2022年高考数学考前30天题型突破专题3三角函数（新高考）解析版

2022年高考数学考前30天题型突破专题3：三角函数

一、高考命题规律

1.规律小结

三角函数和解三角形作为高考的必考内容，在高考中选择、填空、解答三种题型都会涉

及，大部分是考查基础知识和基本方法，考查内容涉及三角函数定义、诱导公式、同角三角

函数基本关系式、图像变换、正弦型函数或余弦型函数的图像和性质、三角恒等变换、解三

角形。如果考查解答题，多数位于解答题第一题或者第二题，难度不大。三角函数的应用问

题，往往涉及数学文化，通常会用到解三角形的知识，有较强的几何意义，除了考查学生的

应用意识和建模能力之外，更重要的是考查能否用正弦定理、余弦定理解决问题。三角部分

题目侧重基础，主要考查学生的逻辑思维能力和运算求解能力。

2.考点频度

高频考点：三角恒等变换、三角函数图像和性质、正弦定理、余弦定理。

中频考点：三角函数概念。

3.备考策略

(1)重视对基础知识和基本方法的复习，三角函数是具有周期性的基本初等函数，概

念、公式定理较多，有些地方容易混淆，复习时要引导学生建立知识网络对知识进行梳理,

掌握知识体系。

(2)引导学生弄清公式之间的内在联系和公式的各种用法。

(3三角函数和解三角形有时会涉及与其他知识综合考查的问题以及与之相关的实际

应用问题，解决此类问题需要学生具备基本的建模能力，能将问题符号化和图形化，将所求

问题转化成我们熟悉的问题并用学过的知识进行解决。

二、高考试题精练

L【2021年全国新高考I卷数学】下列区间中，函数/(x)=7sin[x-?J单调递增的区间

是()

【答案】A

【分析】

解不等式2加一色＜X—工＜2%乃+2(左eZ),利用赋值法可得出结论.

【详解】

f4兀।

因为函数丁=411%的单调递增区间为12匕7—,,2匕T+(女EZ),

71

对于函数/(x)=7sinX--，-由2ATT—工<x—工<2%"+工(ZEZ),

262

jr2乃

解得2%乃---<x<2k7i+——(ZeZ),

取4=(),

A选项满足条件，B不满足条件;

取左=1,

3万c15万8万

万,2%卜,CD选项均不

满足条件.

故选：A.

【点睛】

方法点睛：求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y=Asin(cM+w)形式，再

求y=Asin(5+8)的单调区间，只需把的+9看作一个整体代入y=sinx的相应单调区

间内即可，注意要先把。化为正数.

2.【2021年全国新高考I卷数学】若tan6=—2,则sm'(l+sin2')=()

sin6+cos。

6226

A.——B.——C.—D.—

5555

【答案】C

【分析】

将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母(I=sin2e+cos2。)，进行齐

次化处理，化为正切的表达式，代入tan8=-2即可得到结果.

【详解】

将式子进行齐次化处理得：

sin(9(1+sin2。)sinSlsii?O+cos?6+2sin8cose),、

-------------=-------------------------------=sin6(sin0+cos夕)

sin61+cossin61+cos61

_sin8(sine+cos。)_tan26»+tan^_4-2_2

sin20+cos201+tan261+45

故选：c.

【点睛】

易错点睛：本题如果利用tan。=-2,求出sinacos。的值，可能还需要分象限讨论其正

负，通过齐次化处理，可以避开了这一讨论.

3.【2021年全国新高考I卷数学】已知。为坐标原点，点片(cosa,sina),

6(cos£,-sin0,Q(cossin(a+/7)),A(l,0),则()

A.|西卜|阿|B.|函卜|砧|

c.bAbp,=opyoKD.oAbPx=op\b^

【答案】AC

【分析】

UUIUuuu

A、B写出西，圾、A6，A6的坐标，利用坐标公式求模，即可判断正误；C、D根据

向量的坐标，应用向量数量积的坐标表示及两角和差公式化简，即可判断正误.

【详解】

A：OF>=(cosa,sina),OP,-(cos/?,-sin/?),所以|。片|=Jcos?a+sin2a=1，

22

|OP21=7(cos/3)+(-sin/3)-1>故IOR1=1OP,|,正确；

B：APX-(costz—1,sina),AF\=(cos|3—1,—sinfj).所以

22222

|APt|=-y/(coscz-l)+sina=Vcosa-2cosa+l+sina-^2(1-cosa)=^4siny=2|sin-y|

,同理IAg|="(cos夕-1尸+sii?夕=21sin，|,故|斯讴|不一定相等，错误；

C：由题意得：OAOPy=lxcos(tz+^)+0xsin(<z+/?)=cos(a+^),

OP^OP,=cosa-cos+sina•(-sinp)=cos(a+p),正确；

D：由题意得：•。4=Ixcosa+Oxsin。=cosa,

OP2•OP、=cospxcos(a+/?)+(—sin/?)xsin(a+0)

=cos(p+(a+P))=cos(a+20),故一般来说OAOP^^OR故错误；

故选：AC

4.【2021年全国新高考I卷数学】记△A3。是内角A,B,。的对边分别为。，b,J

已知力2=。。，点。在边AC上，BDsinZABC=asinC.

(1)证明：BD=b；

(2)若AD=2DC,求cosZABC.

7

【答案】(1)证明见解析；⑵cosZ4BC=—.

12

【分析】

nr

(1)根据正弦定理的边角关系有3。二:，结合已知即可证结论.

b

(2)由题设50=dAO=—,1)。=一，应用余弦定理求cosNADB、cosZCDB,又

33

b41\h2

小DB=n—ZCDB、可得2/-卜二="，结合已知及余弦定理即可求cosNA5C.

a23

【详解】

B

A

L

A

(1)由题设，BD=-aSinC­,由正弦定理如上=一即』

BD=――,又护=ac，

b

：.BD=b,得证.

Q11

(2)由题意知：BD=b,AD=—,DC=~,

33

2

24厅213尸210b2

b+------c-------ch,2+-—Q~2-------a~

：.cosZADB=------9---------同理cosZCDB=-------------9

2b.2b4b22b也2b2

3~T33

,/ZADB=71-ZCDB,

13从0-W

9Wb1p,2

—整理得2/+,2-----,Zb~=ac>

4b22b-3

3~T

.•・2/+4业，整理得6/一11//+3/=o,解得a21—/3

*5或*5

矿3

a2+c2-b24a2

由余弦定理知：cosZABC

2ac32b2

雪时，〉不合题意；当<=寸，

当=1cos/48C=ZlcosZ4BC=—

b236b2212

7

综上，cosZ4BC=—

12

【点睛】

关键点点睛：第二问，根据余弦定理及加出=%-HC出得到a,4c的数量关系，结合已

知条件及余弦定理求cosZABC.

5.【2021年全国新高考II卷数学】在AABC中，角A、B、C所对的边长分别为。、b、

c,h=a+l,c=a+2..

(1)若2sinC=3sinA,求小钻。的面积;

(2)是否存在正整数使得△ABC为钝角三角形?若存在，求出”的值；若不存在，说

明理由.

【答案】(1)竺也；(2)存在，且a=2.

4

【分析】

(1)由正弦定理可得出2c=3a,结合已知条件求出。的值，进一步可求得b、c的值，利

用余弦定理以及同角三角函数的基本关系求事sinB,再利用三角形的面积公式可求得结

果；

(2)分析可知，角。为钝角，山cosC<0结合三角形三边关系可求得整数。的值.

【详解】

(1)因为2sinC=3sin4,则2c=2(a+2)=3a,则a=4,故/?=5，c=6,

1

<z2+b2--所以，C为锐角，则sinC=Ji-Cos?。：辿

cosC-8-

lab8

小，2。1，・八1，u15V7

囚U七，SA——tzZ?sinC——x4x5x-------------；

△AR8RC2284

(2)显然c>0>a，若AABC为钝角三角形，则C为钝角,

由余弦定理可得cosC=V矿+(Q+1)―(Q+2)_〃22〃3<0

2ab

解得一则0vav3,

由三角形三边关系可得a+a+1>Q+2,可得。>1,・.・awZ,故a=2.

三、核心知识点精讲

1.三角函数公式

'正角:按逆时针方向旋转形成的角

1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角

零角:不作任何旋转形成的角

2、角a的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象

限，则称a为第几象限角.

第一象限角的集合为3心360<a<h36(r+9(r,&eZ}

第二象限角的集合为国心360'+90'<h360+180°,&GZ}

第三象限角的集合为何人360+180<二<&-360。+270。/GZ}

第四象限角的集合为{。k360+2700<a<Z•360+360Mez}

终边在无轴上的角的集合为{a|a=&•180。«wZ}终边在y轴上的角的集合为

同口=八180。+90MeZ}

终边在坐标轴上的角的集合为{a|a=h90,&wZ}

3、与角a终边相同的角的集合为伊忸=H36(T+a#eZ}

4、已知a是第几象限角，确定4(〃wN*)所在象限的方法：先把各象限均分〃等

份，再从x轴的正半轴的上方起，依次将各区域标上一、二、三、四，则。原来

是第几象限对应的标号即为日终边所落在的区域.

n

5、长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度.

6、半径为r的圆的圆心角a所对弧的长为/,则角a的弧度数的绝对值是|。卜：.

7、弧度制与角度制的换算公式：2万=360、「=三，1=(&]=573.

1801万J

8、若扇形的圆心角为a(a为弧度制)，半径为r则/=r|a|,,S=；>=；囤产.

9、设a是一个任意大小的角，a的终边上任意一点P的坐标是(x,y),它与原点

的距离是尸(r=“2+_/>0卜贝|sina=),cos<z=—,tana=)(x#0).

10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限

正切为正，第四象限余弦为正.

11>三角函数线：sincr=MP,cosa=OM,tan2二AT.

12、同角三角函数的基本关系：⑴si/a+cos?口=1；l+tan2^z=sec26z；

sincrsina

=tanasina=tanacosa,cosa

⑵cosatana

(3)tana•cota=1；cosa•seca=1；sina•csca=1

13、三角函数的诱导公式：

(l)sin(2攵乃+a)=sina,cos(2k兀+a)=cosa

tan(2%万+a)=tana(女任Z).

(2)sin(〃+a)=-sina,cos("+a)=-cosa

tan(7r+a)=tana.

(3)sin(-a)=-sina,cos(-a)=cosa,tan(-0=-tana.

(4)sin(笈-a)=sina,cos("-a)=-cosa,tan(zr-a)=-tana.

口诀：函数名称不变，符号看象限.

（6）sin]+a]=cosa85仁+“=一5巾。

口诀：奇变偶不变，符号看象限.诱导公式中常如此变形。

ABC

A+B=兀-0,24+26=2兀—2C,大十大+大二丁等，

于是可得sinQ4+0=sinC,os夸包=sinJ

乙乙

重要公式

(l)cos(a-〃)=cosacos/?+sinasin/?；(2)cos(a+/?)=cosacosj3-sinasinp；

(3)sin(=sincos(3-cosasin/3；⑷sin(a+/?)=sinacos夕+cosasin/?；

⑸tan（a一尸）二:anaf（血0一血,二母"。一夕）（l+tanatan,））；

⑹tan(a+4)Jana+tan.

tana+tan6=tan(a+/)(l-tanatan0)).

1-tantan0

二倍角的正弦、余弦和正切公式：

(1)sin2cr=2sinacosa.

cos2a+1

(2)cos2a=cos2a-sin2a=2cos2a-1=1-2sin%2cosa=-------------

2

.2l-cos2a、c2tana

sin-a=------------).(3)tan2a=--------z—・

2l-tan-a

公式的变形：

tancr±tanp-tan(«±/?)•(1+tanatan尸),

a.Jl+cosaa,〃一cosasina1-cosa

cos—=±J-----------；tan—=±------------=------------=------------

2V22Vl+cosa1+cosasina

辅助角公式

I----------B

Asin6Z+Bcosa=yjA2+B2sin(a+°),其中tan9=—.

>a,a-a

2tan—1-tan~2一2tan—

si・ncr=---------2---,coscr=-----------2-tana=-------入万能公式其实是二倍

aa

l1+tan2—1l+tan2—1-tan2—a

222

角公式的另外一种变形：

14、函数y=sinx的图象上所有点向左（右）平移两个单位长度，得到函数

y=sin（x+0）的图象；再将函数丁=5皿（％+。）的图象上所有点的横坐标伸长（缩

短）到原来的5倍（纵坐标不变），得到函数丁=亘"。%+夕）的图象；再将函数

y=sin（ox+0）的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不

变），得到函数了=Asin®x+0）的图象.

函数y=sinx的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的,倍（纵坐标不变）,

0）

得到函数丁=4口/工的图象；再将函数丁=《114^的图象上所有点向左（右）平移

©个单位长度，得到函数y=5由（妨+0）的图象；再将函数y=5由（皿+e）的图

CD

象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的A倍（横坐标不变），得到函数

y=Asin（5+9）的图象.

函数y=Asin（6yx+^9）（A>0,6t>>0）的性质：

①振幅：A；②周期：T="；③频率：/=-=—；④相位：cox+（p-,⑤初

coT2万

相：（p.

函数y=Asin（s+0）+8,当了=不时，取得最小值为八皿；当％=天时，取得

11T

最大值为Nmax，则A=/（y1rax-Nmin），8=5（八+柏35=</）•

2、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：

数y=sinxy=cosxy-tanx

i卜

yy

»

ZTXVo\、产U

/22,F/25

4W/■»

图象0X0X//-■

.71.!

<TXWATTH——，攵wZ

定义域RR2

值域[-1』[-1』R

当x-"Ikji+—[keZ)当x=2Qr(%eZ)时，

1

时，>max=；Xnax=1；既无最大值也无最

最值

当X=2k7T--当x=2k兀+71小值

2

(丘Z)时，ymin=-1.

(ZeZ)时，ymin=-

周期性242471

奇偶性奇函数偶函数奇函数

_,7C_,7T

在2人7"----，2k兀H—

_22

在[2%乃一小2%4](左£2)

住上是增函数、

eZ)；\k7T-71.71

上是增函数；在在上兀T——

单调性在

[2%/，2左"十7]

上是增函数.

2k兀+?2k兀+段_(ZeZ)

(Z$Z)上是减函数.

(keZ)上是减函数.

对称中心

对称中心对称中心

(左乃,0)(左$Z)

1%〃+],())(攵eZ)

对称性容。,GZ)

对称轴1

对称轴％=kn[kGZ)

X-=GZ)无对称轴

3.正、余弦定理：在AABC中有:

①正弦定理：J=2R（R为AA8C外接圆半径）

sinAsinBsinC

sinA=—

a=27?sinA2R

b=2RsinB=>_b注意变形应用

sin8=—

c=2RsinC2R

sinC=—

2R

②面积公式：S=—abssinC=—acsinB=—bcsinAS=”（a+6+c）（r为三

MBC2222

角形的内切圆半径）

.b2+c2-a2

a1=h2+c2-2/?ccosAcosA=--------

2bc

③余弦定理：<222

b=a+c-2accosB=a2+c2-b2

cos8=--------------

c2=a2+b2-2abcosClac

a2+b2-c2

cosC=--------

lab

在三角形中，大角对大边，大边对大角；即在△/阿中，A>B^a>b^sinA

>sinB.

三、高考试题精讲

1.(2020年新高考全国I卷】某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图

所示.。为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧A8与直线AG的切点，8是圆

<AB与直线BC的切点，四边形OEFG为矩形，BC1DG,垂足为C,tanZODC=-,

5

BH//DG,EF=12cm,DE=2cm,A到直线DE和EF的距离均为7cm,圆孔半径为1cm,

则图中阴影部分的面积为cm2.

【解析】设OB=(M=r,

由题意AM=AN=7,EF=12,所以NF=5,

因为AP=5,所以NAGP=45°，

因为3"〃OG,所以NA//O=45°，

因为AG与圆弧AB相切于A点，所以04J_AG,

即△Q4H为等腰直角三角形；

在直角△。。。中，。。=5r，OQ=7-等「，

因为tanNOOC=g^=］，所以21—述「=25-述广，

DQ522

解得厂=2血；

等腰直角△Q4H的面积为H=1x272x272=4；

2

137r//~\2

扇形AQB的面积52=/、7-乂（2,2）=3兀,

157r

所以阴影部分的面积为6+52—2乃=4+3.

故答案为：4H---.

2

【点睛】本题主要考查三角函数在实际中应用，把阴影部分合理分割是求解的关键，以

劳动实习为背景，体现了五育并举的育人方针.

2.【2020年新高考全国I卷】在①"=②csinA=3,③c=3这三个条件中任选一

个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求C的值；若问题中的三角形不存在,

说明理由.

问题：是否存在△ABC,它的内角A氏C的对边分别为a,A,c,且sinA=>/5sin8,

________?

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.

【解析】方案一：选条件①.

由c=2和余弦定理得色五二巨=走.

6lab2

illsinA=V3sinB及正弦定理得a=\[?>b-

丁日3b-4-b~-c2V3,.

于是-57京由此可得人

由①〃0=6，解得a=G,b=c=l.

因此，选条件①时问题中的三角形存在，此时c=l.

方案二：选条件②.

由C=2和余弦定理得=昱.

62ab2

由sinA=V3sin5及正弦定理得a=6b-

222

H3b+b-c\/31,nX2TI

于是----尸f=—，由此可得匕=c,B=C=—,A=--.

2扬2263

由②csinA=3,所以c=b=2V5,a=6.

因此，选条件②时问题中的三角形存在，此时c=26.

方案三：选条件③.

由C=F和余弦定理得.

62ab2

由5由4=6§吊3及正弦定理得。=6)•

工曰冰+从一,6,

于是----7=-;---="，由此可得b=c.

2yJ3h22

山③c=，与匕=c矛盾.

因此，选条件③时问题中的三角形不存在.

【点睛】在处理三角形中的边角关系时.，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关

系.题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式•般采用到余弦定

理.应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用.解决三角形问题时，注意角的限制范

围.

五、三角函数、解三角形

（时间：120分钟满分：150分）

一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的）

1.(2021•烟台质检)“sina=0"是"sin2a=0”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

答案A

解析由sina=0可得a=fat,kez,

由sin2a=0可得a=爹,fcGZ,

所以“sina=0”是“sin2a=0”的充分不必要条件.

（2021•河南八市高中联盟联考）已知sin（a+37u）=—；,且a为第二象限角，则cosa等于

2.

)

2y[2R2^2

A.B

3-3

C.4一平

答案D

；

解析Vsin(a+3K)=—sin«,sina=.

又..'sinZa+cos2a=1,.*.^+cos2a=1,即cos2a=课,

Va为第二象限角，.・•cosa=一邛5.

3.设。=^1135°,b=cos55°,c=sin23°,则()

A.a>b>cB.b>c>a

C.c>b>aD.c>a>b

答案A

解析由题意可知b=cos55。=5山35。,因为sin35>sin23。,所以fc>c,又tan35°=35。，

且Ovcos35°<1,易知lan35°>sin35°,所以.综上，a>b>c.

4.(2020•全国HI)己知2tan夕一tan(9+：)=7,则tan。等于()

A.-2B.-1C.1D.2

答案D

解析2tan0—tanf0+7)=2tan0一1十一‘,

解得tan0=2.

5.(2020.武汉调研)为了得到函数产sin2x的图象，可以将y=cos(2x—的图象()

A.向右平移5个单位长度

B.向右平移;个单位长度

C.向左平移看个单位长度

D.向左平移号个单位长度

答案A

解析尸cos(2L*sin(2x+1),将函数产sin(2x+§的图象向右平移专个单位长度后得

函数y=sin2%的图象.

6.在△ABC中，若sin(A—B)=l+2cos(B+0sin(A+。，则△ABC的形状一定是()

A.等边三角形B.不含60。角的等腰三角形

C.钝角三角形D.直角三角形

答案D

解析Vsin(A-B)=1+2cos(8+C)sin(A+O

=1—2cosAsinB,

sinAcos8—cosAsinB=1—2cosAsinB,

:.sinAcos3+cosAsinB—1,

即sin(A+8)=l,则A+8=，，

故AABC为直角三角形.

7.已知函数人x)=2sin(Gx+§(①>0)的最小正周期为4兀，则该函数的图象()

A.关于点停0)对称

B.关于点传，0）对称

C.关于直线x=；对称

D.关于直线》=空57c对称

答案B

解析因为函数/U）=2sin（3x+5）（（o>0）的最小正周期为4w,而T=金=4兀，所以<«=：,

即於）=2sin（1+£|.

X717127r

令]+d=]+E（AeZ）,解得“=了+2也（左£2）,

27r

故«x）的对称轴为x=—+2kn（k^Z）.

X71

令尹w=&兀（攵£Z）,

解得x=-；+2E伙eZ）,

故於）的对称中心为（一,+2E,0）（YZ）.

对比选项可知B正确.

8.（2020.深圳外国语学校月考）已知sin（a—号）=3，则sin（2a一m等于（）

77-72

A.—gB.gC.8D?

答案B

解析

7

=1—2sin2

9,

匕+。___________

9.（2020・鹰潭模拟）在△ABC中，Q=1,则bs\nA等于（

sinAsinA+sinB-sinC'

答案A

_b+c________a+b

解析

*sinAsinA+sinB—sinC'

Z?+ca+b

・•・由正弦定理得

aa+b~c9

整理得〃+/—b2=ac,

a2+c2~b21

由余弦定理得cosB—

lac~T

Tl

70<5<71,..B=y

由正弦定理看=磊得，

j•r>i•兀

Z?smAA=6tsinB=1Xsin

10.(2021・临沂模拟)已知函数段)=2cos2(<ox一总(co>0)的图象关于直线x=：对称，则co的

最小值为()

1„1

A-3B6C3D6

答案A

解析因为/(x)=2cos2(3x一言)，

所以J(x)=l+cos(2ttw-

又因为於)=2cos2(ox-总的图象关于直线对称，所以2。X专=E(kwZ),

即0=2%+/%eZ),

因为<w>0,所以。的最小值为去

X

11.(2020・重庆八中月考)若函数於)=8$工+〃以)55+。在区间［0,兀］上有最大值M,最小值

m,则M~m()

A.与〃有关，且与。有关

B.与a有关,但与人无关

C.与。无关，且与〃无关

D.与〃无关，但与。有关

答案B

Y

解析设cos2=K则0W/W1,

xxx

又fix）—cosx+acos]+b—2cos2]+4cos]+/?—1,

・••令g（t）=2t2+at+b—l.

设函数g⑺=2产+"+/?—1在介处取得最大值，在力处取得最小值,

0WrWl,0〈/2〈l,且力工友,

，Af=g（，i）=2%+〃九+b—1,〃z=g（亥）=2/?+〃f2+b—1,

"?=2"+〃i+人-1一2龙一〃及一1=2（齐一检+〃（九一亥），

・'•M—〃？的值与。有关，但与/?无关.

12.（2020・赣州模拟）在△A3C中，角A,B,。的对边分别是①h,c,ZVIBC的面积为S,

人=2小且5=行・32+/一炉），则AABC的面积S的最大值为（）

A.34B.6+3限C.6+3小D.9+3小

答案C

解析因为6=2小，

所以SuWs,+d—匕2）=*（。2+02—12）,

又由余弦定理/?2=6Z2+c2—2accosB,

得a2+c2=2accosB+12,

所以5=^^(“2+/—12)

J3

有(2〃ccosB+12—12)

1、公

又由三角形面积公式S=2«csinBraccosB,

解得坐cos5=sinB,得tanB=乎,

TT

又8是△ABC的内角，所以8=不

所以S=T〃csinB=：ac,

又因为/+/—2〃ccos8=12,

所以a2+c2—y[3ac=12,

由基本不等式a2+c2^2ac得，

〃2+/—仍QC2（2一小）4C,

即122（2—3）〃c,

得"cW2_小=12（2+小）.

所以S=（acW（X12（2+小）=6+3小，

当且仅当a=c时，S的最大值为6+3小.

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中横线上）

13.已知扇形的圆心角为60。，其弧长为兀，则此扇形的面积为.

答案:

解析设扇形的半径为「，

因为扇形的圆心角为60°,它的弧长为71,

所以黑=兀，解得r=3,

1oU

1371

所以S扇形=］义兀*3=爹.

14.（2020.长沙统考）在平面直角坐标系xOy中，角。的顶点在原点，始边与x轴的非负半轴

重合，终边过点坐）则cos（20+§=.

答案T

解析由题意，得cos0=2，sin。=苧，

贝Usin28=2sin9cos。=乎，cos2S=2cos20—1=—

所以cos(20+§=7171

cos28COSQ-sin20sin2

近乂且__

-1x|-2*2_

15.（2021•榆林模拟）在△ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,〃，c,ZABC=120°,NABC

的平分线交AC于点Q，且8。=1,则4a+c的最小值为.

答案9

解析由题意可知SAABC=SAA8O+SABCO,由角平分线性质和三角形面积公式得;acsin120°

=gaX1Xsin60°+^cX1Xsin60°,化简得ac=a+c,即：+>=1，因此4a+c=（4a+c）（：+§

=5+§+?25+21^1^=9,当且仅当c=2a=3时取等号，则4a+c的最小值为9.

16.（2020.上海市金山中学期中）函数y（x）=sinsx（其中。>0）的图象与其对称轴在y轴右侧的

交点从左到右依次记为4,A2,A3,…，A“，…，在点列｛A“｝中存在四个不同的点成为某菱

形的四个顶点，将满足上述条件的3值从小到大组成的数列记为｛3“｝,则。2021=.

答案零兀

解析根据题意作出图象如下，40=sinox的最小正周期为T=g,

22®

XI//、XZ~~vZ—\Z7~~

424

AiA3AsA?

若AA2A4A3为菱形,则1441=A41，14A3l=7,

|4A5|=HI4|,2

若414AtM5为菱形，则\A}A5\^2T,|AiA4|=^y（r+£|+4,

所以\KT+、2+4=2T,

’9、/4兀24兀

即,TX—+4=—.

4GTCD

解得。=亭.

若A14TA2（*TA伏G2n+1,〃GN*）为菱形，

则A4|=|A4T|,44|=皇7,A4T|=q［（十一1）T+W2+4,

所以、/［舁二以碍二二与“,’

解得co；#2：3兀,Z；G2n+1,〃GN*,

即。再三

…，小X2021—1[8083

所以①2021—Q7R

三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

17.（10分）已知半径为10的圆。中，弦A8的长为10.

⑴求弦AB所对的圆心角a的大小；

⑵求a所在的扇形的弧长/及弧所在的弓形的面积S

解（1）由。O的半径r=10=A8,

知△AO8是等边三角形，

兀

.\a=ZAOB=y

⑵由（1）可知a=?r=10,

/.弧长l-a-r—^X10=^^,

.c_1,l10550n

••〉鬲彩21r2x3xi।oU=3，

而•半AB=：X10X5^/3=25^3,

:.S=S扇形-SZ\AOB=25停f）

18.（12分）（2020•烟台模拟）设函数＜x）=，5sinxcosx+cos2/+〃.

⑴写出函数7U）的最小正周期及单调递减区间；

（2）当xd［一*时，函数於（的最大值与最小值的和为|,求实数a的值.

,1+cos2x,

角牛（1水无）=¥-5由2r+------2------+。

=sin（2x+g+a+g,所以丁=兀

717T37c

由1+2EW2^+不＜爹+2kMkGZ）,

得去+EWxW号+kn（k£Z）,

故函数於）的单调递减区间是恰+E,y+^GZ）.

、J兀"1九-I兀d八l兀，5兀

（2）因为所以一lv不忘级+不忘不，

所以一gwsin（2x+5）W1.

当正［一》T时，函数於）的最大值与最小值的和为

（1+a+g）+（—；+〃+；）=,,解得4=0.

19.（12分）已知函数y（x）=一木8$（2^+当+1—2sin2_r.

⑴用“五点（画图）法”在给定的坐标系中，画出函数寅x）在［0,句上的图象;

(2)先将函数y=/(x)的图象向右平移看个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为

原来的4倍，纵坐标不变，得到函数丫=8仁)的图象，求