江苏省扬州、泰州、南通、淮安、宿迁、徐州六市2023届高三二模数学试题

宿迁市2023届高三第二次调研测试数学学科参考答案及评分建议一、填空题：本大题共14小题，每题5分，共计70分．1．集合，，那么▲．【答案】2．复数，其中为虚数单位，那么复数的模是▲．【答案】3．根据如下图的伪代码，可知输出的结果是▲．纤维长度纤维长度频数[22.5，25.5)3[25.5，28.5)8[28.5，31.5)9[31.5，34.5)11[34.5，37.5)10[37.5，40.5)5[40.5，43.5]4〔第4题〕i←i←1Whilei<6i←i2S←2i3EndWhilePrintS〔第3题〕【答案】174．【答案】1805．100张卡片上分别写有1，2，3，…，100．从中任取1张，那么这张卡片上的数是6的倍数的概率是▲．【答案】〔或0.16〕6．在平面直角坐标系中，抛物线上一点到焦点的距离为3，那么点的横坐标是▲．【答案】27．现有一个底面半径为3cm，母线长为5cm的圆锥状实心铁器，将其高温融化后铸成一个实心铁球〔不计损耗〕，那么该铁球的半径是▲cm．【答案】8．函数的定义域是▲．【答案】9．是公差不为0的等差数列，是其前n项和．假设，，那么的值是▲．【答案】10．在平面直角坐标系中，圆：，圆：．假设圆心在轴上的圆同时平分圆和圆的圆周，那么圆的方程是▲．【答案】11．如图，在平面四边形中，为的中点，且，．假设eq\o(AB,\s\up7(→))·eq\o(AD,\s\up7(→))7，BCDO(第11题)A那么eq\o(BC,\s\up7(→))·eq\o(DC,\s\up7(→BCDO(第11题)A【答案】912．在△中，，，那么的最大值是▲．【答案】13．函数其中．假设函数有3个不同的零点，那么m的取值范围是▲．【答案】14．对任意的，恒成立，那么当取得最小值时，的值是▲．【答案】二、解答题：本大题共6小题，共计90分．15．〔本小题总分值14分〕，．求：〔1〕的值；〔2〕的值．解：〔1〕法一：因为，所以，又，所以．……3分所以．……6分法二：由得，，即．①……3分又.②由①②解得或．因为，所以．……6分〔2〕因为，，所以．……8分所以，．……12分所以．……14分16．〔本小题总分值14分〕BC1ACA1B1D(第16题)EBC1ACA1B1D(第16题)E求证：〔1〕DE∥平面B1BCC1；〔2〕平面平面．证明：〔1〕在直三棱柱中，四边形A1ACC1为平行四边形．又为的为的中点．……2分同理，D为A1B的中点，所以DE∥BC．……4分又平面B1BCC1，平面B1BCC1，所以DE∥平面B1BCC1．……7分〔2〕在直三棱柱中，平面ABC，又平面ABC，所以．……9分又，，平面，所以平面．……12分因为平面所以平面平面．……14分17．〔本小题总分值14分〕如图，在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，C为椭圆上位于第一象限内的一点．〔1〕假设点的坐标为，求a，b的值；(第17题)OABCxy〔2〕设A为椭圆的左顶点，B为椭圆上一点，且eq\o(AB,\s\up7(→))EQ\F(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))，求直线AB的斜率(第17题)OABCxy解：〔1〕因为椭圆的离心率为，所以，即．①又因为点在椭圆上，所以．②……3分由①②解得．因为，所以．……5分〔2〕法一：由①知，，所以椭圆方程为，即．设直线OC的方程为，，．由得，所以．因为，所以．……8分因为eq\o(AB,\s\up7(→))EQ\F(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))，所以．可设直线的方程为．由得，所以或，得．……11分因为eq\o(AB,\s\up7(→))EQ\F(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))，所以，于是，即，所以．所以直线AB的斜率为．……14分法二：由〔1〕可知，椭圆方程为，那么．设，．由eq\o(AB,\s\up7(→))EQ\F(1,2)eq\o(OC,\s\up7(→))，得，所以，．……8分因为点B，点C都在椭圆上，所以解得，，……12分所以直线AB的斜率．……14分18．〔本小题总分值16分〕一缉私艇巡航至距领海边界线l〔一条南北方向的直线〕3.8海里的A处，发现在其北偏东方向相距4海里的B处有一走私船正欲逃跑，缉私艇立即追击．缉私艇的最大航速是走私船最大航速的3倍．假设缉私艇和走私船均按直线方向以最大航速航行．〔1〕〔参考数据：，〕领海AB领海AB北(第18题)公海l解：〔1〕设缉私艇在处与走私船相遇〔如图甲〕，依题意，．……2分在△中，由正弦定理得，．因为，所以．从而缉私艇应向北偏东方向追击．……5分ABC图甲在ABC图甲，解得．又B到边界线l的距离为．因为，所以能在领海上成功拦截走私船．……8分〔2〕如图乙，以为原点，正北方向所在的直线为轴建立平面直角坐标系．y公海领海AB图y公海领海AB图乙60lx船相遇，那么，即．整理得，，……12分所以点的轨迹是以点为圆心，为半径的圆．因为圆心到领海边界线：的距离为1.55，大于圆半径，所以缉私艇能在领海内截住走私船．……14分答：〔1〕缉私艇应向北偏东方向追击；〔2〕缉私艇总能在领海内成功拦截走私船．……16分19．〔本小题总分值16分〕函数，，其中e为自然对数的底数．〔1〕求函数在x1处的切线方程；〔2〕假设存在，使得成立，其中为常数，求证：；〔3〕假设对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围．解：〔1〕因为，所以，故．所以函数在x1处的切线方程为，即．……2分〔2〕由等式得．记，那么．……4分假设．假设，那么，所以在上为单调增函数．又，所以，与矛盾．……6分假设，记，那么．令，解得．当时，，在上为单调增函数；当时，，在上为单调减函数．所以，所以，所以在上为单调增函数．又，所以，与矛盾．综合①②，假设不成立，所以．……9分〔3〕由得．记，，那么．当时，因为，，所以，所以在上为单调增函数，所以，故原不等式恒成立．……12分法一：当时，由〔2〕知，，当时，，为单调减函数，所以，不合题意．法二：当时，一方面．另一方面，，．所以，使，又在上为单调减函数，所以当时，，故在上为单调减函数，所以，不合题意．综上，．……16分20．〔本小题总分值16分〕设数列的前n项和为Sn，且满足：①；②，其中且．〔1〕求p的值；〔2〕数列能否是等比数列？请说明理由；〔3〕求证：当r

2时，数列是等差数列．解：〔1〕n1时，，因为，所以，又，所以p1．……2分〔2〕不是等比数列．理由如下：假设是等比数列，公比为q，当n2时，，即，所以〔=1\*romani〕……4分当n3时，，即，所以，〔=2\*romanii〕……6分由〔=1\*romani〕〔=2\*romanii〕得q1，与矛盾，所以假设不成立．故不是等比数列．……8分〔3〕当r

2时，易知．由，得时，，①，②②①得，，……11分即，，即……，所以令d，那么．……14分所以.又时，也适合上式，所以．所以．所以当r

2时，数列是等差数列．……16分数学Ⅱ〔附加题〕21．【选做题】此题包括A、B、C、D四小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．假设多做，那么按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．A．[选修4-1：几何证明选讲]〔本小题总分值10分〕DAC事项考生在答各题答题要求1．本试卷题前认真阅读本考前须知及共4页，包含填空题DAC事项考生在答各题答题要求1．本试卷题前认真阅读本考前须知及共4页，包含填空题〔第1题～第14题〕、解答题〔第15题～第20题〕两局部。本试卷总分值160分，考试时间为120分钟。考试结束后，请将本试卷和答题纸一并交回。2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔填写在试卷及答题纸上。3．作答时必须用书写黑色字迹的0．5毫米签字笔写在答题纸上的指定位置，在其它位置作答一律无效。4．如有作图需要，可用铅笔作答，并请加黑加粗，描写清楚。BO〔第21—A题〕求证：．证明：连结OC．因为，，所以．……3分因为OCOD，所以．所以．所以△∽△．……8分所以，即．因为，所以．……10分B．[选修4-2：矩阵与变换]〔本小题总分值10分〕设矩阵满足：，求矩阵的逆矩阵．解：法一：设矩阵，那么，所以，，，．……4分解得，，所以．……6分根据逆矩阵公式得，矩阵．……10分法二：在两边同时左乘逆矩阵得，．……4分设，那么，所以，，，．……6分解得，，，，从而．……10分C．[选修4-4：坐标系与参数方程]〔本小题总分值10分〕相交于，两点，求线段的长．解：法一：将曲线〔为参数〕化为普通方程为．……3分将直线〔为参数〕代入得，，……6分解得，．那么，所以线段的长为．……10分法二：将曲线〔为参数〕化为普通方程为，……3分将直线〔为参数〕化为普通方程为，……6分由得，或所以的长为．……10分D．[选修4-5：不等式选讲]〔本小题总分值10分〕设均为正实数，且，求证：．证明：因为均为正实数，且，所以，，．……8分所以．……10分【必做题】第22、23题，每题10分，共计20分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．〔本小题总分值10分〕某乐队参加一户外音乐节，准备从3首原创新曲和5首经典歌曲中随机选择4首进行演唱．〔1〕求该乐队至少演唱1首原创新曲的概率；〔2〕解：〔1〕设“至少演唱1首原创新曲〞为事件，那么事件的对立事件为：“没有1首原创新曲被演唱〞．所以．答：该乐队至少演唱1首原创新曲的概率为．……4分〔2〕设随机变量表示被演唱的原创新曲的首数，那么的所有可能值为0，1，2，3．依题意，，故的所有可能值依次为8a，7a，6a，5a．那么，，，．从而的概率分布为：88a7a6a5a……8分所以的数学期望．……10分23．〔本小题总分值10分〕其中，〔1，2，，n〕，．例如：有序数组