2022届福建省柘荣、宁德高中重点高三六校第一次联考数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

考生请注意：

1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。

2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的

位置上。

3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.在正方体A5CO—4百£。中，点E,尸，G分别为棱4A,DXD,A,g的中点，给出下列命题：①AQ

TT

®GC//ED；③与/，平面5GG；④口和成角为一.正确命题的个数是（）

4

A.0B.1C.2D.3

2.已知方是两条不同的直线，a,夕是两个不同的平面，且au以，bu/hallfi,b//a,则“。〃》”是"a〃/T的（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

3.若［取+工］的展开式中二项式系数和为256,则二项式展开式中有理项系数之和为（）

Ixj

A.85B.84C.57D.56

4.刘徽（约公元225年-295年），魏晋期间伟大的数学家，中国古典数学理论的奠基人之一他在割圆术中提出的，“割

之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”，这可视为中国古代极限观念的佳作，割圆

术的核心思想是将一个圆的内接正〃边形等分成〃个等腰三角形（如图所示），当〃变得很大时，这〃个等腰三角形的

面积之和近似等于圆的面积，运用割圆术的思想，得到sin2的近似值为（）

A.—B.----C.-----D.-----

90180270360

22

5.设片，工分别是双曲线£-，=1（">0/>0）的左右焦点若双曲线上存在点P，使/”叫=60。，且归耳|=2归马|,

则双曲线的离心率为（）

A.73B.2C.V5D.V6

6.已知a,b为两条不同直线，a,夕，/为三个不同平面，下列命题：①若a〃力，ally,则/〃人②若a〃a,

a!1/3,则。〃尸；③若03,则二，力；④若a_La,bLa,则。〃队其中正确命题序号为（）

A.②③B.②③④C.①@D.①②③

7.已知数列｛为｝的前〃项和为S“，4=1,4=2且对于任意〃>1,〃€“,满足5,用+5,1=26+1),则()

A.4=7B.Sl6=240C.Q]o=19D.520-381

8.执行程序框图，则输出的数值为()

(开裕)

9.已知圆工2+；/一6%-7=0与抛物线9=20%(〃>0)的准线相切，则”的值为()

1

A.1B.2C.-D.4

2

10.已知盒中有3个红球，3个黄球，3个白球，且每种颜色的三个球均按A,B,C编号，现从中摸出3个球(除

颜色与编号外球没有区别)，则恰好不同时包含字母A，B,C的概率为(

1719723

A.—B.—C.一D.—

2128928

kx,x>0

11.记/(x)=x-［x］其中⑶表示不大于x的最大整数g(x)=1八，若方程在/(x)=g(x)在［-5,5］有7个不

——,x<0

同的实数根，则实数&的取值范围()

12.数列｛斯｝,满足对任意的〃GN+,均有斯+加什呢+2为定值.若47=2,。9=3,%8=4,则数列｛为｝的前100项的和Sioo=()

A.132B.299C.68D.99

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.已知数列｛«„)的前«项满足4+2al+3a3+•••+nan=2C^+2｛neN*),则.

x>0

14.已知》,)'满足约束条件(九+y21,则z=3x+2)，的最小值为

2x+y<2

15.根据如图的算法，输出的结果是.

16.函数/(幻=65皿(。》+。)。>0,5<0<乃的图像如图所示，则该函数的最小正周期为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)已知数列的前〃项和为S“，且满足%=gs“+l(〃eN*).

(1)求数列伍“｝的通项公式；

(2)若a=log?%,。，，=£一，且数列｛5｝前〃项和为乙，求7；的取值范围.

18.(12分)已知半径为5的圆的圆心在x轴上，圆心的横坐标是整数，且与直线4x+3y-29=0相切.

(1)求圆的方程；

(2)设直线ax-y+5=0(a>0)与圆相交于A,B两点，求实数。的取值范围；

(3)在(2)的条件下，是否存在实数用使得弦AB的垂直平分线，过点尸(-2,4),若存在，求出实数a的值；

若不存在，请说明理由.

2

19.(12分)已知函数/(%)=ln(2x+a)(x>0,a>0),曲线"f(x)在点(1,7(1))处的切线在y轴上的截距为ln3--.

(1)求a；

2x

(2)讨论函数g(x)=fM-2x(尤>0)和h(x)=--(x>0)的单调性；

2x4-1

2—9M+11

⑶设4=1，。“+1=/(%)，求证：———<----2<0(n>2).

3L%

20.(12分)如图，在直三棱柱ABC-431cl中，AB=BC=A4,=1,AC=6,点DE分别为AC和用弓的中点.

(I)棱AA上是否存在点P使得平面平面AM?若存在，写出B4的长并证明你的结论；若不存在，请说

明理由.

(D)求二面角A-鹿—。的余弦值.

21.(12分)如图，在平面四边形ABCD中，=—,sin/B4C=cosNB=—，AB=13.

313

(1)求AC；

(2)求四边形ABC。面积的最大值.

22.(10分)如图，平面四边形A3CO中，BC//AD,ZADC=90°,ZABC=120°,E是AD上的一点,

45=8C=2DE,尸是EC的中点，以EC为折痕把△EOC折起，使点。到达点P的位置，且PC_LBE.

(1)证明：平面P£C_L平面ABCE；

(2)求直线PC与平面Q45所成角的正弦值.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.C

【解析】

建立空间直角坐标系，利用向量的方法对四个命题逐一分析，由此得出正确命题的个数.

【详解】

设正方体边长为2,建立空间直角坐标系如下图所示，A（2,0,0）,C,（0,2,2）,G（2,l,2）,

C（0,2,0）,E（l,0,2）,D（0,0,0）,J5,（2,2,2）,F（0,0,1）,fi（2,2,0）.

①，Aq=（-2,2,2）,£G=（l,l,0）,Aq-£^=-2+2+0=0,所以AG，EG,故①正确.

②，GC=（-2,1,-2）,ED=（-1,0,-2）,不存在实数X使配=2而，故GC7/ED不成立，故②错误.

③，4=（一2,-2,-1）,筋=（0,-1,2）,星=（一2,0,2）,斯•而=0,骸•骑=2,0,故男尸，平面8GG不

成立，故③错误.

EFBB,-2V2

④,定=(-1,0,-1),嗨=(0,0,2),设瓦•和B用成角为凡贝!jcos6=由于

V2x22

7T

,所以6二，故④正确.

综上所述，正确的命题有2个.

故选：C

【点睛】

本小题主要考查空间线线、线面位置关系的向量判断方法，考查运算求解能力，属于中档题.

2.D

【解析】

根据面面平行的判定及性质求解即可.

【详解】

解：ac.a,bc.fi,a//b//a,

由。〃儿不一定有a与可能相交；

反之，由a”k可得a〃〃或a与Z＞异面，

'•a,)是两条不同的直线，a,/?是两个不同的平面，且aua,bc.fi,a//fl,b//a,

则"a〃*是"a〃/T的既不充分也不必要条件.

故选：I).

【点睛】

本题主要考查充分条件与必要条件的判断，考查面面平行的判定与性质，属于基础题.

3.A

【解析】

先求〃，再确定展开式中的有理项，最后求系数之和.

【详解】

解：［孤+,］的展开式中二项式系数和为256

IX)

故2"=256，〃=8

8-r8-4/

加=C"亍"=C；x丁

要求展开式中的有理项，则/*=2,5,8

则二项式展开式中有理项系数之和为：C；+C；+C：=85

故选：A

【点睛】

考查二项式的二项式系数及展开式中有理项系数的确定，基础题.

4.A

【解析】

360°136()。

设圆的半径为一，每个等腰三角形的顶角为——，则每个等腰三角形的面积为二户sin——，由割圆术可得圆的面积为

n2n

7ir2=n--r2sin—，整理可得sin—=如，当〃=18()时即可为所求.

2nnn

【详解】

由割圆术可知当n变得很大时，这〃个等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积，

360°

设圆的半径为一，每个等腰三角形的顶角为^一,

n

1360°

所以每个等腰三角形的面积为一，sin一,

2n

?12-360°.360°2左

所以圆的面积为7厂=--rsin----，即ansin----=—,

n2nnn

所以当〃=180时，可得sin"=sin2°=」=£,

18018090

故选:A

【点睛】

本题考查三角形面积公式的应用,考查阅读分析能力.

5.A

【解析】

由周=2|P闾及双曲线定义得归用和上可(用。表示)，然后由余弦定理得出a，c的齐次等式后可得离心率.

【详解】

由题意力尸制=2|P周，.•.由双曲线定义得归耳|一|「马=2%从而得归耳|=4a,|P闾=2a,

在百居中，由余弦定理得(2c)2=(4a)2+(2a)2-2x4ax2acos60。，化简得e=£=J5.

a

故选：A.

【点睛】

本题考查求双曲线的离心率，解题关键是应用双曲线定义用。表示出P到两焦点的距离，再由余弦定理得出。，c的齐

次式.

6.C

【解析】

根据直线与平面，平面与平面的位置关系进行判断即可.

【详解】

根据面面平行的性质以及判定定理可得，若。〃£，ally,则£〃/,故①正确；

若a〃a,alIp,平面外£可能相交，故②错误；

若al7,,则a,£可能平行，故③错误；

由线面垂直的性质可得，④正确；

故选：C

【点睛】

本题主要考查了判断直线与平面，平面与平面的位置关系，属于中档题.

7.D

【解析】

利用数列的递推关系式判断求解数列的通项公式，然后求解数列的和，判断选项的正误即可.

【详解】

当〃..2时，5„+1+511T=2(5„+1)=>S,向-S,=S“一+2n=q+2.

1,72=1

所以数列｛%｝从第2项起为等差数列，4=。。C,

2n—2,.2

所以，eq=6,4O=18.

S,=4+吆竽曰—)+1，56=16x15+1=241,

S20=20x19+1=381.

故选：D.

【点睛】

本题考查数列的递推关系式的应用、数列求和以及数列的通项公式的求法，考查转化思想以及计算能力，是中档题.

8.C

【解析】

由题知：该程序框图是利用循环结构计算并输出变量8的值，计算程序框图的运行结果即可得到答案.

【详解】

a=0,b=l,n=l,b=0+2=2,n<5,满足条件，

2-0

a=----=1,n-2,8=1+4=5,n<5,满足条件，

2

5-1

a=---=2,n-3,Z?=2+10=12,n<5,满足条件，

2

12-2

a=----=5,〃=4,Z?=5+24=29»n<5,满足条件，

2

29-5

a=----=12,“=5,h=12+58=7(),"=5,不满足条件，

2

输出8=70.

故选：C

【点睛】

本题主要考查程序框图中的循环结构，属于简单题.

9.B

【解析】

因为圆/+；/一6》一7=0与抛物线>2=2〃乂(.>0)的准线相切，则圆心为(3,0),半径为4,根据相切可知，圆心

到直线的距离等于半径，可知P的值为2,选B.

【详解】

请在此输入详解！

10.B

【解析】

首先求出基本事件总数，则事件“恰好不同时包含字母A，B,C”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A，

B,C”，记事件“恰好不同时包含字母A,B,。”为七，利用对立事件的概率公式计算可得；

【详解】

解：从9个球中摸出3个球，则基本事件总数为C；=84(个)，

则事件“恰好不同时包含字母A,B,C”的对立事件为“取出的3个球的编号恰好为字母A,B,Cw

3319

记事件“恰好不同时包含字母A,B,。"为七，则P(E)=1-云=有.

^:^928

故选：B

【点睛】

本题考查了古典概型及其概率计算公式，考查了排列组合的知识，解答的关键在于正确理解题意，属于基础题.

11.D

【解析】

做出函数/(X),g(x)的图象，问题转化为函数f(x),g(x)的图象在［-5,5］有7个交点，而函数/(x),g(x)在［-5,0］上

有3个交点，则在［0,5］上有4个不同的交点，数形结合即可求解.

【详解】

则在［0,5］上有4个不同的实数根，

当直线y=丘经过(4,1)时，k=］

当直线y=依经过(5,1)时，k=g,

可知当,4A<,时，直线了=丘与f。)的图象在［0,5］上有4个交点，

54

即方程/(x)=g(x),在［0,5］上有4个不同的实数根.

故选:D.

【点睛】

本题考查方程根的个数求参数，利用函数零点和方程之间的关系转化为两个函数的交点是解题的关键，运用数形结合

是解决函数零点问题的基本思想，属于中档题.

12.B

【解析】

由4,+。"+1+。“+2为定值，可得出+3=4，则｛4｝是以3为周期的数列，求出4，。2，。3，即求S100・

【详解】

对任意的〃eN+，均有％+。“+|+。,+2为定值，

•,(”"+1+an+2+。"+3)一+an+\+41+2)=。'

故4+3

.•・｛。“｝是以3为周期的数列，

故%=a?=2,c12=佝8=4,%=%=3，

5]0Q=(q+&+/)+■,,+(佝7+/8+49)+goo=33(q+w+4)+q

=33(2+4+3)+2=299.

故选：B.

【点睛】

本题考查周期数列求和，属于中档题.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.72+1

【解析】

由已知写出用〃-1代替〃的等式，两式相减后可得结论，同时要注意卬的求解方法.

【详解】

%+2a、+3a3+・,♦+=2C：+>(J),

，〃N2时，(i\+2a2+3a3+,••+(/?-=2C^+,②，

①一②得nan=2(。，一%)=2*=〃(〃+1)，

:.。〃=〃+1,

又6=2C；=2,

:.=〃+1(nwN深).

故答案为：〃+1.

【点睛】

本题考查求数列通项公式，由已知条件.类比已知S〃求凡的解题方法求解.

14.2

【解析】

作出可行域，平移基准直线3x+2y=O到(0,1)处，求得二的最小值.

【详解】

画出可行域如下图所示，由图可知平移基准直线3x+2y=0至限0,1)处时，z取得最小值为2.

【点睛】

本小题主要考查线性规划求最值，考查数形结合的数学思想方法，属于基础题.

15.55

【解析】

根据该For语句的功能，可得S=l+2+3+...+10,可得结果

【详解】

根据该For语句的功能，可得S=l+2+3+...+10

则S=0+⑼'忆55

2

故答案为：55

【点睛】

本题考查For语句的功能，属基础题.

16.8

【解析】

根据图象利用/(0)=当，先求出。的值，结合/(1)=()求出①，然后利用周期公式进行求解即可.

【详解】

解：由/'(())=后sins=得sine='^,

713兀

*.*—<0<兀,(P—----9

24

贝！J=6sin(d?x+—),

V/(l)=5/3sin^<y+-^-^

=0,

71

:.a)+—=7r,即iy~一9

44

个2万2万0

I---=--=O

则函数的最小正周期CD£

4

故答案为：8

【点睛】

本题主要考查三角函数周期的求解，结合图象求出函数的解析式是解决本题的关键.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)4=2"(2)T.€

【解析】

(1)由q=；5+l,可求4,然后由几.2时，a“=s”-s,i可得a“=2a,“，根据等比数列的通项可求

1111

(2)由a=log24,=log22"=〃，而9，=荔一=而不=7-Q，利用裂项相消法可求

【详解】

(1)当〃=1时，q=g5+l,解得q=2,

当〃..2时，a“T=gs“_1+l…①

an=gs"+1…②

②一①得an-a“T=g%，即q=2”"_|,

数列伍“｝是以2为首项，2为公比的等比数列，

tln=2"5

(2)bn=log,an=log22"=n

._1_1___1_

bnhll+]n(n+l)nn+\'

,1111111,1

・・T—1---1------1-----F...H---------=1-----,

22334nn+ln+1

neN,，*'•——£(0,

〃+l2

Feg』).

【点睛】

本题考查递推公式4=5“-5,1(几.2)在数列的通项求解中的应用，等比数列的通项公式、裂项求和方法，考查函数

与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力、运算求解能力.

53

18.(2)(x-2)2+r=2.(2)(—,+00).(3)存在，a=-

124

【解析】

(2)设圆心为M(/«,0),根据相切得到」〃L2*=5,计算得到答案.

5

(2)把直线ox-y+5=0,代入圆的方程，计算A=4(5a-2)2-4(a2+2)>0得到答案.

(3)/的方程为y=—：(x+2)+4,BPx+ay+2-4«=0,过点M(2,0),计算得到答案.

【详解】

(2)设圆心为M(附0)(/n£Z).由于圆与直线4x+3y-29=0相切，且半径为5,

所以4"29|=5,即|4,”-29|=2.因为，"为整数，故机=2.

5

故所求圆的方程为(x-2)2+y2=2.

(2)把直线ax-y+5=0,即y=ax+5,代入圆的方程，消去

整理得(a2+2)炉+2(5a-2)x+2=0,

由于直线or-y+5=0交圆于A,8两点，故A=4(5a-2)2-4(a2+2)>0,

即22a2-5a>0,由于a>0,解得。>工，所以实数a的取值范围是(工,+oo).

1212

(3)设符合条件的实数a存在，则直线/的斜率为-,，

a

，的方程为y=(x+2)+4,EPx+ay+1~4fl=0,

由于/垂直平分弦AB,故圆心M(2,0)必在/上，

33/5、3

所以2+0+2-4a=0,解得。=一.由于：丁,+00故存在实数。=二

44<12J4

使得过点尸(-2,4)的直线/垂直平分弦A氏

【点睛】

本题考查了直线和圆的位置关系，意在考查学生的计算能力和转化能力.

2x

19.(1)a=l(2)8(幻=/(切一2%。>0)为减函数，力(x)=/(x)------(x>0)为增函数.(3)证明见

1+2%

解析

【解析】

(1)求出导函数/'(X),求出切线方程，令X=O得切线的纵截距，可得。(必须利用函数的单调性求解)；

(2)求函数的导数，由导数的正负确定单调性；

5-2/,+|1

(3)不等式一丁<一一2变形为%(土，由g(x)递减，得g(x)>g(())=0(x>0),即/(x)<2x,即

2an5

y'

12

4=/(2%_1+1)<2。,1，依次放缩，an<<2an_2<■■<2"-'«i=y

12x

不等式一一2<0,h(x)=f(x)一——递增得/?(%)>/?(())(x〉0),

a„2x+l

/(幻〉声7〉0,7二<；+1,1_2<:(！_2],先证,_2=72_2<0,然后同样放缩得出结论.

【详解】

2

解：(1)对/(x)=ln(2x+a)求导，得((x)=-----.

2元+。

2

因此:⑴=-—•又因为/⑴=32+a),

2+Q

所以曲线y=/(x)在点(1,/(D处的切线方程为

2

y-ln(2+a)=----(x-1),

2+Q

22

即y=----x+ln(2+a)------.

2+。2+。

22

由题意，ln(2+。)------=In3—.

2+。3

显然。=1,适合上式.

2

令(p[a}=ln(2+。)------(a>0),

2+Q

12

求导得"(a)=--+—~了>0,

2+a(2+a)-

因此。(a)为增函数：故。=1是唯一解.

2r

(2)由(1)可知，g(x)=ln(2x+l)-2x(x>0),/z(x)=ln(2x+l)---:—(%>0),

2x+l

24x

因为如)=口一2=<0,

2x+l

所以g(x)=/(x)-2x(x>0)为减函数.

2_4x

因为"3=三不

(2x+l>-(2X+1)2

9r

所以h(x)=/(x)———(x>0)为增函数.

l+2x

2

(3)证明：由4=y,4+1=/(a.)=ln(2a〃+l),易得a“>0.

5-2),+l

2"%5

由(2)可知，83=/(*)-2%=皿21+1)-2]在(0,+00)上为减函数.

因此，当x>()时，g(x)<g(0)=0,BPf(x)<2x.

令x=4i(〃22),得/(%_])<2a,i，即a“<2a“_1.

12〃

因此，当时，cin<2an_i<2~an_2<­•­<2"a,=—.

5-2,,+l

所以<-----2成立.

2"

1c八

下面证明：--2<0,

%

9r2K

由(2)可知，/?(%)=/(%)-------=ln(2x+l)----------在((),+8)上为增函数.

2x+l2x+l

因此，当x〉0时，〃(幻>力(0)=0,

2x

即f(x)>>0.

2x+l

1<±1

因此而+

2x

令〃得；

x=%(22),J~-2<:—--2

11f1

即——2<----------2

an2(Cln_x,

当鹿=2时,

---2=---2=——--2=------2

4%/(%)/HIlnl.8

因为In1.8>InV3>InVe=—,

2

11八八

所以------2<0,所以一一2<0.

lnl.8%

所以，当〃23时，

所以，当“22时，2<0成立.

5-2,,+|1

综上所述，当〃22时，—<一一2<0成立.

2"%

【点睛】

本题考查导数的几何意义，考查用导数研究函数的单调性，考查用导数证明不等式.本题中不等式的证明，考查了转

化与化归的能力，把不等式变形后利用第(2)小题函数的单调性得出数列的不等关系：a„<2an_t,

1c1/1c、

一一2<-(——2)(〃22).这是最关键的一步.然后一步一步放缩即可证明.本题属于困难题.

42%

311

20.(I)存在点P满足题意，且尸A=三，证明详见解析；(II)—.

419

【解析】

(I)可考虑采用补形法，取AG的中点为口，连接所，AF,DF,可结合等腰三角形性质和线面垂直性质，先证

平面ACG，即3。若能证明A产J.PD,则可得证，可通过油2\E叱放^地下我们反推出点P对

应位置应在幺=3=处，进而得证；

(II)采用建系法，以。为坐标原点，以38,DC,3F分别为％，，z轴建立空间直角坐标系，分别求出两平面对应

法向量，再结合向量夹角公式即可求解；

【详解】

3

(I)存在点P满足题意，且小=；

4

证明如下：

取4G的中点为尸，连接所，AF,DF.

则即〃A4〃A8,所以AFu平面ABE.

因为=。是AC的中点，所以3OLAC.

在直三棱柱ABC-4AG中，平面ABC,平面ACC-且交线为AC,

所以3。，平面ACG，所以BZ)_LAF.

在平面ACC|内，竺=四=@,ZPAD^ZADF=90°,

ADDF2

所以R3A*RtAADF,从而可得AF±PD.

又因为P£)cBO=。，所以Ab，平面尸比>.

因为Abu平面ME,所以平面P8D_L平面ME.

(D)如图所示，以O为坐标原点，以DB,DC,DF分别为％，Vz轴建立空间直角坐标系.

易知0(0,0,0),呜，o,o]，4[0-y>0]»心手』

—•f1V3,而=已与,0,丽=(；,0,0

所以5E=卜了1,0

设平面ME的法向量为企=(x,y,z),则有

m-BE---x+^-y+z-0,

<44取y=2,得友=卜2石,2,-6).

m-AB=—xd——y=0.

I22

同理可求得平面BOE的法向量为“=(0,4-73).

mn8+311

则cosm，"丽=ji2+4+3-J16+3=B.

由图可知二面角A—鹿一。为锐角，所以其余弦值为号.

【点睛】

本题考查面面垂直的判定定理、向量法求二面角的余弦值，属于中档题

21.(1)12；(2)5=1273+30

【解析】

(1)根据同角三角函数式可求得cosN84C=sinN5,结合正弦和角公式求得加/56=5皿(/84。+/8),即

7T

可求得ZBC4=—,进而由三角函数

2

(2)设人力=乂。。=乂根据余弦定理及基本不等式，可求得犯的最大值，结合三角形面积公式可求得So。。的最大

值，即可求得四边形ABCD面积的最大值.

【详解】

(1)sinABAC-cosZB=—,

13

12

则由同角三角函数关系式可得cosABAC=sinNB==---，

13

则sinNBCA=sin(ABAC+ZB)

=sinABAC-cosNB+cosABAC-sin/B

551212।

=-x1----x——二1

13131313

7T

则NBC4=—,

2

所以AC=ABsin8=13xU=12.

13

(2)设AO=%,DC=y,

在ADAC中由余弦定理可得AC?=+DC2_2DA•DC.cosNADC，代入可得

144=x+y+xy>

由基本不等式f+y2z2孙可知144-孙22孙，

即孙<48,当且仅当x=y=46时取等号，

由三角形面积公式可得SMOCsinZADC

<1X48X—=12百

22

S/L4CB=gxl2x5=30，

所以四边形ABC。面积的最大值为S=12G+30.

【点睛】

本题考查了正弦和角公式化简三角函数式的应用，余弦定理及不等式式求最值的综合应用，属于中档题.

22.(1)见解析；(2)好

5

【解析】

(D要证平面PEC，平面ABCE,只需证平面PEC,而PCLBE,所以只需证BF_LEC,而由已知的数

据可证得ABCE为等边三角形，又由于尸是EC的中点，所以3RJ_EC,从而可证得结论；

(2)由于在R/APEC中，PE=DE=PF==EC=2a,而平面PEC,平面ABCE,所以点夕在平面4BCE的投

2

影恰好为EE的中点，所以如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解.

【详解】

(1)由BC//A0,NAOC=9O°,AB=BC