2020版高考数学第四章正弦定理和余弦定理(第1课时)系统知识-正弦定理、余弦定理及应用举例讲义

eq\o\ac(△,S)ABCeq\o\ac(△,S)ABC第节

正定和弦理第1课系知识——正弦定、余弦定理及应用举例正弦定理、余弦定理正、余弦定理的内容及变形定理内容变形形式

正弦定理ab＝＝＝(其中R是sinAsinBsinC△外圆的半径)a＝sinA，＝sin_，c＝sin_；asin＝；sinB＝；2R2csin＝；2Ra∶＝sin_∶sin_B∶C；asin＝sinAsinC＝sinBasinC＝sinA；a＋＋＝sin＋sinsinC

余弦定理＝＋2bccos；＝＋2accos_；＝＋2abcos_Cb＋－cos＝；2a＋－cos＝；2a＋－cos＝2[提醒]若知两边和其中一边的对角三角形时可正弦定理在据另一边所对角的正弦值确角的值时要意避免增根或漏解常用的基本方法就是注意结合“大边对大角，大角对大边”及三角形内角和定理去考虑问题．[谨记常用结论]1．在三角形中，A＋＋＝π，(1)sinA＝B＋)cosA＝－cos(C，tan＝－tan(＋．ABCB＋C(2)sin＝，cos＝.2222(3)sinA＝＝；πsin2＝sin2A＝或A＋B＝.2(4)>bsin>sinBcos<cosB.2．三角形的面积111＝sin＝sin＝acsinB＝222

abc1＝(a＋＋)·(三角形内切圆的半4R2径，可由此计算，r.

5eq\o\ac(△,S)AB5eq\o\ac(△,S)AB[小题练通]1.[教材改编题在△ABC＝60°4＝3△的面积等于_______．答案：32.[教材改编题在△ABC中，，分为内角A，，的对，若2sinB＝A3＋sinC，cosB＝，＝，＝________.解析：在△中，由正弦定理得2＝＋，①由余弦定理可得，＝＋c

316－ac×＝a＋)－，553414由cos＝，得sin＝，故＝ac＝6，③5525由①②③得＝4.答案：3.[教材改编题在△ABC，角A，，所对的分别为，b，，2AsinA，bc＝，△的积为________1解析：由cos2A＝sin，得－2sinA＝A，得sin＝(值舍去，由bc2，21111可得△的积S＝sinA×2×＝.22221答案：24.[易错题已，，分为ABC三内，，的边，＝，＝45°，若三角形有两解，则边b的值范围是________．解析：由题可知，有两解的充要条件是bsin45°<2<，解得2<<22.的值范围是2,22)．答案：2)5．△ABC的内角A，，的对分别为，，c，若＝4，＝，，△的积为53，则＝________.1解析：由三角形面积公式，得＝3，2即sin＝

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.又>，bc，所以为角，于是＝60°.由余弦定理，得c＝＋－2×4×5cos60°解得＝21.

答案：21a＋－6．△的内角A，，的边分别为，，c若的积为，＝4________.1＋－2cos1解析：∵＝absin＝＝＝cosC∴sinC＝cos，tanC2442π＝∵∈(0，π)，∴＝.4π答案：4解三角形应用举例测量中的有关几个术语的意义及图形表示名称仰角与俯角方位角方向角

意义在目标视线与水平视线所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做仰角目标视线在水平视线下方的叫做俯角从某点的指北方向线起按顺时针向到目标方向线之间的夹角叫做方位角，方位角θ的围是≤正北或正南方向线与目标方向线所成锐角，通常表达为北(南偏(西α

图形表示例(1)北偏东α：(2)南西：[提醒](1)方角和方向角本质上是一样的，方向角是方位角的一种表达形式，是同一问题中对角的不同描述．(2)将三角形的解还原为实际问时，要注意实际问题中的单位、近似值要求，同时还要注意所求的结果是否符合实际情况．[小题练通]1.[教材改编题如所示设两在河的两岸一测量者在A所在的同侧河岸边选定一点C，测出的离为50m，∠ACB，∠＝105°后，就可以计算出，点的距离________m.答案：22.[易错题江边有一炮台高30，江中有两条船，船与炮台底部在同一水平面上，由炮台顶部测得俯角分别为45°60°而且两条船与炮台底部连线成30°角则两条船

相距________m.解析图＝tan45°30(m)＝tan＝

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×30＝3(m)，在△中，由余弦定理得，MN＝

900＋300－2×30×103×

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＝300＝103(m)．答案：33．海面上有A，三灯塔，＝mile从望C和B成60°视角，从望C和A成75°视角，则BC________nmile.答案：64A船在塔C北偏80°处A到C的距离为km在灯塔北西40°A，两的距离为km则到C的距离________km.解析：由条件知，∠ACB＋40°＝120°，＝km，则由余弦定理知9＝＋－xcos120°∵>0，∴＝6－答案：6－15.某中学举行升旗仪式，在坡度15°的看台E和看台的坡脚A点，分别测得旗杆顶部的仰角分别为30°60°量得看台坡脚点到E点在平线上的射影B点距离为10m，则旗的高_