高二开学考（文数）

太湖中学2022级高二下学期开学考试数学试卷（文科）（考试时间：120分钟试卷分值：150分）第Ⅰ卷（选择题共60分）选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.设，，则A∩B=（）A.(0,+∞)B.(0,2) C.(－1,0)D.(－1,2)2.已知，，，则（）A. B. C. D.3.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，，，则()A.45B.63 C.54D.814.已知，，则（）A.B.或C. D.或5.已知，为单位向量，且满足，则A.30°B.60°C.120°D.150°6.若x，y满足，且的最大值为6，则k的值为（）A.－1B.－7 C.1D.77.如图所示，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某四棱锥的三视图，则该几何体的体积为（）A.2B.C.6D.88.执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的j=（）A.1B.3C.5 D.79.过点A(1，2)且与原点距离最大的直线方程是A.x+2y-5=0B.2x+y-4=0C.x+3y-7=0D.x+3y-5=010.设F1、F2是双曲线的左、右焦点，A是C的左顶点，过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P，若，则C的离心率为（）A.B.C. D.11.七巧板是古代中国劳动人民发明的一种中国传统智力玩具，它由五块等腰直角三角形，一块正方形和一块平行四边形共七块板组成.清陆以湉《冷庐杂识》卷一中写道：近又有七巧图，其式五，其数七，其变化之式多至千余.体物肖形，随手变幻，盖游戏之具，足以排闷破寂，故世俗皆喜为之.如图是一个用七巧板拼成的正方形，若在此正方形中任取一点，则此点取自阴影部分的概率为（）A.B. C.D.12.若存在唯一的正整数，使得不等式成立，则实数a的取值范围是（）A.B.C. D.第II卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13.若角600°的终边上有一点，则a的值是_____________.14.已知正实数x，y满足，则的最小值为______.15.定义函数，若存在常数，对于任意，存在唯一的，使得，则称函数在上的“均值”为，则函数的“均值”为________．16.已知O为坐标原点,F是椭圆的左焦点,A,B,D分别为椭圆C的左,右顶点和上顶点,P为C上一点,且轴,过点A,D的直线l与直线PF交于点M,若直线BM与线段OD交于点N,且,则椭圆C的离心率为__________．三、解答题：（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）17.在△ABC中，已知，.（Ⅰ）求cosC的值；（Ⅱ）若，D为AB的中点，求CD的长.18.在等比数列{an}中，，.（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）若，求数列{bn}的前n项和Sn.19.某科研所对新研发的一种产品进行合理定价，该产品按事先拟定的价格试销得统计数据.单价（万元）88.28.48.88.69销量（件）908483758068(Ⅰ)①求线性回归方程；②谈谈商品定价对市场的影响；(Ⅱ)估计在以后的销售中，销量与单价服从回归直线，若该产品的成本为4.5元/件，为使科研所获利最大，该产品定价应为多少？（附：）20.如图，在多边形ABPCD中（图1），ABCD为长方形，为正三角形，现以BC为折痕将折起，使点P在平面ABCD内的射影恰好在AD上（图2）.（Ⅰ）证明：PD⊥平面PAB；（Ⅱ）若点E在线段PB上，且，当点Q在线段AD上运动时，求三棱锥的体积.21.已知抛物线C：=2px经过点P（1，2）．过点Q（0，1）的直线l与抛物线C有两个不同的交点A，B，且直线PA交y轴于M，直线PB交y轴于N．（Ⅰ）求直线l的斜率的取值范围；（Ⅱ）设O为原点，，，求证：为定值．22.已知函数，函数g（x）=-2x+3．（Ⅰ）当a=2时，求f（x）的极值；（Ⅱ）讨论函数的单调性；（Ⅲ）若-2≤a≤-1，对任意x1，x2∈[1，2]，不等式|f（x1）-f（x2）|≤t|g（x1）-g（x2）|恒成立，求实数t的最小值．高二数学期中试题答案（文科）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）123456789101112BBBACCACAAAD第=2\*ROMANII卷（非选择题共90分）二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.）13、.14、15、101016、三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17.解：（Ⅰ）且，∴．．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．由正弦定理得，即，解得．中，，，所以。18.解:（1）因为，，所以，解得，故的通项公式为.（2）由（1）可得，则，①，②①-②得故.19.解：（1）①依题意：，∴回归直线的方程为.②由于，则负相关，故随定价的增加，销量不断降低.（2）设科研所所得利润为，设定价为，∴，∴当时，.故当定价为元时，取得最大值.20.解：（Ⅰ）过点作，垂足.由于点在平面内的射影恰好在上，∴平面.∴.∵四边形为矩形，∴.又，∴平面，∴又由，，可得，同理.又，∴，∴，且，∴平面.（Ⅱ）设点到底面的距离为，则.由，可知，∴.又，∴.解：（Ⅰ）因为抛物线y2=2px经过点P（1，2），所以4=2p，解得p=2，所以抛物线的方程为y2=4x．由题意可知直线l的斜率存在且不为0，设直线l的方程为y=kx+1（k≠0）．由得．依题意，解得k<0或0<k<1．又PA，PB与y轴相交，故直线l不过点（1，-2）．从而k≠-3．所以直线l斜率的取值范围是（-∞，-3）∪（-3，0）∪（0，1）．（Ⅱ）设A（x1，y1），B（x2，y2）．由（I）知，．直线PA的方程为y–2=．令x=0，得点M的纵坐标为．同理得点N的纵坐标为．由，得，．所以．所以为定值．22.（1）由题意，当a=2时，函数f（x）=lnx-x2+x，则．易知f（x）在（0，1）递增，（1，+∞）递减，所以函数f（x）极大值为，无极小值．（2）由函数，则．①a≤0时，＞0，恒成立，∴F（x）在（0，+∞）单调递增；②当a＞0，由＞0得，＜0得，所以F（x）在单调递增，在单调递减．综上：当a≤0时，F（x）在（0，+∞）单调递增；当a＞0时，F（x）在单调递增，在单调递减．（3）由题知t≥0，．当-2≤a≤-1时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）单调递增，不妨设1≤x1≤x2≤2，又g（x）单调递减，