高中数学立体几何多选题100附答案

高中数立体几何多题100附答案一、立几何多选题1．如图，在边长为4的正方形

ABCD

中，点、F分在边、BC

上（不含端点）且BE，将，

DCF

分别沿DE，DF折，使A、C两重合于点，则下列结论正确的有（）A．

ADEF1B．BEBF

BC时三棱锥

ADEF1

的外接球体积为πC．

BF

时三棱锥DEF1

的体积为

2173．

BF

时点A平面DEF的距离为

17【答案】【分析】A选：证明

AD面AEF，EF

；B选项：当BF

BC

时，三棱锥

的条侧棱ADA,AF1

两两相互垂直，利用分隔补形法求三棱锥

EFD

的外接球体积；C选：利用等体积法三棱锥

的体积；D选项：利用等体积法求出点A到面DEF距离【详解】A选：

正方形

ABCD,DC由折叠的性质可知：

AD,AAF11又

AEA1EF1又

EF面EF，1ADEF1

；故正确B选项：当BF

BC

时，

EFEF21在

A1

中，

2AFEF211

，则

AE11

EFcosEDFEFcosEDF由选项可知，

AE,AF111

三棱锥

EFD

的三条侧棱

AD,AF1

两两相互垂直，把三棱锥

EFD

放置在长方体中，可得长方体的对角线长为22

，三棱锥

的外接球半径为6，积为

43

43

6

，故错C选：当

BE

14

时，

EF11在A中1

EF1

A2AF1

22

89

，sinEA

179则S

EF

111717EEAF229

EFD

DEF

13

11717D2故正；D选项：设点到面EFD的距离为h，2522在中7sin25

，则

S

17DEEDF2252V

EFD

13

DEF

1717323即h

4177故正确；故选：【点睛】方法点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．2．已知正方体

BC111

的棱长为

，点，在面

A

内，若

，

DF

，则（）

EFEFA．点的迹是一个圆B．F的轨迹是一圆C．的最小值为2．AE平面BD所角的正弦值的最大值为

【答案】【分析】对于AB、、四选项，需要对各个选项一一验.选项A由AE

21

E5，1

AE1

，分析得的迹为圆；选项：DBF，而点F在

D1

上，即的轨迹为线段

D1

，；选项：由的轨迹为圆F的迹线段

D，可分析得EF|1min

；选项：建立空间直角坐标系，用向量法求最.【详解】对于AE

21

E5，1

2

2，以1

AE1

，即点E为面A内，以A为心半径为1的上；故A正；对于B:正体

BD111

中，ACBD，又

DF

，且BDDF=D，以

，所以点在

D1

上，即F的迹为线段

D1

，故错；对于在面

A

内，

到线D11

的距离为

当点

，落

C1

上时，

EF

2

；故C正确；对于D:建立如图示的坐标系，则

1因为点E为在面

A1

内，以

为圆心、半径为1的圆上，可设

E

所以

AE

设平面的向量nz，不妨令x=1则

，则有

nBDynAz设平面

BD

所成角为，：

2sin|cos4AE53当且仅当

4

时，sin有最大值

，故正确

故选：【点睛】多项选择题是2020年考新题型，要要对选项一一验证．3．如图所示，正三角形ABC中，，分为边，的中点，其中AB＝，eq\o\ac(△,)沿着DE翻至'DE位置，使得二面角A'-DEB为60°，下列选项中正确的是（）A．点A'到平面BCED的离为3B．线AD与线CE所的角的余弦值为C．D

．棱锥'-BCED的接球半径为

37【答案】【分析】作AM，交DE于延交于N,连A'N.利线面垂直的判定定理判定CD平利用面面垂直的判定定理与性质定理得到A'到面面BCED的A'H并根据二面角的平面角，在直角三角形中计算求得A'H的值，从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到就是直线与所的角，利用余弦定理计算即可判定B;利勾股定理检验可以否定先证明底面的外接圆的圆心为N在用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A'BCED的外接球的球心为O则ON平BCED,且经计算求解可得半径从而判定【详解】如图所示，作AMDE，交DE于M延交BC于N连,A'N.则DE,MNDEA'M∩MNM平面,又CD面ABDC平A'MN平,在平面A'MN中MN则A'H平BCED,二角A'B为60°，A'EF，正角形中=8,AN=4

,=2,=A'M，A正确；连接DN易DNDN=4,就直线A'D与CE所的角，DNDA'A'M=23

222222A'DN=

4

25,B正；2A'D=

A

BN

12

,

DBA与BD不垂直，故错’易得==NG，N为底面梯形BCED的外接圆的圆心，设四棱锥A'BCED的外接球的球心为O则ON平BCED且,若在面BCED上，入图所：设=,外球的半径为R,过作的垂线，垂足为P,则HPx,易4

2

2

R

2

,解得

x

23

,舍；故在面BCED下，如图所：设=,外球的半径为R,过作的垂线，垂足为P,则HPx,易

2

R,解

x

23

,

449

237,故正.3故选.

【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题，涉及二面角问题，异面直线所成的角，用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算，余弦定理等，属综合性较强的题目，关键是利用线面垂直，面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定，注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验.4．如图，在棱长为2的正方体

A11

，中，E为上的中点，F为1

上的点，且满足

AFA21

，点F，，E，，H为三B，E，的面

BMN与方体ABCDABC11

的棱的交点，则下列说法正确的是（）A．

HF//

B．棱锥的体积

C．线

MN与面BA1

所成的角为

45

．

G:GC31【答案】【分析】面面平行性质定理可得出A正；等体积法求得B正；直线与面BA1

所成的角为

MN1

，求其正切值不等于1即得出C错；利用面面平行性质理和中位线求

11出

,GC1

长度即可得出D正.【详解】解：对于A.在方体

BD中平面//111

平面

C1

，又平面

ADAD11

平面BMN

，平面

C1

平面BE

，有平面与平面平行的性质定理可得HF//BE

，故正确；对于因

AFA2，以11

11

，又为上中点，所以

BN41

,所以

NBM

143

，故正确；对于由意图形可判定直线

MN与面BA所的为MN11

，结合选项可得

tanMN

NM

，故错误；对于同A选证明方法一样可证的

C//BM1

，因为为上的中点，为B上的中点，所以1

GC=1

2所以

G=1

，所以

G:GC311

，故正确故选：【点睛】求体积的常用方法：（）接法：于规则的几何体，利用相关公式直接计算；（）体积法选择合适的底面来求几何体体积，常用于求三棱锥的体积，即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换；（）补法：先把不规则的几何体分割成规则的几何体，然后进行体积计算；或者把不规则的几何体补成规则的几何体，不熟悉的几何体补成熟悉的几何体，便于计.5．在直角梯形ABCD中

ABC

，BC，，为DC中点，现将ADE沿AE折起，得到一个四棱锥D，则下列命题正确的有（）A．在ADE沿AE折的过程中，四棱锥D体积的最大值为

B．沿折的过程中，异面线AD与BC所成的角恒为

4C．AE折的过程中，二面角

AEC

的大小为

45．四棱锥

D

中，当D在EC上射影恰好为EC的点时，与面ABCE

ABCEABCEABCEABCE所成的角的正切为【答案】【分析】

对于A四棱锥

DABCE

的底面面积是固定值，要使得体积最大，需要平面面

，此时

，可求得

ABCE

S

可判断A；对于，在AE折的过程中，AE//BC

，所以异面直线AD与所成的角即为AD与所成角，由翻折前可知

可判断；于，利用面垂直的判定定理，结合翻折前可知⊥平面

，又平

，所以平面

平面

，即二面角

的在大小为

判断C；于，用线面垂直的判定定理可知DF面

，所以DBF为线与平面所的角，在直角DFB，tanDBF【详解】

DF15BF

，可判断正；对于AAE折得到四棱锥

D

，由四棱锥底面面积是固定值，要使得体积最大，需要四棱锥的高最大，即平面DAE面

，此时

，由已知得DE，

DABCE

，故正确；对于，ADE沿AE折起的过程中，

/

，所以异面直线AD与AE所的角即为与BC所角，又

BC

，2，E为DC中，可知

，即异面直线与BC所成的角恒为

4

，故B正确；对于，由翻折前，

AEECAE

，且

，则⊥平

，又AE面

，所以平面

平面

，即二面角

D

的大小为

，故C错误；对于，如图连接DF,BF，C选知，AE⊥平面，DF面，

22222AEDF，由已知得ECDF且EC

，则DF面，所以DBF直线与平面ABCE所成的角，在直角DFB，DFtan

22

CE1

22

352

155，以DB与面所成的角的正切为

，故D正；故选：【点睛】关键点睛：本题考查立体几何综合问题，求体积，求线线角，线面角，面面角，解题的关键要熟悉几种角的定义，通过平移法找到线线角，通过证垂直找到线面角和面面角，再结合三角形求出角，考查了学生的逻辑推理能力，转化能力与运算求解能力，属于难.6M，分为菱形的边，的点，将菱形沿对角线AC折，点不在平面ABC内则在翻折过程中，下列结论正确的有（）A．

∥

平面B．面直线与MN所的角为值C．二面角大

DAC

逐渐变小的过程中，三棱锥D接球的半径先变小后变．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直，则ABC

的取值范围是

2

【答案】【分析】利用线面平行的判定即可判断选项；利用线面垂直的判定求出异面直线AC与所的角即可判断选项B；借助极限状态，当平面

与平面

ABC

重合时，三棱锥DABC

外接球即是以

外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角空间想象能力进行分析即可判断选项C;

DAC

逐渐变大时，利用过A作

AH

,垂为H,

ABC

为锐角、直角、钝角三种情况分别进行分析判断即

可判断选项D.【详解】对于选项A:因为，分为菱形的BC，CD的点，所以MN为BCD的位线，所以MN/,因为面ABD,A正；

BD平面，所以∥平面故选项对于选项B：取AC的点，连接DO,

,作图如下：则

BO

,

DO

,由面垂直的判定知，

平面,所AC

,因MN/BD

,所

MN

,即面直线AC与MN所成的角为定值90，故选项正；对于选项借助极状态，当平面DAC与面重合时，三棱锥DABC接球即是以外接圆圆心为球心，外接圆的半径为球的半径，当二面角

DAC

逐渐变大时，球心离开平面，但是球心在底面的投影仍然是外接圆圆心，故二面角DAC

逐渐变小的过程中，三棱锥D外接球的半径不可能先变小后变大，故选项C错；对于选项过A

AH

,垂足为H若

ABC

为锐角，在段BC上；若

ABC为直角，H与B重；若钝角，H在段的延长线上；若存在某个位置，使得直线与线垂直，因为，以面AHD,由线面垂直的性质知

,若ABC为角，与B合，所以CBBD在中，因为CBCD,所以

BD

不可能成立，即

ABC

为直角不可能成立；若ABC

为钝角，H在线段BC的延长线上，则在原平面图菱形ABCD中，DCB

为锐角，由于立体图中

,所立体图中一比原平面图中更小，，所以为角，，故点H在段与线段BC的长线上矛盾因此ABC

不可能为钝角；综上可知，

ABC

的取值范围是

2

.故项正;故选：【点睛】本题考查异面垂直、线面平行与线面垂直的判定、多面体的外接球问题；考查空间想象能力和逻辑推理能力；借助极限状态和反证法思想的运用是求解本题的关键；属于综合型强、难度大型试.

2232237．如果一个棱锥的底面是正方形，且点在底面内的射影是底面的中心，那么这样的棱锥叫正四棱锥．若一正四棱锥的体积为18，该正四棱锥的侧面积最小时，以下结论正确的是（）A．棱的高与底边长的比为

B．棱与底面所成的角为

4C．锥的高与底面边长的比为【答案】【分析】

．棱与底面所成的角为

设四棱锥的为

h

，底面边长为a由

V

154ah得3a

，然后可得侧面积为

4

，运用导数可求出当a2时面积取得最小值，此时2

h

，然后求出棱锥的高与底面边长的比和【详解】

即可选出答案设四棱锥的为，面边长为

可得

V

154ah，h32a2a22所以其侧面积为4aa444a2令f

4

1082108，则faa2a

22令fa得a2a当a2当

2,时f

单调递增

AAAA此时所以当2时h

取得最小值，即四棱锥的侧面积最小所以棱锥的高与底面边长的比为，正，错误侧棱与底面所成的角为SAO，由，a2得

AO所以

4

，故B正，错故选：【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值，属于综合.8．如图，正三棱柱

AC11

中，

BCAB11

、点D为

中点，点E为边形BCC11

内（包含边界）的动点则以下结论正确的是（）A．

DA

12

B．

DE//

平面

ABBA1

，则动点E的迹的长度等于

C．面直线AD与BC，成角的余弦值为1

66．点E到面

ACC1

的距离等于

EB，则动点的迹为抛物线的一部分【答案】【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解，逐项判断，进而可得到本题答案【详解】解析：对于选项A，

BC误11对于选项B，过点D的平行线交1

AC于．1以D为标原点，DADB

分别为

,z

轴的正方向建立空间直角坐标系．

2222设棱柱底面边长为a，棱长为，A0

，

0a

B

,a

3aBCab,,22BCAB11

，11

，即

3a

2

，解得

．因为//平

ABB11

，则动点E的迹的长度等于

AC．选项B正确．对于选项C，选项的础上，

0a

D

，2C,a以,-a,

，因为

|||DA

，所以异面直线

BC,DA

所成角6的余弦值为，项C正确．6对于选项D，点E在底面ABC的影为E

，作E1F垂于AC，足为，若点E到平面

ACC1

的距离等于

3EB，有1FEB，因为在F

中，1F

1，，中等于点E到直线CC1距离，故点E满足抛物线的定义，另外点E为四边形物线的一部故D正.

BCC1

内（包含边界）的动点，所以动点E的迹为抛

1111故选：【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题，其中涉及到抛物线定义的应9．如图，

BC111

为正方体，下列结论中正确的是（）A．

AC平面D111B．BD面ACBC．BD与面11

所成角的正切值是．点与异直线AD与CB成角的直线有【答案】【分析】

条由直线与平面垂直的判定判断A与B；求解

1

与底面

BCC1

所成角的正切值判断C；用空间向量法可判断．【详解】对于选，如图在正方体

BD111

中，BB1

平面

A，C1

平面

A，则BBA111

，由于四边形

A为方形，则D1

，BB1

BB，此，C平面BBDD1111

，故正；对于选项，在正方体

BD111

中，1

平面

ABCD

，

平面

ABCD

，ACDD1

，因为四边形

ABCD

为正方形，所以，

ACBD

，1

，面

BBD1

，平面BB，BD，同理可得BDB11111

，AC

BC，1

平面ACB

，故正；对于C选，由

C

平面

BCC1

，得

BD1

为

1

与平面

BCC11

所成角，且

D2BD11BC21

，故C错误；对于D选，以点D为标原点，DA、DC、DD所直线分别为、z轴建立如1

下图所示的空间直角坐标系，设正方体的棱长，则

A

，

，

，设过点且与直线DA、所角的直线的方向向量为

m

，则

cosDAm

DADA

y

2

1

2

12

，cos,m1

11

12

12

，2整理可得2z

，消去并理得z

z，解得2或2，由已知可得

3

，所以，2，得y

，因此，过点与异面直线与成60角直线有2

条，D选正确故选：【点睛】方法点睛：证明线面垂直的方