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文档简介
高中数立体几何多题100附答案一、立几何多选题1.如图,在边长为4的正方形
ABCD
中,点、F分在边、BC
上(不含端点)且BE,将,
DCF
分别沿DE,DF折,使A、C两重合于点,则下列结论正确的有()A.
ADEF1B.BEBF
BC时三棱锥
ADEF1
的外接球体积为πC.
BF
时三棱锥DEF1
的体积为
2173.
BF
时点A平面DEF的距离为
17【答案】【分析】A选:证明
AD面AEF,EF
;B选项:当BF
BC
时,三棱锥
的条侧棱ADA,AF1
两两相互垂直,利用分隔补形法求三棱锥
EFD
的外接球体积;C选:利用等体积法三棱锥
的体积;D选项:利用等体积法求出点A到面DEF距离【详解】A选:
正方形
ABCD,DC由折叠的性质可知:
AD,AAF11又
AEA1EF1又
EF面EF,1ADEF1
;故正确B选项:当BF
BC
时,
EFEF21在
A1
中,
2AFEF211
,则
AE11
EFcosEDFEFcosEDF由选项可知,
AE,AF111
三棱锥
EFD
的三条侧棱
AD,AF1
两两相互垂直,把三棱锥
EFD
放置在长方体中,可得长方体的对角线长为22
,三棱锥
的外接球半径为6,积为
43
43
6
,故错C选:当
BE
14
时,
EF11在A中1
EF1
A2AF1
22
89
,sinEA
179则S
EF
111717EEAF229
EFD
DEF
13
11717D2故正;D选项:设点到面EFD的距离为h,2522在中7sin25
,则
S
17DEEDF2252V
EFD
13
DEF
1717323即h
4177故正确;故选:【点睛】方法点睛:求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面,例如三棱锥的三条侧棱两两垂直,我们就选择其中的一个侧面作为底面,另一条侧棱作为高来求体积.2.已知正方体
BC111
的棱长为
,点,在面
A
内,若
,
DF
,则()
EFEFA.点的迹是一个圆B.F的轨迹是一圆C.的最小值为2.AE平面BD所角的正弦值的最大值为
【答案】【分析】对于AB、、四选项,需要对各个选项一一验.选项A由AE
21
E5,1
AE1
,分析得的迹为圆;选项:DBF,而点F在
D1
上,即的轨迹为线段
D1
,;选项:由的轨迹为圆F的迹线段
D,可分析得EF|1min
;选项:建立空间直角坐标系,用向量法求最.【详解】对于AE
21
E5,1
2
2,以1
AE1
,即点E为面A内,以A为心半径为1的上;故A正;对于B:正体
BD111
中,ACBD,又
DF
,且BDDF=D,以
,所以点在
D1
上,即F的迹为线段
D1
,故错;对于在面
A
内,
到线D11
的距离为
当点
,落
C1
上时,
EF
2
;故C正确;对于D:建立如图示的坐标系,则
1因为点E为在面
A1
内,以
为圆心、半径为1的圆上,可设
E
所以
AE
设平面的向量nz,不妨令x=1则
,则有
nBDynAz设平面
BD
所成角为,:
2sin|cos4AE53当且仅当
4
时,sin有最大值
,故正确
故选:【点睛】多项选择题是2020年考新题型,要要对选项一一验证.3.如图所示,正三角形ABC中,,分为边,的中点,其中AB=,eq\o\ac(△,)沿着DE翻至'DE位置,使得二面角A'-DEB为60°,下列选项中正确的是()A.点A'到平面BCED的离为3B.线AD与线CE所的角的余弦值为C.D
.棱锥'-BCED的接球半径为
37【答案】【分析】作AM,交DE于延交于N,连A'N.利线面垂直的判定定理判定CD平利用面面垂直的判定定理与性质定理得到A'到面面BCED的A'H并根据二面角的平面角,在直角三角形中计算求得A'H的值,从而判定A;根据异面直线所成角的定义找到就是直线与所的角,利用余弦定理计算即可判定B;利勾股定理检验可以否定先证明底面的外接圆的圆心为N在用外接球的球心的性质进行得到四棱锥A'BCED的外接球的球心为O则ON平BCED,且经计算求解可得半径从而判定【详解】如图所示,作AMDE,交DE于M延交BC于N连,A'N.则DE,MNDEA'M∩MNM平面,又CD面ABDC平A'MN平,在平面A'MN中MN则A'H平BCED,二角A'B为60°,A'EF,正角形中=8,AN=4
,=2,=A'M,A正确;连接DN易DNDN=4,就直线A'D与CE所的角,DNDA'A'M=23
222222A'DN=
4
25,B正;2A'D=
A
BN
12
,
DBA与BD不垂直,故错’易得==NG,N为底面梯形BCED的外接圆的圆心,设四棱锥A'BCED的外接球的球心为O则ON平BCED且,若在面BCED上,入图所:设=,外球的半径为R,过作的垂线,垂足为P,则HPx,易4
2
2
R
2
,解得
x
23
,舍;故在面BCED下,如图所:设=,外球的半径为R,过作的垂线,垂足为P,则HPx,易
2
R,解
x
23
,
449
237,故正.3故选.
【点睛】本题考查立体几何中的折叠问题,涉及二面角问题,异面直线所成的角,用到线面、面面垂直的判定与性质及外接球的球心的性质和有关计算,余弦定理等,属综合性较强的题目,关键是利用线面垂直,面面垂直的判定和性质进行空间关系和结构的判定,注意球心在四棱锥的底面上方和下方的讨论与验.4.如图,在棱长为2的正方体
A11
,中,E为上的中点,F为1
上的点,且满足
AFA21
,点F,,E,,H为三B,E,的面
BMN与方体ABCDABC11
的棱的交点,则下列说法正确的是()A.
HF//
B.棱锥的体积
C.线
MN与面BA1
所成的角为
45
.
G:GC31【答案】【分析】面面平行性质定理可得出A正;等体积法求得B正;直线与面BA1
所成的角为
MN1
,求其正切值不等于1即得出C错;利用面面平行性质理和中位线求
11出
,GC1
长度即可得出D正.【详解】解:对于A.在方体
BD中平面//111
平面
C1
,又平面
ADAD11
平面BMN
,平面
C1
平面BE
,有平面与平面平行的性质定理可得HF//BE
,故正确;对于因
AFA2,以11
11
,又为上中点,所以
BN41
,所以
NBM
143
,故正确;对于由意图形可判定直线
MN与面BA所的为MN11
,结合选项可得
tanMN
NM
,故错误;对于同A选证明方法一样可证的
C//BM1
,因为为上的中点,为B上的中点,所以1
GC=1
2所以
G=1
,所以
G:GC311
,故正确故选:【点睛】求体积的常用方法:()接法:于规则的几何体,利用相关公式直接计算;()体积法选择合适的底面来求几何体体积,常用于求三棱锥的体积,即利用三棱锥的任一个面可作为三棱锥的底面进行等体积变换;()补法:先把不规则的几何体分割成规则的几何体,然后进行体积计算;或者把不规则的几何体补成规则的几何体,不熟悉的几何体补成熟悉的几何体,便于计.5.在直角梯形ABCD中
ABC
,BC,,为DC中点,现将ADE沿AE折起,得到一个四棱锥D,则下列命题正确的有()A.在ADE沿AE折的过程中,四棱锥D体积的最大值为
B.沿折的过程中,异面线AD与BC所成的角恒为
4C.AE折的过程中,二面角
AEC
的大小为
45.四棱锥
D
中,当D在EC上射影恰好为EC的点时,与面ABCE
ABCEABCEABCEABCE所成的角的正切为【答案】【分析】
对于A四棱锥
DABCE
的底面面积是固定值,要使得体积最大,需要平面面
,此时
,可求得
ABCE
S
可判断A;对于,在AE折的过程中,AE//BC
,所以异面直线AD与所成的角即为AD与所成角,由翻折前可知
可判断;于,利用面垂直的判定定理,结合翻折前可知⊥平面
,又平
,所以平面
平面
,即二面角
的在大小为
判断C;于,用线面垂直的判定定理可知DF面
,所以DBF为线与平面所的角,在直角DFB,tanDBF【详解】
DF15BF
,可判断正;对于AAE折得到四棱锥
D
,由四棱锥底面面积是固定值,要使得体积最大,需要四棱锥的高最大,即平面DAE面
,此时
,由已知得DE,
DABCE
,故正确;对于,ADE沿AE折起的过程中,
/
,所以异面直线AD与AE所的角即为与BC所角,又
BC
,2,E为DC中,可知
,即异面直线与BC所成的角恒为
4
,故B正确;对于,由翻折前,
AEECAE
,且
,则⊥平
,又AE面
,所以平面
平面
,即二面角
D
的大小为
,故C错误;对于,如图连接DF,BF,C选知,AE⊥平面,DF面,
22222AEDF,由已知得ECDF且EC
,则DF面,所以DBF直线与平面ABCE所成的角,在直角DFB,DFtan
22
CE1
22
352
155,以DB与面所成的角的正切为
,故D正;故选:【点睛】关键点睛:本题考查立体几何综合问题,求体积,求线线角,线面角,面面角,解题的关键要熟悉几种角的定义,通过平移法找到线线角,通过证垂直找到线面角和面面角,再结合三角形求出角,考查了学生的逻辑推理能力,转化能力与运算求解能力,属于难.6M,分为菱形的边,的点,将菱形沿对角线AC折,点不在平面ABC内则在翻折过程中,下列结论正确的有()A.
∥
平面B.面直线与MN所的角为值C.二面角大
DAC
逐渐变小的过程中,三棱锥D接球的半径先变小后变.存在某个位置,使得直线AD与直线BC垂直,则ABC
的取值范围是
2
【答案】【分析】利用线面平行的判定即可判断选项;利用线面垂直的判定求出异面直线AC与所的角即可判断选项B;借助极限状态,当平面
与平面
ABC
重合时,三棱锥DABC
外接球即是以
外接圆圆心为球心,外接圆的半径为球的半径,当二面角空间想象能力进行分析即可判断选项C;
DAC
逐渐变大时,利用过A作
AH
,垂为H,
ABC
为锐角、直角、钝角三种情况分别进行分析判断即
可判断选项D.【详解】对于选项A:因为,分为菱形的BC,CD的点,所以MN为BCD的位线,所以MN/,因为面ABD,A正;
BD平面,所以∥平面故选项对于选项B:取AC的点,连接DO,
,作图如下:则
BO
,
DO
,由面垂直的判定知,
平面,所AC
,因MN/BD
,所
MN
,即面直线AC与MN所成的角为定值90,故选项正;对于选项借助极状态,当平面DAC与面重合时,三棱锥DABC接球即是以外接圆圆心为球心,外接圆的半径为球的半径,当二面角
DAC
逐渐变大时,球心离开平面,但是球心在底面的投影仍然是外接圆圆心,故二面角DAC
逐渐变小的过程中,三棱锥D外接球的半径不可能先变小后变大,故选项C错;对于选项过A
AH
,垂足为H若
ABC
为锐角,在段BC上;若
ABC为直角,H与B重;若钝角,H在段的延长线上;若存在某个位置,使得直线与线垂直,因为,以面AHD,由线面垂直的性质知
,若ABC为角,与B合,所以CBBD在中,因为CBCD,所以
BD
不可能成立,即
ABC
为直角不可能成立;若ABC
为钝角,H在线段BC的延长线上,则在原平面图菱形ABCD中,DCB
为锐角,由于立体图中
,所立体图中一比原平面图中更小,,所以为角,,故点H在段与线段BC的长线上矛盾因此ABC
不可能为钝角;综上可知,
ABC
的取值范围是
2
.故项正;故选:【点睛】本题考查异面垂直、线面平行与线面垂直的判定、多面体的外接球问题;考查空间想象能力和逻辑推理能力;借助极限状态和反证法思想的运用是求解本题的关键;属于综合型强、难度大型试.
2232237.如果一个棱锥的底面是正方形,且点在底面内的射影是底面的中心,那么这样的棱锥叫正四棱锥.若一正四棱锥的体积为18,该正四棱锥的侧面积最小时,以下结论正确的是()A.棱的高与底边长的比为
B.棱与底面所成的角为
4C.锥的高与底面边长的比为【答案】【分析】
.棱与底面所成的角为
设四棱锥的为
h
,底面边长为a由
V
154ah得3a
,然后可得侧面积为
4
,运用导数可求出当a2时面积取得最小值,此时2
h
,然后求出棱锥的高与底面边长的比和【详解】
即可选出答案设四棱锥的为,面边长为
可得
V
154ah,h32a2a22所以其侧面积为4aa444a2令f
4
1082108,则faa2a
22令fa得a2a当a2当
2,时f
单调递增
AAAA此时所以当2时h
取得最小值,即四棱锥的侧面积最小所以棱锥的高与底面边长的比为,正,错误侧棱与底面所成的角为SAO,由,a2得
AO所以
4
,故B正,错故选:【点睛】本题考查的知识点有空间几何体的体积和表面积、线面角及利用导数求最值,属于综合.8.如图,正三棱柱
AC11
中,
BCAB11
、点D为
中点,点E为边形BCC11
内(包含边界)的动点则以下结论正确的是()A.
DA
12
B.
DE//
平面
ABBA1
,则动点E的迹的长度等于
C.面直线AD与BC,成角的余弦值为1
66.点E到面
ACC1
的距离等于
EB,则动点的迹为抛物线的一部分【答案】【分析】根据空间向量的加减法运算以及通过建立空间直角坐标系求解,逐项判断,进而可得到本题答案【详解】解析:对于选项A,
BC误11对于选项B,过点D的平行线交1
AC于.1以D为标原点,DADB
分别为
,z
轴的正方向建立空间直角坐标系.
2222设棱柱底面边长为a,棱长为,A0
,
0a
B
,a
3aBCab,,22BCAB11
,11
,即
3a
2
,解得
.因为//平
ABB11
,则动点E的迹的长度等于
AC.选项B正确.对于选项C,选项的础上,
0a
D
,2C,a以,-a,
,因为
|||DA
,所以异面直线
BC,DA
所成角6的余弦值为,项C正确.6对于选项D,点E在底面ABC的影为E
,作E1F垂于AC,足为,若点E到平面
ACC1
的距离等于
3EB,有1FEB,因为在F
中,1F
1,,中等于点E到直线CC1距离,故点E满足抛物线的定义,另外点E为四边形物线的一部故D正.
BCC1
内(包含边界)的动点,所以动点E的迹为抛
1111故选:【点睛】本题主要考查立体几何与空间向量的综合应用问题,其中涉及到抛物线定义的应9.如图,
BC111
为正方体,下列结论中正确的是()A.
AC平面D111B.BD面ACBC.BD与面11
所成角的正切值是.点与异直线AD与CB成角的直线有【答案】【分析】
条由直线与平面垂直的判定判断A与B;求解
1
与底面
BCC1
所成角的正切值判断C;用空间向量法可判断.【详解】对于选,如图在正方体
BD111
中,BB1
平面
A,C1
平面
A,则BBA111
,由于四边形
A为方形,则D1
,BB1
BB,此,C平面BBDD1111
,故正;对于选项,在正方体
BD111
中,1
平面
ABCD
,
平面
ABCD
,ACDD1
,因为四边形
ABCD
为正方形,所以,
ACBD
,1
,面
BBD1
,平面BB,BD,同理可得BDB11111
,AC
BC,1
平面ACB
,故正;对于C选,由
C
平面
BCC1
,得
BD1
为
1
与平面
BCC11
所成角,且
D2BD11BC21
,故C错误;对于D选,以点D为标原点,DA、DC、DD所直线分别为、z轴建立如1
下图所示的空间直角坐标系,设正方体的棱长,则
A
,
,
,设过点且与直线DA、所角的直线的方向向量为
m
,则
cosDAm
DADA
y
2
1
2
12
,cos,m1
11
12
12
,2整理可得2z
,消去并理得z
z,解得2或2,由已知可得
3
,所以,2,得y
,因此,过点与异面直线与成60角直线有2
条,D选正确故选:【点睛】方法点睛:证明线面垂直的方
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