第二讲-光线的传播与高斯光束

第二讲_光线的传播与高斯光束第一页，共六十三页，2022年，8月28日La光线通过各种光学媒质传播的问题激光在光学媒质中的传输特性第二页，共六十三页，2022年，8月28日§2.1光线的传播研究激光在光学媒质中的传输特性一.光线矩阵讨论近轴（傍轴）光线规定：朝上为正、下为负指向上方为正、下方为负符号规则第三页，共六十三页，2022年，8月28日1.通过厚度为L的均匀介质第四页，共六十三页，2022年，8月28日2.通过不同介质的介面（平面）第五页，共六十三页，2022年，8月28日3.通过焦距为f的薄透镜f>0，相对于凸透镜f<0，相对于凹透镜第六页，共六十三页，2022年，8月28日4.通过球面反射镜（1）R>0,凹面反射镜（2）R<0,凸面反射镜（3）R趋于无穷,单位矩阵一个曲率半径为R的球面反射镜对光线的作用相当于一个焦距f=R/2的薄透镜第七页，共六十三页，2022年，8月28日5.球面介面第八页，共六十三页，2022年，8月28日二.光线通过双周期透镜波导序列由焦距为f1和f2的透镜相距间隔为d，周期性排列而成现实意义：等效为高斯光束（激光）在焦距为f1和f2的两反射镜组成的光学谐振腔中的传输f1f2SS+1MNf1d第九页，共六十三页，2022年，8月28日因此：同样的：N——S+1因此，平面S与S+1之间的光线参数关系有：当光线通过复杂光学系统时，光线矩阵为各个光学元件光线矩阵相乘，乘法的顺序与光线传播的方向相反第十页，共六十三页，2022年，8月28日由递推关系：该式为一个决定光线穿过透镜波导的演进情形的差分方程第十一页，共六十三页，2022年，8月28日解此差分方程得：方程的通解即为以上两个解的线性叠加，也可写为，讨论：（1），为实角，光线在该透镜序列中传播时是稳定的（2），光线在该透镜序列中传播时是不稳定的第十二页，共六十三页，2022年，8月28日三、相同透镜波导（f1＝f2）：第十三页，共六十三页，2022年，8月28日四、光线在反射镜之间的传播：dR2R1zXnOXn+1YnYn+1第十四页，共六十三页，2022年，8月28日掌握：1、光线矩阵的分析方法2、几种典型光学元件的光线矩阵3、复杂光学系统的光线矩阵4、双周期透镜波导的定义和物理意义5、双周期透镜波导的稳定性条件6、光纤在两反射镜之间传播的稳定性条件第十五页，共六十三页，2022年，8月28日五、光线在类透镜介质中的传播1.薄透镜的聚焦机理ABrCfOz离轴距离为r的相位提前量为经过透镜后的光场平面波，经过薄透镜，产生一个与离轴距离r2成正比的相位提前量，补偿了到达焦点几何路径的不同所引起的相位不同滞后量，到达焦点时间、相位相同，实现聚焦第十六页，共六十三页，2022年，8月28日2.类透镜介质轴线上的折射率轴线上的波数与介质有关的常数（与工作状态也有关系）定义：某种介质折射率满足研究类透镜介质的实际意义？第十七页，共六十三页，2022年，8月28日3.光线在均匀和非均匀各向同性介质中的传播——程函方程（几何光学中的基本方程）光线的传播方向，就是变化最快的方向

在讨论光线和几何光学的强度时，可以推导出：光线的微分方程（光线方程）为空间位置矢量，为光线传播方向第十八页，共六十三页，2022年，8月28日（2）非均匀介质，必须采用光线方程进行分析（1）均匀介质解方程得：上式代表一个矢量直线方程，即直线沿着a的方向并通过b点，因此，在均匀同性介质中，光线是直线传播的第十九页，共六十三页，2022年，8月28日4、在类透镜介质中的传播考虑近轴光线在二次折射率介质（或类透镜介质）中，折射率没有轴向分布，仅有径向分布第二十页，共六十三页，2022年，8月28日光线在x方向和y方向的变化是相同的X,y都是独立变量第二十一页，共六十三页，2022年，8月28日为了简化，可以取y－z平面上的光线讨论，并以r代替y——近轴光线的微分方程1)K2>0第二十二页，共六十三页，2022年，8月28日此时的光线矩阵结论：二次变折射率介质，对光线传播的作用相当于透镜一样，使光线改变方向在介质中传播的光线在和之间振荡第二十三页，共六十三页，2022年，8月28日a,K2<0z增加，r(z)增加，因而具有发散性，起到负透镜的作用思考：1、K2＝0的情况；2、k2>0时对光线起到汇聚的作用，推导聚焦点的位置；3、比较光线在透镜波导和在二次折射率介质中，其传播问题的处理方法及结果的异同。第二十四页，共六十三页，2022年，8月28日§2.2光束在均匀介质中的传输目的：从二次折射率介质中的波动方程出发，推导出激光的特征光束形式——高斯光束，并讨论其传输特性。（包括腔内、腔外、各种光学元件）一、二次折射率介质中的波动方程1、在各项同性、无电荷的介质中，麦克斯韦方程组如下：第二十五页，共六十三页，2022年，8月28日设折射率n（x，y）的空间分布之变化很小（缓慢变化）分离变量关于传播常数K的讨论（1）在激光中，如果考虑到介质中可能存在光的增益或吸收，我们将K取做复数形式（2）K(r)具有以下函数规律第二十六页，共六十三页，2022年，8月28日设为z向传播的电磁波，其横向分布仅与r有关取具有下面的形式，并代入波动方程：2、二次折射率介质的波动方程之解近似的平面波是对平面波的修正函数，包括振幅修正和相位修正第二十七页，共六十三页，2022年，8月28日如果方程对任何r都成立，则系数均为0这就是二次折射率介质中的简化形式的波动方程，亦即激光介质中的波动方程。第二十八页，共六十三页，2022年，8月28日二.均匀介质中的基本高斯光束K2＝0引入中间函数S，令第二十九页，共六十三页，2022年，8月28日当选择了为纯虚数时，就可以导出物理上有意义的波，这种波的能量集中在z轴附近。设为纯虚数，并引入一个新的常数第三十页，共六十三页，2022年，8月28日基本高斯光束解只考虑了随r作变化的横向分布，不考虑更为复杂的与方位角有关的解轴线上的波数第三十一页，共六十三页，2022年，8月28日基模高斯光束特性(1)场的振幅分布在z截面上，振幅是按照高斯函数的规律变化，在轴线上有最大值。定义：在光束截面内，振幅下降到中心的1/e时，离轴的距离r为该处的光斑尺寸或光斑半径，因此即为z截面上的光斑半径。第三十二页，共六十三页，2022年，8月28日光斑最小的位置为束腰，其尺寸为第三十三页，共六十三页，2022年，8月28日(2)场的相位分布基模高斯光束的等相位面的曲率半径为当时，当时，有极小值，该极小值为当时，高斯光束的波面才能看成是中心位于原点的球面第三十四页，共六十三页，2022年，8月28日1.远场发散角(全角)定义为双曲线的两根渐近线之间的夹角(3)高斯光束的远场发散角第三十五页，共六十三页，2022年，8月28日三、高斯光束的变换－ABCD法则1、类透镜介质中的基本高斯光束

同样引入中间函数S，代入第三十六页，共六十三页，2022年，8月28日取为纯虚数，那么可以取下面的形式表明了初始值与z处的光束参数之间的关系

称为复数光束半径

第三十七页，共六十三页，2022年，8月28日与类透镜介质的光线矩阵进行比较按照光线矩阵的规则上式就是高斯光束q参数的变换法则（ABCD法则），对于其他光学元件的光线矩阵，可以看作类透镜光线矩阵的特殊情况。1、ABCD法则不同于矩阵乘法2、高斯光束变换后仍是高斯光束3、可推广到各种光学元件2、ABCD法则

由决定了光束的光斑尺寸和波前的曲率半径，也就决定了整个高斯光束的模式，所以其变换法则代表高斯光束的变换法则第三十八页，共六十三页，2022年，8月28日应用举例1：高斯光束通过薄透镜fq1q2（1）薄透镜的光线矩阵是（2）应用ABCD法则第三十九页，共六十三页，2022年，8月28日由于代入第四十页，共六十三页，2022年，8月28日应用举例2：高斯光束依次通过两个光学元件第四十一页，共六十三页，2022年，8月28日ABCD法则最大功效是当高斯光束通过成像系统的复杂序列后，能够很快的找出高斯光束的束参数。第四十二页，共六十三页，2022年，8月28日三、高斯光束在透镜波导中的传输1、透镜波导中的变换矩阵光线通过双周期透镜波导单元的光线矩阵为（ABCD），那么经过S个周期后，联系S＋1面和第1面的光线矩阵是经过数学归纳法，可得到第四十三页，共六十三页，2022年，8月28日2、光束参数变换法则3、高斯光束通过透镜序列的稳定性条件要得到有有限解，必须为实数，也就是实际意义：ABCD法则是激光束在谐振腔两个反射镜之间往返S次的光束参数变换法则第四十四页，共六十三页，2022年，8月28日四、均匀介质中传播的高阶高斯光束如果考虑方位角的变化代入波动方程，分离变量后解得：第四十五页，共六十三页，2022年，8月28日其解为厄米多项式所以总的解为仍为基本高斯光束解本征值第四十六页，共六十三页，2022年，8月28日那么电场的横向变化模式：在激光中，将光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态称为腔的模式横模：光场横向的稳定分布，以TEM表示纵模：光场纵向的稳定分布（沿着光的传播方向）第四十七页，共六十三页，2022年，8月28日§2.3高斯光束的变换一、高斯光束的基本性质1、基模高斯光束式中的重要参数：第四十八页，共六十三页，2022年，8月28日2、高斯光束在自由空间的传输a.基模高斯光束在横截面内的振幅分布按照高斯分布由振幅降落到中心值1/e处所定义的光斑半径为光斑半径随坐标z按照双曲线规律扩展第四十九页，共六十三页，2022年，8月28日b.基模高斯光束的相移描述高斯光束在点(x,y,z)处相对于原点(0,0,0)处的相位滞后。其中，kz描述几何相移，描述高斯光束在空间行进距离z时相对几何相移的附加相位超前，高斯光束的等相位面是以R为半径的球面。

第五十页，共六十三页，2022年，8月28日c.远场发散角高斯光束在其传输轴线附近可近似看做是一种非均匀球面波。其曲率中心随着传输过程而不断改变，但其振幅和强度在横截面内始终保持高斯分布特性，且其等相位面始终保持为球面。第五十一页，共六十三页，2022年，8月28日3.高斯光束的特征参数a.用参数及束腰位置来表征第五十二页，共六十三页，2022年，8月28日c.用q参数来表征b.用参数来表征第五十三页，共六十三页，2022年，8月28日球面波通过薄透镜的变换高斯光束通过薄透镜的变换二、高斯光束通过薄透镜时的变换第五十四页，共六十三页，2022年，8月28日（1）写出光线矩阵（2）应用ABCD法则第五十五页，共六十三页，2022年，8月28日三、高斯光束的聚焦第五十六页，共六十三页，2022年，8月28日三、高斯光束的聚焦可见，不论l多大，只要满足条件，就能实现一定的聚焦作用。第五十七页，共六十三页，2022年，8月28日三、高斯光束的聚焦第五十八页，共六十三页，2022年，8月28日四、高斯光束的准直1.高斯光束的准直：改善光束的方向性，压缩光束的发散角。2.可以看出，增大出射光束的腰粗就可以缩小光束的发散角。3.选用