2022届福建省漳平高考适应性考试数学试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型(B)

填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"o

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦

干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。

3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先

划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

22

1.已知耳、尸2分别是双曲线。：5一与二1(。〉0力〉0)的左、右焦点，过尸2作双曲线。的一条渐近线的垂线，分

a~b'

别交两条渐近线于点A、B,过点3作x轴的垂线，垂足恰为月，则双曲线C的离心率为()

A.2B.百C.2gD.V5

2.如图，平面夕与平面夕相交于BC,ABua,CDu/3,点A任BC,点。e3C,则下列叙述错误的是()

A.直线AZ)与8c异面

B.过AD只有唯一平面与8C平行

C.过点。只能作唯一平面与8C垂直

D.过一定能作一平面与BC垂直

3.已知定义在R上的函数/(x),若函数y=/(x+2)为偶函数，且/(x)对任意王，x2e[2,+oo)(%*%),都

有"看)二八")<0,若外。)4/(3〃+1),则实数。的取值范围是()

x2-Xx

A.B.C.18,一；[，+8)

4.在复平面内，复数z=a+8i(a,6eR)对应向量反(O为坐标原点)，设卜厂，以射线Ox为始边，OZ

为终边旋转的角为。，则z=r(cose+isin。)，法国数学家棣莫弗发现了棣莫弗定理：z,=/;(cos^+zsin^),

1

z2=/;(cos62+«sin6!,),则4z?=4与［cos(q+6>2)+zsin(6>+4)］，由棣莫弗定理可以导出复数乘方公式：

［r(cose+isin。)］“=/•"(cosae+isin”®),已知z=(6+i),则卜卜()

A.273B.4C.873D.16

5.AABC的内角A,3,C的对边分别为a,b,c,已知a+2c=3cosA,则角B的大小为()

A.gB.工C.四D.区

3366

6.已知抛物线C：V=4x和点。(2,0),直线x=)-2与抛物线C交于不同两点A,B,直线BO与抛物线C交于

另一点E.给出以下判断：

①直线OB与直线OE的斜率乘积为-2；

②AE//)，轴；

③以鹿为直径的圆与抛物线准线相切.

其中，所有正确判断的序号是()

A.①②③B.①②C.①③D.②③

7.已知函数=方程/(x)-。=0有四个不同的根，记最大的根的所有取值为集合。，贝！］“函

数E(x)=/(x)—日(xe£))有两个零点”是的().

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.在边长为2的菱形A3CD中，8£>=26，将菱形A3CO沿对角线AC对折，使二面角B—AC—O的余弦值为g,

则所得三棱锥A-BCD的外接球的表面积为()

2乃,

A.—B.2乃C.4"D.67r

3

9.已知。=(2sin——,cos——),Z?=(J3cos——,2c(3S—),函数/(x)=Z石在区间［0,-§T上恰有3个极值点，则正

222

实数切的取值范围为()

,85、75、577

A.[r―,—)B.[―r,—)C.[―r,-)D.(-,2］

5242344

10.若函数/(x)=2sin(x+29>cosx(0<^<-£)的图象过点(0,2),则()

、

A.函数y=/(x)的值域是[0,2]B.点%。是y=/(x)的一个对称中心

14y

C.函数y=/(x)的最小正周期是2万D.直线x=?是y=/(x)的一条对称轴

11.已知复数z满足z(l+i)=4-3i,其中i是虚数单位，则复数二在复平面中对应的点到原点的距离为()

755725

2F4

12.给出5()个数1,2,4,7,11,…，其规律是：第1个数是1,第2个数比第1个数大1,第3个数比第2个

数大2,第4个数比第3个数大3,以此类推，要计算这50个数的和.现已给出了该问题算法的程序框图如图，请在

图中判断框中的①处和执行框中的②处填上合适的语句，使之能完成该题算法功能()

A.i<50；p=p+iB.i<50；P=P+i

C.i<50；P=P+1D.i<50；p=p+l

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.下图是一个算法流程图，则输出的攵的值为.

14.现有5人要排成一排照相，其中甲与乙两人不相邻，且甲不站在两端，则不同的排法有一种.(用数字作答)

15.函数/(x)=sin3x+3cos2x[xe的值域为.

16.在二项式(/+2)6的展开式中，f的系数为.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)设函数/(x)=x-jg(x)=t\nx,其中xe(0,1),r为正实数.

(1)若/(X)的图象总在函数g(x)的图象的下方，求实数/的取值范围；

⑵设H(x)=(lnx—丁+1卜'+12-1)11一证明：对任意xe(O,l),都有H(x)>0.

18.(12分)已知等差数列｛为｝的公差d=2,且%,为成等比数列.

(1)求数列｛q｝的通项公式；

(2)设，求数列｛4+〃｝的前几项和S,.

19.(12分)已知离心率为;的椭圆M：5+g=l(">">0)经过点

(1)求椭圆"的方程;

⑵荐椭圆加的右焦点为尸，过点E的直线AC与椭圆M分别交于A,8,若直线D4、DC、的斜率成等差数

列，请问ADC户的面积SgcF是否为定值？若是，求出此定值；若不是，请说明理由.

InY

20.(12分)已知函数/(x)=xe*,g(x)=-~

x

(1)求函数f(x)的极值；

(2)当xX)时，求证：/(x)>g(x).

21.(12分)已知函数/(x)=ln(av)->0).

(1)若函数/zCr)=e"(x)在(0,+8)上单调递增，求实数。的值；

(2)定义：若直线/：y=Ax+b与曲线G：<(x,y)=()、。2：人(龙，刈=。都相切，我们称直线/为曲线q、C2的公

切线，证明：曲线/(x)=ln(ar)—a,(a>0)与g(x)=ae*,(a>0)总存在公切线.

22.(10分)某公司为了鼓励运动提高所有用户的身体素质，特推出一款运动计步数的软件，所有用户都可以通过每

天累计的步数瓜分红包，大大增加了用户走步的积极性，所以该软件深受广大用户的欢迎.该公司为了研究“日平均走

步数和性别是否有关“，统计了2019年1月份所有用户的日平均步数，规定日平均步数不少于8000的为“运动达人”,

步数在8000以下的为“非运动达人”，采用按性别分层抽样的方式抽取了100个用户，得到如下列联表：

运动达人非运动达人总计

男3560

女26

总计100

(1)(0将2x2列联表补充完整；

(«)据此列联表判断，能否有99%的把握认为“日平均走步数和性别是否有关”？

(2)将频率视作概率，从该公司的所有人“运动达人”中任意抽取3个用户，求抽取的用户中女用户人数的分布列及期

望.

附：

尸(片淮)0.0500.0100.001

k。3.8416.63510.828

K2=

(Q+Z?)(c+d)(o+c)(/?+d)

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

2

设点3位于第二象限，可求得点8的坐标，再由直线与直线y=b垂直，转化为两直线斜率之积为-1可得出冬h

aa-

的值，进而可求得双曲线。的离心率.

【详解】

设点3位于第二象限，由于轴，则点8的横坐标为％B=-C，纵坐标为为=-24="，即点

aaya)

h/

由题意可知，直线8K与直线y=—x垂直，._a_b_a,.•二二2,

a勺居=——二一二-=a

因此，双曲线的离心率为e=£

故选：B.

【点睛】

本题考查双曲线离心率的计算，解答的关键就是得出“、。、c的等量关系，考查计算能力，属于中等题.

【解析】

根据异面直线的判定定理、定义和性质，结合线面垂直的关系，对选项中的命题判断.

【详解】

A.假设直线AO与3c共面，则A,D,B,C共面，则AB,CD共面，与ABu。，COuQ矛盾，故正确.

B.根据异面直线的性质知，过AD只有唯一平面与8c平行，故正确.

C.根据过一点有且只有一个平面与已知直线垂直知，故正确.

D.根据异面直线的性质知，过AO不一定能作一平面与BC垂直，故错误.

故选：D

【点睛】

本题主要考查异面直线的定义，性质以及线面关系，还考查了理解辨析的能力，属于中档题.

【解析】

根据题意，分析可得函数/(x)的图象关于x=2对称且在［2,+8)上为减函数，则不等式〃“)4/(3a+1)等价于

|«-2|>|3a-l|,解得。的取值范围，即可得答案.

【详解】

解:因为函数y=/(x+2)为偶函数，

所以函数“X)的图象关于x=2对称，

因为“X)对任意者，々G［2,4W)(石。工2)，都有"/)一"'<0,

工2一X

所以函数/(x)在［2,+=。)上为减函数，

贝！|/(a)4/(3a+l)=〃|a_2|)"(|3a+l-2|)o|a-2|N|3a-l|,

13

解得：—<a<—.

24

-13-

即实数。的取值范围是-于1.

故选：A.

【点睛】

本题考查函数的对称性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于综合题.

4.D

【解析】

根据复数乘方公式：［r(cose+isin6)］"=/'(cos〃e+isin〃e),直接求解即可.

【详解】

=161cos工+isin工］

I66)

=16cos^4x^j+zsin^4x-^=一8+8囚，

同=/8)2+(8可=16.

故选：D

【点睛】

本题考查了复数的新定义题目、同时考查了复数模的求法，解题的关键是理解棣莫弗定理，将复数化为棣莫弗定理形

式，属于基础题.

5.A

【解析】

先利用正弦定理将边统一化为角，然后利用三角函数公式化简，可求出解朋

【详解】

由正弦定理可得sinA+2sinC=2sinBcosA,即sinA+2sin(A+B)=2sinBcosA,即有sinA(1+2cos8)=0,

12万

因为sinA>0,则cosB=——,而8G(0,%)，所以B=—.

23

故选：A

【点睛】

此题考查了正弦定理和三角函数的恒等变形，属于基础题.

6.B

【解析】

由题意，可设直线。E的方程为x=〃少+2,利用韦达定理判断第一个结论；将x=代入抛物线C的方程可得，

力弘=8,从而，力=-必，进而判断第二个结论；设尸为抛物线C的焦点，以线段况为直径的圆为M，则圆心M

为线段BE的中点.设B,E到准线的距离分别为4,d2,0M的半径为R,点”到准线的距离为。，显然B,E，

尸三点不共线，进而判断第三个结论.

【详解】

解：由题意，可设直线。E的方程为4=冲+2,

代入抛物线C的方程，有V—4加y—8=0.

设点B,£的坐标分别为(玉,%)，(尢2，%)，

-8

则>|+%=4机，yty2=.

所玉W=(利I+2)(，取2+2)=加2乂必+2，〃(y+%)+4=4.

则直线OB与直线0E的斜率乘积为"=-2.所以①正确.

再々

将x="-2代入抛物线。的方程可得，力必=8,从而，力=-必，

根据抛物线的对称性可知，A,E两点关于x轴对称，

所以直线AE//)，轴.所以②正确.

如图，设/为抛物线C的焦点，以线段3E为直径的圆为加，

则圆心M为线段8E的中点.设8,£到准线的距离分别为4，d2,的半径为R,点M到准线的距离为d,

显然B,E，F三点不共线，

则"==图］上!^>些=/?.所以③不正确.

222

故选：B.

【点睛】

本题主要考查抛物线的定义与几何性质、直线与抛物线的位置关系等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力和

创新意识，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于难题.

7.A

【解析】

作出函数f(x)的图象，得到D=(2,4］,把函数F(x)=f(x)—kx(xeD)有零点转化为丫=1«与丫=**)在(2,

4］上有交点，利用导数求出切线斜率，即可求得k的取值范围，再根据充分、必要条件的定义即可判断.

【详解】

作出函数f(x)=［的图象如图，

'，［X2+2X+2,X<0

由图可知，D=(2,4］,

函数F(x)=f(x)-kx(xeD)有2个零点，即f(x)=kx有两个不同的根，

也就是y=kx与y=f(x)在(2,4］上有2个交点，贝！|k的最小值为|；

/、1

设过原点的直线与y=10g2X的切点为（Xo」Og2Xo）,斜率为一j~y,

x（）1n/

,1/\

则切线方程为yTogzX=—;一;（x—X。），

x0ln2

把（0,0）代入，可得-log,x0=一」，即X0=e,.•.切线斜率为工，

ln2eln2

.•.k的取值范围是1],

\2eln2）

：.函数F（x）=f（x）—kx（xeD）有两个零点”是“k>g”的充分不必要条件,

故选A.

本题主要考查了函数零点的判定，考查数学转化思想方法与数形结合的解题思想方法，训练了利用导数研究过曲线上

某点处的切线方程，试题有一定的综合性，属于中档题.

8.D

【解析】

取AC中点N,由题意得N8ND即为二面角B—AC—。的平面角，过点8作80_LOV于。，易得点。为AADC的

/fiY,26丫

中心，则三棱锥A-BC0的外接球球心在直线80上，设球心为。一半径为广，列出方程+至=r

33

\7\7

即可得解.

【详解】

如图，由题意易知△A8C与AAOC均为正三角形，取AC中点N,连接8N,DN,

则BNLAC,DV_LAC,N3ND即为二面角3—AC—。的平面角，

过点8作BO_L£W于O,则3O_L平面4C。，

162行I—(/3Y2/

由BN=ND=#>,cosNBND=:可得ON=BN-cosNBND=匚,0D=^—,OB=3--=—

333Mt33

0"=('。即点0为44。。的中心，

三棱锥A-BCD的外接球球心在直线B0上，设球心为0},半径为r,

:.BO、=DO\=r,00'=当—小

“解得，告

3

•••三棱锥A-BCD的外接球的表面积为S==4万x巳=6万.

2

【点睛】

本题考查了立体图形外接球表面积的求解，考查了空间想象能力，属于中档题.

9.B

【解析】

TT47r

先利用向量数量积和三角恒等变换求出f(x)=2sin(s+二)+1,函数在区间。丁］上恰有3个极值点即为三个最

63

jrjrjrKJT

值点，0x+—=—+A%,&eZ解出，x=—+—,k&Z,再建立不等式求出后的范围，进而求得①的范围.

623CDco

【详解】

解:/(x)=6sintwx+2cos=6sin(yx+cos(yx+1

=2sin(iyx+—)+1

jr-rrjrK7T

令cox~\——二——\-k7C,kGZ,解得对称轴x=----1------eZ,/(0)=2,

623coCD

又函数“X)在区间［0,?］恰有3个极值点，只需^+―<^<^+—

33coa>33a)co

75

解得■yW/V;;.

42

故选：B.

【点睛】

本题考查利用向量的数量积运算和三角恒等变换与三角函数性质的综合问题.

(1)利用三角恒等变换及辅助角公式把三角函数关系式化成y=Asin(0x+0)+，或)，=ACOS(3X+0)+，的形式;⑵根据

自变量的范围确定«)x+(p的范围，根据相应的正弦曲线或余弦曲线求值域或最值或参数范围.

10.A

【解析】

根据函数/(x)的图像过点(0,2),求出。，可得/(x)=cos2x+l,再利用余弦函数的图像与性质，得出结论.

【详解】

jr

由函数〃x)=2sin(x+2e>cosx(0<^<-)的图象过点(0,2),

可得2sin2e=2,即sin26=l,

.•.26=工，6=工，

24

故/(x)=2sin(x+26>cosx=2cos2x=cos2x+l,

对于A,由TVcos2xMl,则0W/(x)W2,故A正确；

对于B,当x=?时，=故B错误；

对于C,T=q24=乃，故C错误；

2

对于D,当x=?时，/(Ji’故D错误；

故选：A

【点睛】

本题主要考查了二倍角的余弦公式、三角函数的图像与性质，需熟记性质与公式，属于基础题.

11.B

【解析】

利用复数的除法运算化简Z,复数Z在复平面中对应的点到原点的距离为Iz|,利用模长公式即得解.

【详解】

由题意知复数2在复平面中对应的点到原点的距离为|zI,

43j_(43i)(I)>7i17.

---------1.

22

572

.'.Iz|=

故选：B

【点睛】

本题考查了复数的除法运算，模长公式和几何意义，考查了学生概念理解，数学运算，数形结合的能力，属于基础题.

12.A

【解析】

要计算这50个数的和，这就需要循环50次，这样可以确定判断语句①，根据累加最的变化规律可以确定语句②.

【详解】

因为计算这50个数的和，循环变量i的初值为1,所以步长应该为1,故判断语句①应为i=i+l,第1个数是1,第2

个数比第1个数大1,第3个数比第2个数大2,第4个数比第3个数大3,这样可以确定语句②为。=。+"故本题

选A.

【点睛】

本题考查了补充循环结构，正确读懂题意是解本题的关键.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.3

【解析】

分析程序中各变量、各语句的作用，根据流程图所示的顺序，即可得出结论.

【详解】

解:初始＜-0,

第一次循环：〃-6,%―1；

第二次循环：〃—3,左一2；

第三次循环：〃—1,左一3；

经判断n=1，此时跳出循环，输出k=3.

故答案为：3

【点睛】

本题考查了程序框图的应用问题，解题的关键是对算法语句的理解，属基础题.

14.36

【解析】

先优先考虑甲、乙两人不相邻的排法，在此条件下，计算甲不排在两端的排法，最后相减即可得到结果.

【详解】

由题意得5人排成一排，甲、乙两人不相邻，有种排法，其中甲排在两端，有种排法，则6人排成一排,

甲、乙两人不相邻，且甲不排在两端，共有A；咒-2^A；=36(种)排法.

所以本题答案为36.

【点睛】

排列、组合问题由于其思想方法独特，计算量庞大，对结果的检验困难，所以在解决这类问题时就要遵循一定的解题

原则，如特殊元素、位置优先原则、先取后排原则、先分组后分配原则、正难则反原则等，只有这样我们才能有明确

的解题方向.同时解答组合问题时必须心思细腻、考虑周全，这样才能做到不重不漏，正确解题.

-6-3^:

15.—--,3

O

【解析】

r-

利用换元法，得到g(t)=t=3t2+3,te-^-,1,利用导数求得函数g(t)的单调性和最值，即可得到函数的值域,

得到答案.

【详解】

由题意，可得f(x)=sirPx+3cos2x=sin3x-3sir)2x+3,xe,

☆t=sinx,te--^-,1,即g(t)=-3t2+3,te--^-,1

则g(t)=3t2-6t=3t(t-2),

当—曰<t<0时，g'(t)>0,当0<t<l时，g'(t)>0,

即y=g(t)在-，,0为增函数，在［0,1］为减函数，

又g(-=g(0)=3,g(l)=l,

故函数的值域为：-^-,3.

【点睛】

本题主要考查了三角函数的最值，以及利用导数研究函数的单调性与最值，其中解答中合理利用换元法得到函数g(r),

再利用导数求解函数的单调性与最值是解答的关键，着重考查了推理与预算能力，属于基础题.

16.60

【解析】

直接利用二项式定理计算得到答案.

【详解】

62

二项式1+2)的展开式通项为：Tr+l=C；(x广[2'=C；产a.2,，

取r=2,则V的系数为C>22=60.

故答案为：60.

【点睛】

本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力和应用能力.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)(0,2](2)证明见解析

【解析】

(1)据题意可得E(x)=/(X)-g(x)=x-J-八nx<0在区间(0,1)上恒成立，利用导数讨论函数的单调性，从而求

QX22

出满足不等式的/的取值范围；(2)不等式整理为一-——<V—1由⑴可知当1=2时，YJ—_1>2,利用导数判

xe'-x+1x\nxx\nx

断函数一的单调性从而证明一一<2在区间(0,1)上成立，从而证明对任意xe(0,1),都有”(x)>0.

【详解】

(1)解：因为函数/(X)的图象恒在g(x)的图象的下方，

所以/(x)—g(x)=x—在区间(0,1)上恒成立.

设F(x)=其中xe(0,l),

所以/(*)=1+二一工=土”，其中△=*一4,/>0.

JTX厂

①当/一4,,0,即0<r,,2时，F(x)..O,

所以函数尸(X)在(0,1)上单调递增，F(x)<F(l)=0,

故"x)—g(x)<0成立,满足题意.

②当产一4>0，即f>2时，设夕(》)=*2—及+1(0<%<1),

则。(x)图象的对称轴片工>1,。⑼=1,，⑴=2-/<0,

所以。(x)在(0,1)上存在唯一实根，设为0,则XG(41),。(力<0,F(x)<0,

所以F(x)在&,1)上单调递减，此时尸(%)>尸(1)=0,不合题意.

综上可得，实数/的取值范围是(0,2].

(2)证明：由题意得H(x)=e'lnx—(卜-1)卜_1+千)=。1门一卜1)(虎—+1)

因为当xe(0,l)时，%ex-%+l>0»lnx<(),

e"x2-1

所以H(x)>0oe”nx>——：------<-----

xe'-x+lx\nx

令/z(x)=eA-x-l(0<x<l),则=eA-1>0,

所以〃(x)在(0,1)上单调递增，〃(x)>〃(0)=0,即e，>x+l，

所以xe*-x+l>x(x+l)-x+1=f+1,从而——?-----<—?—

xeA-x+lx2+l

12_i

由(1)知当/=2时，x——21nx<0在X£(0,1)上恒成立，整理得r上二>2.

xx\nx

令机(0=等，(0<%<1),则要证”(x)>0,只需证〃z(x)<2.

e'(x-l)2

因为/(x)=7^―M>°，所以相(无)在(0,1)上单调递增，

(x2+l)、)

所以加(乃<加1)=/<2,即〃z(x)<2在(0,1)上恒成立.

综上可得，对任意xe(0,1),都有”(x)>0成立.

【点睛】

本题考查导数在研究函数中的作用，利用导数判断函数单调性与求函数最值，利用导数证明不等式，属于难题.

=

18.(1)ci,,2/1；(2)S=n~+n-----------1—.

"3x4"3

【解析】

(1)根据等比中项性质可构造方程求得％,由等差数列通项公式可求得结果；

(2)由(1)可得/，可知｛々｝为等比数列，利用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式可求得结果.

【详解】

(1)•.,4，。2，。4成等比数列，；.。；=4。4，即(4+△)-=4(q+3”),

二(4+2)一=4(4+6),解得：4=2,

an=2+2(〃—1)=2n.

..数列｛4｝是首项为:，公比为;的等比数列，

:.Sn=(«!+a2+ai+---+an)+｛b]+b2+b3+---+bn)=+(；)+…+(；)

211

-n~+n--F-.

3x4"3

【点睛】

本题考查等差数列通项公式的求解、分组求和法求解数列的前〃项和的问题；关键是能够根据通项公式证得数列抄“｝

为等比数列，进而采用分组求和法，结合等差和等比数列求和公式求得结果.

r2y29

19.(1)一+乙=1；(2)是，-

434

【解析】

⑴根据e=£=，及/=加+/可得4及=34,再将点。[1,代入椭圆的方程与4〃=3a2联立解出/，即可

a2I2；

求出椭圆的方程;

(2)可设AC所在直线的方程为y=«r-D,A(x「x),8(々,必)，C«，妖，一D)，将直线AC的方程与椭圆的方

程联立，用根与系数的关系求出%+%2，%%2，然后将直线。A、DB、。。的斜率匕、h、占分别用表示，

利用k、+b=2k可求出(=4,从而可确定点C恒在一条直线x=4上，结合图形即可求出NDCF的面积S&I)CF.

【详解】

1C11

(1)因为椭圆的离心率为一，所以e=-=—,即c=—

2a22

又片=/?2+。2,所以4〃=3/,①

因为点在椭圆上，所以摄+京=晨②

a=4r22

由①②解得2，所以椭圆C的方程为土+v乙=1.

b2=343

⑴可知c=l,^(1,0),可设AC所在直线的方程为了=左。-1),

y=A:(x-1)

由，丫2,得(3+4&2)%2-8左28+4(42-3)=0,

—+—=1

143

则由+々=表，4伏2—3)

设A(XI,y),B(x2,y2)工1%2=7-9

1-3+4公

设直线D4、DB、DC的斜率分别为6、及2、k

因为A民产三点共线,所以*=即含=己=3

,_2_2

“11、…3

所以占+&=三+口=上+上31.1=2k———2_=21,

--------1-----?XX一(玉+々)+1

%一1%2—1%一1/一]2(玉一1%2-1,x2

3

又&=,,2'

因为直线ZM、DC、QB的斜率成等差数列，所以勺+%2=2%，

即(2左一1)。-1)=2伙『一1)一3,化简得。=4,即点C恒在一条直线x=4上,

3

又因为直线OF方程为x=l,且|。/|=二,

2

9

13

--

所以S^DCF是定值SSCF=]x5x34

【点睛】

本题主要考查椭圆的方程，直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题，属于中档题.

20.(1)于(x)的极小值为/(-I)=无极大值.(2)见解析.

e

【解析】

(1)对/(x)=xe'求导，确定函数单调性，得到函数极值.

InY

(2)构造函数月⑴=Y一inx(x>0),证明/。)>0恒成立，得到丁<1,

厂

*Inx2Inx/―一

c>——=>xe>----9得证.

X

【详解】

(1)由题意知，f'(x)=xex+ex=(x+1)^',

令/(x)>0,得£>一1,令/'(x)<0,得X<—1.

则.f(X)在(-8,-1)上单调递减，在(-1,y)上单调递增,

所以/(X)的极小值为/(-1)=-,，无极大值.

e

Inx

(2)当工乂)时，要证/(%)>g(x),即证

x

令网为二/一inx(x>0),则/(x)=2%-4(冗>0),

x

令/’(幻>0,得令歹'(幻<0,得o<x<Y2,

22

贝！|F(x)在0,-^-上单调递减，在一,+8上单调递增,

I2J

\/

15/2

所以当xX)时，F(x)>F=——In—>0,

22

Inx

所以x2>]nx,即一二<1.因为x>0时，ex>e°

x

……八，Inx2Inx

所以当x>0时，er>——nxe~>----,

xx

所以当x>0时，不等式/(x)>g(x)成立.

【点睛】

本题考查了函数的单调性，极值，不等式的证明，构造函数尸(x)=/-lnx(x>0)是解题的关键.

21.(1)a=ls(2)见解析.

【解析】

(1)求出导数，问题转化为〃'(x)..o在(0,+8)上恒成立，利用导数求出夕(x)=ln(ax)+」-a的最小值即可求解

X

(2)分别设切点横坐标为王,马，利用导数的几何意义写出切线方程，问题转化为证明两直线重合，只需满足

ae,2、=—1

<须有解即可，利用函数的导数及零点存在性定理即可证明存在.

X2X1

]n(o¥])-a-l=ae-ax2e

【详解】

(1),/h{x)=ex\\n(ax)-tz],x>0,

/./?"(%)=e'[ln(ox)+,一a]

x

函数h(x)在(0,+oo)上单调递增等价于h(元)..。在(0,住)上恒成立.

1z\111X_1

令A°(x)=ln(ax)+——a,得°(x)=----=—丁