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文档简介

高中数立体几何多题100附答案一、立几何多选题1.如图,在边长为4的正方形

ABCD

中,点、F分在边、BC

上(不含端点)且BE,将,

DCF

分别沿DE,DF折,使A、C两重合于点,则下列结论正确的有()A.

ADEF1B.BEBF

BC时三棱锥

ADEF1

的外接球体积为πC.

BF

时三棱锥DEF1

的体积为

2173.

BF

时点A平面DEF的距离为

17【答案】【分析】A选:证明

AD面AEF,EF

;B选项:当BF

BC

时,三棱锥

的条侧棱ADA,AF1

两两相互垂直,利用分隔补形法求三棱锥

EFD

的外接球体积;C选:利用等体积法三棱锥

的体积;D选项:利用等体积法求出点A到面DEF距离【详解】A选:

正方形

ABCD,DC由折叠的性质可知:

AD,AAF11又

AEA1EF1又

EF面EF,1ADEF1

;故正确B选项:当BF

BC

时,

EFEF21在

A1

中,

2AFEF211

,则

AE11

EFcosEDFEFcosEDF由选项可知,

AE,AF111

三棱锥

EFD

的三条侧棱

AD,AF1

两两相互垂直,把三棱锥

EFD

放置在长方体中,可得长方体的对角线长为22

,三棱锥

的外接球半径为6,积为

43

43

6

,故错C选:当

BE

14

时,

EF11在A中1

EF1

A2AF1

22

89

,sinEA

179则S

EF

111717EEAF229

EFD

DEF

13

11717D2故正;D选项:设点到面EFD的距离为h,2522在中7sin25

,则

S

17DEEDF2252V

EFD

13

DEF

1717323即h

4177故正确;故选:【点睛】方法点睛:求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面,例如三棱锥的三条侧棱两两垂直,我们就选择其中的一个侧面作为底面,另一条侧棱作为高来求体积.2.已知正方体

BC111

的棱长为

,点,在面

A

内,若

DF

,则()

EFEFA.点的迹是一个圆B.F的轨迹是一圆C.的最小值为2.AE平面BD所角的正弦值的最大值为

【答案】【分析】对于AB、、四选项,需要对各个选项一一验.选项A由AE

21

E5,1

AE1

,分析得的迹为圆;选项:DBF,而点F在

D1

上,即的轨迹为线段

D1

,;选项:由的轨迹为圆F的迹线段

D,可分析得EF|1min

;选项:建立空间直角坐标系,用向量法求最.【详解】对于AE

21

E5,1

2

2,以1

AE1

,即点E为面A内,以A为心半径为1的上;故A正;对于B:正体

BD111

中,ACBD,又

DF

,且BDDF=D,以

,所以点在

D1

上,即F的迹为线段

D1

,故错;对于在面

A

内,

到线D11

的距离为

当点

,落

C1

上时,

EF

2

;故C正确;对于D:建立如图示的坐标系,则

1因为点E为在面

A1

内,以

为圆心、半径为1的圆上,可设

E

所以

AE

设平面的向量nz,不妨令x=1则

,则有

nBDynAz设平面

BD

所成角为,:

2sin|cos4AE53当且仅当

4

时,sin有最大值

,故正确

故选:【点睛】多项选择题是2020年考新题型,要要对选项一一验证.3.如图所示,正三角形ABC中,,分为边,的中点,其中AB=,eq\o\ac(△,)沿着DE翻至'DE位置,使得二面角A'-DEB为60°,下列选项中正确的是()A.点A'到平面BCED的离为3B.线AD与线CE所的角的余弦值为C.D

.棱锥'-BCED的接球半径为

37【答案】【分析】作AM,交DE于延交于N,连A'N.利线面垂直的判定定理判定CD平利用面面垂直的判定定理与性质定理得到A'到面面BCED的A'H并根据二面角的平面角,在直角三角形中计算求得A'H的值,从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到就是直线与所的角,利用余弦定理计算即可判定B;利勾股定理检验可以否定先证明底面的外接圆的圆心为N在用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A'BCED的外接球的球心为O则ON平BCED,且经计算求解可得半径从而判定【详解】如图所示,作AMDE,交DE于M延交BC于N连,A'N.则DE,MNDEA'M∩MNM平面,又CD面ABDC平A'MN平,在平面A'MN中MN则A'H平BCED,二角A'B为60°,A'EF,正角形中=8,AN=4

,=2,=A'M,A正确;连接DN易DNDN=4,就直线A'D与CE所的角,DNDA'A'M=23

222222A'DN=

4

25,B正;2A'D=

A

BN

12

,

DBA与BD不垂直,故错’易得==NG,N为底面梯形BCED的外接圆的圆心,设四棱锥A'BCED的外接球的球心为O则ON平BCED且,若在面BCED上,入图所:设=,外球的半径为R,过作的垂线,垂足为P,则HPx,易4

2

2

R

2

,解得

x

23

,舍;故在面BCED下,如图所:设=,外球的半径为R,过作的垂线,垂足为P,则HPx,易

2

R,解

x

23

,

449

237,故正.3故选.

【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题,涉及二面角问题,异面直线所成的角,用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算,余弦定理等,属综合性较强的题目,关键是利用线面垂直,面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定,注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验.4.如图,在棱长为2的正方体

A11

,中,E为上的中点,F为1

上的点,且满足

AFA21

,点F,,E,,H为三B,E,的面

BMN与方体ABCDABC11

的棱的交点,则下列说法正确的是()A.

HF//

B.棱锥的体积

C.线

MN与面BA1

所成的角为

45

G:GC31【答案】【分析】面面平行性质定理可得出A正;等体积法求得B正;直线与面BA1

所成的角为

MN1

,求其正切值不等于1即得出C错;利用面面平行性质理和中位线求

11出

,GC1

长度即可得出D正.【详解】解:对于A.在方体

BD中平面//111

平面

C1

,又平面

ADAD11

平面BMN

,平面

C1

平面BE

,有平面与平面平行的性质定理可得HF//BE

,故正确;对于因

AFA2,以11

11

,又为上中点,所以

BN41

,所以

NBM

143

,故正确;对于由意图形可判定直线

MN与面BA所的为MN11

,结合选项可得

tanMN

NM

,故错误;对于同A选证明方法一样可证的

C//BM1

,因为为上的中点,为B上的中点,所以1

GC=1

2所以

G=1

,所以

G:GC311

,故正确故选:【点睛】求体积的常用方法:()接法:于规则的几何体,利用相关公式直接计算;()体积法选择合适的底面来求几何体体积,常用于求三棱锥的体积,即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换;()补法:先把不规则的几何体分割成规则的几何体,然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计.5.在直角梯形ABCD中

ABC

,BC,,为DC中点,现将ADE沿AE折起,得到一个四棱锥D,则下列命题正确的有()A.在ADE沿AE折的过程中,四棱锥D体积的最大值为

B.沿折的过程中,异面线AD与BC所成的角恒为

4C.AE折的过程中,二面角

AEC

的大小为

45.四棱锥

D

中,当D在EC上射影恰好为EC的点时,与面ABCE

ABCEABCEABCEABCE所成的角的正切为【答案】【分析】

对于A四棱锥

DABCE

的底面面积是固定值,要使得体积最大,需要平面面

,此时

,可求得

ABCE

S

可判断A;对于,在AE折的过程中,AE//BC

,所以异面直线AD与所成的角即为AD与所成角,由翻折前可知

可判断;于,利用面垂直的判定定理,结合翻折前可知⊥平面

,又平

,所以平面

平面

,即二面角

的在大小为

判断C;于,用线面垂直的判定定理可知DF面

,所以DBF为线与平面所的角,在直角DFB,tanDBF【详解】

DF15BF

,可判断正;对于AAE折得到四棱锥

D

,由四棱锥底面面积是固定值,要使得体积最大,需要四棱锥的高最大,即平面DAE面

,此时

,由已知得DE,

DABCE

,故正确;对于,ADE沿AE折起的过程中,

/

,所以异面直线AD与AE所的角即为与BC所角,又

BC

,2,E为DC中,可知

,即异面直线与BC所成的角恒为

4

,故B正确;对于,由翻折前,

AEECAE

,且

,则⊥平

,又AE面

,所以平面

平面

,即二面角

D

的大小为

,故C错误;对于,如图连接DF,BF,C选知,AE⊥平面,DF面,

22222AEDF,由已知得ECDF且EC

,则DF面,所以DBF直线与平面ABCE所成的角,在直角DFB,DFtan

22

CE1

22

352

155,以DB与面所成的角的正切为

,故D正;故选:【点睛】关键点睛:本题考查立体几何综合问题,求体积,求线线角,线面角,面面角,解题的关键要熟悉几种角的定义,通过平移法找到线线角,通过证垂直找到线面角和面面角,再结合三角形求出角,考查了学生的逻辑推理能力,转化能力与运算求解能力,属于难.6M,分为菱形的边,的点,将菱形沿对角线AC折,点不在平面ABC内则在翻折过程中,下列结论正确的有()A.

平面B.面直线与MN所的角为值C.二面角大

DAC

逐渐变小的过程中,三棱锥D接球的半径先变小后变.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直,则ABC

的取值范围是

2

【答案】【分析】利用线面平行的判定即可判断选项;利用线面垂直的判定求出异面直线AC与所的角即可判断选项B;借助极限状态,当平面

与平面

ABC

重合时,三棱锥DABC

外接球即是以

外接圆圆心为球心,外接圆的半径为球的半径,当二面角空间想象能力进行分析即可判断选项C;

DAC

逐渐变大时,利用过A作

AH

,垂为H,

ABC

为锐角、直角、钝角三种情况分别进行分析判断即

可判断选项D.【详解】对于选项A:因为,分为菱形的BC,CD的点,所以MN为BCD的位线,所以MN/,因为面ABD,A正;

BD平面,所以∥平面故选项对于选项B:取AC的点,连接DO,

,作图如下:则

BO

,

DO

,由面垂直的判定知,

平面,所AC

,因MN/BD

,所

MN

,即面直线AC与MN所成的角为定值90,故选项正;对于选项借助极状态,当平面DAC与面重合时,三棱锥DABC接球即是以外接圆圆心为球心,外接圆的半径为球的半径,当二面角

DAC

逐渐变大时,球心离开平面,但是球心在底面的投影仍然是外接圆圆心,故二面角DAC

逐渐变小的过程中,三棱锥D外接球的半径不可能先变小后变大,故选项C错;对于选项过A

AH

,垂足为H若

ABC

为锐角,在段BC上;若

ABC为直角,H与B重;若钝角,H在段的延长线上;若存在某个位置,使得直线与线垂直,因为,以面AHD,由线面垂直的性质知

,若ABC为角,与B合,所以CBBD在中,因为CBCD,所以

BD

不可能成立,即

ABC

为直角不可能成立;若ABC

为钝角,H在线段BC的延长线上,则在原平面图菱形ABCD中,DCB

为锐角,由于立体图中

,所立体图中一比原平面图中更小,,所以为角,,故点H在段与线段BC的长线上矛盾因此ABC

不可能为钝角;综上可知,

ABC

的取值范围是

2

.故项正;故选:【点睛】本题考查异面垂直、线面平行与线面垂直的判定、多面体的外接球问题;考查空间想象能力和逻辑推理能力;借助极限状态和反证法思想的运用是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试.

2232237.如果一个棱锥的底面是正方形,且点在底面内的射影是底面的中心,那么这样的棱锥叫正四棱锥.若一正四棱锥的体积为18,该正四棱锥的侧面积最小时,以下结论正确的是()A.棱的高与底边长的比为

B.棱与底面所成的角为

4C.锥的高与底面边长的比为【答案】【分析】

.棱与底面所成的角为

设四棱锥的为

h

,底面边长为a由

V

154ah得3a

,然后可得侧面积为

4

,运用导数可求出当a2时面积取得最小值,此时2

h

,然后求出棱锥的高与底面边长的比和【详解】

即可选出答案设四棱锥的为,面边长为

可得

V

154ah,h32a2a22所以其侧面积为4aa444a2令f

4

1082108,则faa2a

22令fa得a2a当a2当

2,时f

单调递增

AAAA此时所以当2时h

取得最小值,即四棱锥的侧面积最小所以棱锥的高与底面边长的比为,正,错误侧棱与底面所成的角为SAO,由,a2得

AO所以

4

,故B正,错故选:【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值,属于综合.8.如图,正三棱柱

AC11

中,

BCAB11

、点D为

中点,点E为边形BCC11

内(包含边界)的动点则以下结论正确的是()A.

DA

12

B.

DE//

平面

ABBA1

,则动点E的迹的长度等于

C.面直线AD与BC,成角的余弦值为1

66.点E到面

ACC1

的距离等于

EB,则动点的迹为抛物线的一部分【答案】【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解,逐项判断,进而可得到本题答案【详解】解析:对于选项A,

BC误11对于选项B,过点D的平行线交1

AC于.1以D为标原点,DADB

分别为

,z

轴的正方向建立空间直角坐标系.

2222设棱柱底面边长为a,棱长为,A0

0a

B

,a

3aBCab,,22BCAB11

,11

,即

3a

2

,解得

.因为//平

ABB11

,则动点E的迹的长度等于

AC.选项B正确.对于选项C,选项的础上,

0a

D

,2C,a以,-a,

,因为

|||DA

,所以异面直线

BC,DA

所成角6的余弦值为,项C正确.6对于选项D,点E在底面ABC的影为E

,作E1F垂于AC,足为,若点E到平面

ACC1

的距离等于

3EB,有1FEB,因为在F

中,1F

1,,中等于点E到直线CC1距离,故点E满足抛物线的定义,另外点E为四边形物线的一部故D正.

BCC1

内(包含边界)的动点,所以动点E的迹为抛

1111故选:【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题,其中涉及到抛物线定义的应9.如图,

BC111

为正方体,下列结论中正确的是()A.

AC平面D111B.BD面ACBC.BD与面11

所成角的正切值是.点与异直线AD与CB成角的直线有【答案】【分析】

条由直线与平面垂直的判定判断A与B;求解

1

与底面

BCC1

所成角的正切值判断C;用空间向量法可判断.【详解】对于选,如图在正方体

BD111

中,BB1

平面

A,C1

平面

A,则BBA111

,由于四边形

A为方形,则D1

,BB1

BB,此,C平面BBDD1111

,故正;对于选项,在正方体

BD111

中,1

平面

ABCD

平面

ABCD

,ACDD1

,因为四边形

ABCD

为正方形,所以,

ACBD

,1

,面

BBD1

,平面BB,BD,同理可得BDB11111

,AC

BC,1

平面ACB

,故正;对于C选,由

C

平面

BCC1

,得

BD1

1

与平面

BCC11

所成角,且

D2BD11BC21

,故C错误;对于D选,以点D为标原点,DA、DC、DD所直线分别为、z轴建立如1

下图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长,则

A

,设过点且与直线DA、所角的直线的方向向量为

m

,则

cosDAm

DADA

y

2

1

2

12

,cos,m1

11

12

12

,2整理可得2z

,消去并理得z

z,解得2或2,由已知可得

3

,所以,2,得y

,因此,过点与异面直线与成60角直线有2

条,D选正确故选:【点睛】方法点睛:证明线面垂直的方

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