2018年数学命题角度4.1空间平行垂直关系的证明大题狂练理

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精PAGE16-学必求其心得，业必贵于专精命题角度4。1：空间平行，垂直关系的证明1。如图，直三棱柱（侧棱与底面垂直的棱柱）ABC﹣A1B1C1(1)求证：B1C∥平面A1（2）若AB=BC，AC=2AA1，求证：AC【答案】（1）见解析;（2)见解析。（2）证明：∵直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥底面ABC，BG⊂平面ABC,∴AA1⊥BG，∵G为棱AC的中点，AB=BC，∴BG⊥AC,∵AA1∩AC=A，∴BG⊥平面ACC1A1，∴BG⊥AC1∵G为棱AC中点,设AC=2，则AG=1，∵AA1=2，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AG中，tan∠AC1C=tan∠A1GA=∵BG∩A1G=G,∴AC1∵A1B⊂平面A1BG，∴AC1⊥A1B.2。一副直角三角板(如图1）拼接，将折起，得到三棱锥(如图2)。(1）若分别为的中点，求证：平面；（2）若平面平面，求证:平面平面。【答案】(1）证明见解析；（2）证明见解析。【解析】试题分析:（1）利用三角形中位线的性质，可得，由线面平行的判定定理可证明平面；（2）若平面平面，可得平面,平面，由面面垂直的判定定理可证明平面平面.【方法点晴】本题主要考查线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理以及面面垂直的判定定理，属于难题.证明线面平行的常用方法：①利用线面平行的判定定理,使用这个定理的关键是设法在平面内找到一条与已知直线平行的直线，可利用几何体的特征，合理利用中位线定理、线面平行的性质或者构造平行四边形、寻找比例式证明两直线平行.②利用面面平行的性质，即两平面平行，在其中一平面内的直线平行于另一平面.本题（1)是就是利用方法①证明的。3.如图，在四棱柱中，已知平面平面,且,．(1)求证：；(2)若为棱的中点，求证：平面．【答案】(1）证明过程如解析；（2)证明过程如解析【解析】【试题分析】(1）依据题设条件先运用线面垂直的判定定理证明平面，再运用线面垂直的性质定理证明（2）先借助题设条件证明，再运用线面平行的判定定理证明平面：证明：(1）在四边形中，因为，所以，又平面平面，且平面平面，平面，所以平面,又因为平面，所以．（2)在三角形中，因为，且为中点，所以,又因为在四边形中，,,所以，，所以，所以，因为平面平面，所以平面．4.如图，在直三棱柱ABC。A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F,A1C1⊥A1（1）求证：直线DE∥平面A1C（2)求证:平面B1DE⊥平面A1C【答案】（1)见解析（2）见解析（2)在直三棱柱ABC.A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C∵A1C1⊂平面A1B1C1，∴A1A⊥A又∵A1C1⊥A1B1，AA1⊂平面ABB1A1，A1B1⊂平面ABB1A1，A1A∩A1B1∴A1C1⊥平面ABB1A∵B1D⊂平面ABB1A1，∴A1C1⊥B1又∵B1D⊥A1F，A1C1⊂平面A1C1F，A1F⊂平面A1C1F,A∴B1D⊥平面A1C∵B1D⊂平面B1DE，∴平面B1DE⊥平面A1C5。如图所示,是边长为3的正方形，平面与平面所成角为.（Ⅰ)求证：平面;(Ⅱ）设点是线段上一个动点，试确定点的位置，使得平面,并证明你的结论．【答案】（Ⅰ）见解析;(Ⅱ）.【解析】试题分析:（1）由线面垂直的判定定理证明;(2）建立空间直角坐标系,写出各点坐标,由于点M在线段BD上，所以设,求出平面BEF的法向量，由,求出点M的坐标。试题解析：（Ⅰ）证明：∵平面，∴，∵是正方形,∴,又，∴平面.（Ⅱ)解：因为两两垂直，所以建立空间直角坐标系如图所示,因为与平面所成角为,即,所以,由,可知,则,所以,设平面的法向量,则,即.令得，,又点是线段上一动点，设，则因为平面，所以，即解得。此时，点的坐标为(2，2，0)即当时,平面.6.如图，在三棱锥P－ABC中，AB＝AC,D为BC的中点,PO⊥平面ABC，垂足O落在线段AD上．已知BC＝8，PO＝4，AO＝3，OD＝2.(1）证明：AP⊥BC；（2)若点M是线段AP上一点，且AM＝3。试证明平面AMC⊥平面BMC.（2)由（1）知｜AP｜＝5，又|AM｜＝3，且点M在线段AP上,7。如图1，在中，分别是上的点,且，，将△沿折起到△的位置，使，如图2.(I）求证：；(II）线段上是否存在点,使平面与平面垂直？说明理由．【答案】(1)见解析；(2）线段上不存在点，使平面与平面垂直．。【解析】试题分析：（1）证明A1C⊥平面BCDE，因为A1C⊥CD,只需证明A1C⊥DE，即证明DE⊥平面A1CD；（2)设线段BC上存在点P，设P点坐标为（0，a，0），则a∈[0，3]，求出平面A1DP法向量为假设平面A1DP与平面A1BE垂直，则,可求得0≤a≤3(II)解：线段上不存在点，使平面与平面垂直．以为坐标原点，建立空间直角坐标系，则，，，，．假设这样的点存在，设其坐标为，其中．设平面的法向量为,则,又,，所以3x-23z=0-x+2y=0令,则所以．平面的法向量为，则，又，，所以令,则。所以平面⊥平面,当且仅当，即.解得,与矛盾．所以线段上不存在点，使平面与平面垂直．点睛:本题考查线面垂直,考查线面角，考查面面垂直,MN:向量语言表述面面的垂直、平行关系；LW：直线与平面垂直的判定;MQ：用空间向量求直线与平面的夹角；既有传统方法,又有向量知识的运用,要加以体会。8。如图,都与正方形所在平面垂直，，（Ⅰ)求证：⊥平面；（Ⅱ）过点与平面平行的平面交于点，求的值。【答案】（1）见解析（2)【解析】试题分析：（1）由条件得三角形PAD为等腰三角形,再根据等腰三角形性质得。计算由勾股定理得,最后根据线面垂直判定定理得⊥平面；（2）设点与平面平行的平面交于点，由面面平行性质定理得,所以试题解析：（Ⅰ)连接,由题知,共面,，∴,∴。由题中数据得∴∽∴，又∵∴∴（或计算，由勾股定理得出)∵,∴（Ⅱ）如图,以为原点，分别以所在直线为轴建立直角坐标系,∴各点坐标分别为,∴=,=,设平面的法向量∴，得,不妨设，∴设，∴，，∵平面，∴与平面的法向量垂直.，∴。∴9。如图,四棱锥P-ABCD的底面ABCD是直角梯形，AB//DC,AD⊥DC,侧面PDC⊥底面ABCD,ΔPDC是等边三角形,AB=AD=12CD=1，点（Ⅰ）求证：AP//平面EFG;（Ⅱ）在线段PB上存在一点Q，使PC⊥平面ADQ，且PQ=λPB，求【答案】（1)详见解析;(2）30∘；(3）λ=【解析】试题分析：（Ⅰ）由题意证得PA//EH,结合线面平行的判断定理可得PA//平面EFG。(Ⅱ）建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标表示得到关于实数λ的方程，解方程可得λ=2试题解析：(Ⅰ）证明：设H是AD的中点，连接EH,GH∵E,F,G分别是PD,PC,BC∴EF//CD,GH//CD，∴EF//GH∴E,F,G,H四点共面∵PA//EH，PA⊄平面EFGH，∴PA//平面EFG（Ⅱ）∵平面PDC⊥底面EFGH，AD⊥DC∴AD⊥平面PDC，过点D作z轴与平面ABCD垂直，则z轴⊂平面PDC以DA,DC分别为x轴,y轴建立空间直角坐标系D-xyzP(0,1,3),B(1,1,0)PC=(0,1,-PQ=(x,y-1,z-∴Q(λ,1,3-3∵PC⊥平面ADQ，∴PC⊥AQ∴-1+3-3λ=0,λ=2点睛：高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题。对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决.立体几何引入空间向量后,可以借助向量工具，使几何问题代数化，降低思维的难度.尤其是在解决一些立体几何中的探索性问题时,更可以发挥这一优势。10。如图所示的几何体中，四边形为等腰梯形,∥，，，四边形为正方形，平面平面。(Ⅰ）若点是棱的中点，求证：∥平面;（Ⅱ）在线段上是否存在点，使平面平面？若存在，求的值;若不存在，说明理由.【答案】（1）见解析（2）（3）见解析试题解析:(Ⅰ）证明：由已知得//,且.因为为等腰梯形，所以有//。因为是棱的中点，所以．所以//，且，故四边形为平行四边形,所以//.因为平面，平面，所以//平面．解:在等腰梯形中，可得.如图，以为原点,以所在直线分别为轴，建立空间坐标系，则,，，,,所以，，.设平面的法向量为，由所以，取，则,得．线段上不存在点，使平面平面．证明如下：假设线段上存在点,设，则．