回收1吨废纸可再

造出0.8吨好纸，降低造纸的污染排放，节省造纸能源消耗.

某环保小组调查了北京市房山区某垃圾处理场2020年6月至12月生活垃圾回收情

况，其中可回收物中废纸和塑料品的回收量（单位：吨）的折线图如图：

56

37

_包份

6H7H8H9H1OJJ11H12”

（助现从2020年6月至12月中随机选取I个月，求该垃圾处理厂可回收物中废纸

和塑料品的回收量均超过4.0吨的概率；

（团）从2020年6月至12月中任意选取2个月，记X为选取的这2个月中回收的废

纸可再造好纸超过3.0吨的月份的个数.求X的分布列及数学期望；

（团）假设2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量为〃吨.当。为何值时,

自2020年6月至2021年1月该垃圾处理场可回收物中塑料品的回收量的方差最小

.（只需写出结论，不需证明）

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（注：方差52=；[（X1-x）2+（刀2-x）2+…+0n-x）2],其中X为X2,...Xn

的平均数）

19.已知函数f（x）=+x-》（卜<o）.

（国）求/（x）的单调区间；

（回）是否存在实数屋使得函数f（x）的极大值等于3e-?若存在，求出k的值；若不

存在，请说明理由.

20.已知椭圆C：2+《=1（。>6>0）的离心率为?，且点7'（2,1）在椭圆。上，设与

OT平行的直线/与椭圆C相交于P,Q两点，直线7P,70分别与x轴正半轴交于

M,N两点.

（/）求椭圆C的标准方程；

（团）判断|0M|+|0N|的值是否为定值，并证明你的结论.

21.设正整数数列A：%,a?，…，。'（%>3）满足见<%,其中1Wi</WN.如果存

在ke{2,3,…，N},使得数列A中任意k项的算术平均值均为整数，则称A为“我

阶平衡数列”.

（团）判断数列2,4,6,8,10和数列1,5,9,13,17是否为“4阶平衡数列”？

（团）若N为偶数，证明：数列A：1,2,3,…,N不是"左阶平衡数列”，其中kC{2,3,…,

N}.

（团）如果42019,且对于任意ke{2,3,…，N},数列A均为“左阶平衡数列”，

求数列A中所有元素之和的最大值.

答案和解析

1.【答案】B

【解析】

【分析】

本题考查并集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意并集定义的合理运用.

先求出集合A,由此利用并集的定义能求出AUB的值.

【解析】

解：B={-2,—1},

集合/={xeZ|(x+2)(%-1)<0}={-1,0},

••・4UB={-2,-1,0}.

故选：B.

2.【答案】B

l+2i_(l+2i)(l+3i)1.1.

【解析】解:l

l-3i―(l-3i)(l+3i)2^2

则复数z对应的点(一位于第二象限.

故选：B.

根据已知条件，结合复数的四则运算，以及复数的几何意义，即可求解.

本题主要考查复数的四则运算，以及复数的几何意义，属于基础题.

3.【答案】A

【解析】解：若sin6=cos。，则9=々兀+3，(k€z),

故28=21兀+］故cos26=0,是充分条件，

若cos2J=O则2。="+三，+(fc6z),

224

不是必要条件，

故选：A.

根据充分必要条件的定义以及三角函数的性质判断即可.

本题考查了充分必要条件，考查三角函数的性质，是一道基础题.

4.【答案】B

【解析】解：对于A,因为441平面ABC,BCu平面ABC,所以441IBC；

对于8,AB1与BC］不一定垂直；

对于C,因为4411BC,AB1BC,且441nAB=A,所以BC_L平面ABB14,AB11BC；

对于力，因为4411平面ABC,CCJ//M1，所以CCiJ■平面ABC,所以CglAB,

又AB工BC,且BCDCCi=C,所以1平面BCGBi，

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又u平面BCG&,所以AB1BC

故选：B.

根据直线与平面垂直的判定定理和性质，判断即可.

本题考查了空间中的垂直关系应用问题，也考查了推理与判断能力，是基础题.

5.【答案】C

【解析】

【分析】

本题考查了向量的线性运算，合理利用向量的平行四边形法则，

三角形法则，是解题关键，属于基础题.

如图所示，EF=EA+AC+CF=-^AB+AC-^BC=

23

--AB+AC--(BA+AC)=一3荏+?前.即可求得加，〃即可.

2363

【解答】

解：如图所示,

EF=EAAC+CF=-^ABAC-^BC

1―►—►1—,―.1―>2—,

=--AB^AC--(BA+AC)=--AB+-AC.

23、763

12

Am=——,n=-,

63

m4-n=-,

2

故选C.

6.【答案】C

【解析】

【分析】

本题主要考查点到直线的距离，属于基础题.

由题意利用点到直线的距离公式，求得结果.

【解答】

解：•••点4(1,0),直线，:x-y+l=0,则点A到直线/的距离为：=

故选：C.

7.【答案】C

【解析】解：函数/'(%)=sin(3%+乡(3>0)的最小正周期为4兀，

6

2n.

・•・一=4〃，

0)

可得3=

那么f(%)=sin(|x+^).

由对称中心横坐标方程：+g=kTT,kEZ,

可得：x=2kn

・•・4不对；

由对称轴方程：-%+—=—+kji,kEZ,

262

可得：x=2kn+keZ,

B不对；

函数f(x)图象上的所有点向右平移m个单位，可得：sin［；(x—9+勺=sin2x,图象关

3236

于原点对称.

・・・C对二

令---F2/CTT工—XH—W—F2/CTT,kGZ,

2262

可得：——+4/CTT4工4--~F4/CTT

・・・函数/(%)在区间(0,兀)上不是单调递增.

・•.0不对；

故选：C.

函数f(x)=sin(3X+g)(3>0)的最小正周期为4兀，求出侬，可得/(%)解析式，对各选

项进行判断即可

本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，属于中档题.

8.【答案】C

【解析】解：•.•抛物线方程为y2=8x,

焦点F(2,0),准线/方程为x=-2,

•••直线AF的斜率为一百，直线AF的方程为y=-V3(x-2),

由二二KQ-2)'可得A点坐标为(一2,46)，

vPA1I,A为垂足，

••.P点纵坐标为4百，代入抛物线方程，得P点坐标为(6,4百)，

\PF\=\PA\=6-(-2)=8,

故选C.

先根据抛物线方程求出焦点坐标和准线方程，根据直线AF的斜率得到AF方程，与准

线方程联立，解出A点坐标，因为PA垂直准线/,所以P点与A点纵坐标相同，再代

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入抛物线方程求P点横坐标，利用抛物线的定义就可求出|PF|长.

本题主要考查抛物线的几何性质，定义的应用，以及曲线交点的求法，属于综合题.

9.【答案】D

【解析】解：由题意，0<a<l时，显然成立；

a>1时，/(x)=logaX关于y轴的对称函数为/(x)=loga(-x),则loga4>1,1<a<

4,

综上所述，a的取值范围是(0,l)UQ4),

故选：D.

由题意，0<a<1时，显然成立；a>1时，/"(X)=logM关于),轴的对称函数为f(x)=

loga(-x),则loga4>l,即可得到结论.

本题主要考查分段函数的应用，考查函数的解析式，属于中档题.

10.【答案】B

【解析】解：由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，

n=万=%=0.6为定值，而实际情况在第io天后增长率是降低的，并且降低的速度是

变小的，

故选8.

由图象可知，第一天到第六天，实际情况与理想情况重合，q=0=6=0-6为定值，

而实际情况在第10天后增长率是降低的，并且降低的速度是变小的，即可得出结论.

本题考查散点图，考查数形结合的数学思想，比较基础，

11.【答案】40

【解析】解：由于(%2+自5展开式的通项公式为4+]=去2，-0寸

令10-5r=0,解得r=2,故展开式的常数项是40,

故答案为40.

在(7+喜)5展开式的通项公式中，令x的幕指数等于零，求出厂的值，即可求出展开式

的常数项.

本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属

于中档题.

12.【答案】-50

【解析】解：根据题意，由%=1,ara2=-2,得出=一2,

又。2。3=—2，得。3=1，；a3a4=—2，得Q4=—2，...，

所以｛&；｝中所有的奇数项均为1,所有的偶数项均为-2,

所以Si。。=%+。2+…+的9+。10。=1—2+…+1—2=50x(—1)=—50.

故答案为：—50.

根据的=1,ara2=一2,得g=-2,a3=1,a4=-2,...,从而可发现｛a九｝中所有

的奇数项均为1,所有的偶数项均为一2,进一步利用SIOO=QI+Q2+-+Q99+Q1OO=

1-2+•••+1—2=50X(—1)进行求解即可.

本题考查数列的递推公式，分组求和法，考查学生逻辑推理和数学运算的能力，属于基

础题.

13.【答案】|

【解析】解：由于△048(。为坐标原点)是等边三角形，

则由对称可得,4。由尸=30°,

双曲线的渐近线方程为y=+^x,

即有tan30°=?即。=当a,

又c=yja2+b2=a=V3,

则a=|.

故答案为：*

由等边三角形和双曲线的对称性，可得，^OAF=30",再由渐近线方程，可得b=与a,

再由a,b,c的关系和c的值，即可计算得到a.

本题考查双曲线方程和性质，考查双曲线的渐近线方程和离心率的求法，属于基础题.

14.【答案】AD

【解析】解：如图所示，点。在线段4B上，^CAD=30°,/COB=50°,DB=4,

所以4B=BD+AD=4+AD,

则AB为定值，

所以N4CD=Z.CDB-/.CAD=50°-30。=20°,

/.ADC=180°-Z.CDB=130°,

所以在△ADC中,

利用正弦定理:4C_AD

s\nz.ADCs\nz.ACD1

ADsinZ.ADC4Dsinl300

则AC=

sinZ-ACDsin200

故AC为定值;

AB,AC,乙CAB都为定值，4ABe唯一确定，

故答案为：AD.

直接利用正弦定理的应用求出结果.

本题考查的知识要点：正弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属

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于基础题.

15.【答案】②③

(y+1产=8,

作出图象：

依次分析4个结论：

对于①，由于y片0,曲线C与坐标轴没有交点，故①错误；

对于②，由图可知，曲线C既是中心对称图形，又是轴对称图形，故②正确；

对于③，若点尸，Q在曲线C上，则当且仅当尸、Q与圆弧所在的圆心共结时取得最大

值，

故|PQ|的最大值是圆心距加两个半径，为2&+4&=6位,故③正确；

对于④，当x>0,y>0时，方程为。一I/+(y-1产=8与坐标轴的交点(夕+1,0)，

(0,b+1)平分圆，

则第一象限面积为Si>|X(V7+1)X(V7+1)+JX(2V2)2X7T-,

故总的面积为32+32兀€(40,44),故④错误.

故答案为：②③.

根据题意，对绝对值里面的正负分类讨论求出方程，作出图象，由此分析4个结论，即

可得答案.

本题考查考查曲线方程的图象及性质、涉及绝对值的含义、圆的性质等，是中档题.

16.【答案】解：(团)sin4=夜5勿B,b=V2,

•••a=—2,

若选①：c=4,此时a+b<c,三角形无解，

若选②：b2—a2=c2—V2ac,

•••a2+c2—b2=\[2ac,

由余弦定理得，858=吆炉=毅=?,

2ac2ac2

又•・•86（0,兀），・・・B=g

若选③：acosB=bsinA,

则sinZcosB=sinBsinA,

又ainA>0,cosB=sinB,

即tanB=1,

又・・・8€（0,兀），.・・B=%

（回）由（团）可知8=3，a=2,b=V2,

由正弦定理得，号=-々，

siru4sinB

2X乎7r

・•・sinA=-p-=1,.**A=

V22

：•c=b=y/2f

.••AABC的面积为沙=|xV2xV2=l.

【解析】（/）由已知结合正弦定理可求a,b,然后结合所选条件，结合余弦定理及正弦

定理可求cosB,进而可求B；

（〃）由已知结合正弦定理可求A,然后结合三角形面积公式可求.

本题主要考查了余弦定理，正弦定理及三角形面积公式在求解三角形中的应用，属于中

档题.

17.【答案】

证明：（回）取PO中点H,连接GH,HC,

因为48C。是正方形，所以4D〃BC,AD=BC.

因为G,H分别是PA,尸£＞中点，所以GH〃AD,GH=\AD.

又因为EC〃/W且EC=\AD,

所以GH〃EC,GH=EC,

所以四边形GHCE是平行四边形，

所以EG〃HC.

第12页，共17页

又因为EG<t平面PDCQ,HCu平面PDCQ

所以EG〃平面POCQ.

解：（回）因为平面PDCQJL平面A8CQ,

平面POCQD平面ABCO=CO,PD1DC,PDPDCQ,

所以PD1平面ABCD.

如图，以。为原点，射线£>A,DC,Z）P分别为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标

系.

设PD=a,则P（0,0,a）,F（l,0,0）,B（2,2,0）.

因为PD1底面ABCD,所以平面ABC。的一个法向量为记=（0,0,1）.

设平面PFB的一个法向量为元=（%,y,z）,

~PF=(1,0,-«).而=(1,2,0)

则”.元=0

•有=0

(x—az=0

叫nilX+2y=0

令x=l,得z=2,y=_j所以记=(1,_；,工)

a22a

由己知，二面角P-BF-C的余弦值为£

6

V6

所以得|cos<m,n>|=

6

解得a=2,所以PD=2.

因为P。是四棱锥P-4BC0的高，

所以其体积为Vp-ABCO=[X2X4=*

【解析】（团）取P。中点“，连接GH,HC,通过证明EG〃HC然后证明EG〃平面PDCQ.

（团）以。为原点，射线ZM,DC,。尸分别为x,y,z轴正方向，建立空间直角坐标系.设

PD=a,求出相关点的坐标，求出平面ABCD的一个法向量，平面PFB的一个法向量，

求出|cos（沅，元>|,推出PQ,然后求解几何体的体积.

本题考查空间向量求解二面角的平面角，几何体的体积的求法，直线与平面平行的判

断.考查空间想象能力以及计算能力.

18.【答案】解：（回）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”

为事件A........................（1分）

由题意，只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨.......（2分）

所以P（4）=*.....................................（4分）

（回）因为回收利用1吨废纸可再造出0.8吨好纸

所以6月至12月回收的废纸可再造好纸超过3.0吨的月份有：7月、8月、10月，共3

个月.

X的所有可能取值为0,1,2...................（5分）

P(X=1)=呼=-=

'7217

P(X=2)=.=^=a..................(8分)

所以X的分布列为：

X012

241

P

777

(9分)

E（X）=0x|+lxi+2xi=%..................（11分）

（I2）a=4.4..................（14分）

当添加的新数a等于原几个数的平均值时，方差最小.

【解析】（团）记“该垃圾处理厂可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨”为事件

A,推出只有8月份的可回收物中废纸和塑料品的回收量均超过4.0吨，然后求解概率.

（回）X的所有可能取值为0,1,2,求出概率得到分布列，然后求解期望即可.

（团）求出a=4.4,判断当添加的新数。等于原几个数的平均值时，方差最小.

本题考查离散型随机变量分布列以及期望的求法，考查分析问题解决问题的能力，是中

档题.

19.【答案】解：(回)/'(X)的定义域为R,

f'(x)=—ke~kx(x2+无一》+e~kx(2x+1)=e~kx[-kx2+(2-k)x+2],即/'(x)=

-e-kx(kx-2)(x+l)(/c<0).

令尸(x)-0,解得：x=—1或x-p

①当k=-2时,f(x)=2e2x(x+l)2>0,

故/(x)的单调递增区间是(-8,+8);

②当-2<k<0时，/(X),/'(%)随x的变化情况如下：

222

X(-8工)-1(-1,4-CO)

k忆T）

f'(x)+0-0+

f(x)/极大值X极小值/

所以，函数的单调递增区间是（-8,6和（一1,+8）,单调递减区间是4,一1）.

③当k<-2时，/（X）,/'（无）随x的变化情况如下：

第14页，共17页

222

X(-00,-1)-1(『+8)

(TRk

f'M+0-0+

f。)/极大值极小值7

所以，函数/（X）的单调递增区间是（—8,—1）和+8）,单调递减区间是（一11）.

综上，当卜=一2时，/（乃的单调递增区间是（一8,+8）;当一2<k<0时，/（乃的单调

递增区间是（一8,6和（一1,+8）,单调递减区间是（，一1）；

当k<—2时，/（X）的单调递增区间是（一8,—1）和q,+8）,单调递减区间是（—1,6.

国）①当卜=一2时，/（X）无极大值.

②当一2<fc<0时,f（x）的极大值为居）=e-2煨+》，

令0-2（丧+》=3e-2,即q+1=3,解得k=一1或k=［（舍）.

③当k<-2时，/（x）的极大值为八一1）=一£.

因为ek<e-2,0<-i<i,所以一［<豆-2.

因为：e-2<3e-2,所以/（x）的极大值不可能等于3e-2,

综上所述，当上=一1时，f（x）的极大值等于3e-.

【解析】（团）求出（（x））=-e-kx（：kx-2）（x+l）（fc<0）,令/（x）=0,解得：x=-1或

x=今按两根-1，3的大小关系分三种情况讨论即可；

（回）由（回）分情况求出函数f（x）的极大值，令其为3e-2,然后解忆即可，注意k的取值范

围；

本题考查利用导数研究函数的单调性及求函数极值问题，考查分类讨论思想，考查学生

逻辑推理能力，属中档题.

20.【答案】解：（团）

由题意

解得:a=2y/2,b=

V2,c—V6

故椭圆C的标准方

程为卷+§=1；

82

（团）根据题意，假设直线7P或7Q的斜率不存在，则P点或Q点的坐标为（2,-1）,

直线/的方程为y+1=［（x-2）,即y=［x-2.

1+J

联立方程《82，得/-4x+4=o,

\y=2x~2

此时，直线/与椭圆C相切，不合题意.

故直线7P和7。的斜率存在.

设PQI，%)，<?(#2而，

则直线TP:y-l="(%-2),

直线TQ:y-1=/。-2)

故[0时|=2-署，|0N|=2-二

由直线07:y=gx,设直线PQ:y=gx+t(t十0)

仔+比=1

联立方程，8：n/+2以+2t2-4=0

y=2x+t

4>

当0时，xt+x2=-2t,Xj-x2=2t2—4,

|。叼+|附=4-(黑+造)=4-(京台+凝”4-

%]%2+«-2)(%]+%2)-=4—2£2_4+(£―2)(-2t)_4(£_l)_4

222

^x1X2+^(t-l)(x1+x2)+(t-l)^(2t-4)+i(t-l)(-2t)+(t-l)

信+Ai

【解析】(回)根据题意，由椭圆的几何性质分析可得｛於一82=。2,解可得。、。的值,

le=«c=TV3

将。、8的值代入椭圆方程，即可得答案；

(团)根据题意，假设直线7P或7。的斜率不存在，联立直线与椭圆的方程分析可得直线

/与椭圆C相切，不合题意，则直线7P和TQ的斜率存在，进而设P(xi，yi),Q(x2,y2)-

由此表示直线7P或7。的方程，联立直线与椭圆的方程，由根与系数的关系表示|OM|+

|ON|的值，即可得答案.

本题考查直线与椭圆的位置关系，涉及椭圆的几何性质，属于综合题，注意提升计算的

能力.

21.【答案】解：(助由"口不为整数,

可得数列2,4,6,8,10不是4阶平衡数列；

数列1,5,9,13,17为首项为1,公差为4的等差数列，

则