等比数列知识点总结与典型例题

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1n等比数知识点总结典型例1n、等比数列的定义：nqn

*

q称为公比、通项公式：aqn

a1nAA，首项；公比q推广anm

n

n

anam、等比中项：（1）如a,b成比数列，那么A叫a的等差中项，即：注意：同号的两个数才有等比中项，并且它们的等比中项有个（

A（2）数列a是等比数aan

、等比数列的前n项和S公式：（1）qSnan（2）时n

a11

n

an1

a11q11

n

n

'B

n

'（B,',B'为常数）、等比数列的判定方法（1）用定义：对任意，都或nq(q为常数a{}为等比数列nnnn（2）等比中项(ann

{}为等比数列n（3）通项公式}为等比数列、等比数列的证明方法依据定义：若n

*

aqa{}为等比数列nnn、等比数列的性质：（2）对任m,N

*

，在等比数{}中，qnm

。（3）m(m,n,stN

*

，特别的，当，得nta

注：aa1n2

n

a3

等差数列

等差和比数列比较等比数列

*22nn2644*22nn2644

a

d

aa

(0)递推公式

aa

aa

；

q

通项公式

aa1

1

（

,q

）中项

a

n

2

n

（

nN,0

）

Ga(nnN*,k0）项和

nSan1n(Sn

d

(q1Sq111

(2)重要

aamp

q

q性质

(m,pq*mpq)经典例透析

(mn,p,N*,np)类型一等比数列的项公式例1．比数{}中a,a求a.n93711思路点：由等比数列通项公式，通过已知条件可列出关于q的元方程组，解a11，可得；或注意到下标1可以利用性质可求，再a.113解析：法一：此数列公比q，则

8111

20

由(2)得：a

(1

)..........(3)∴

.1由(1)得(aq)64,∴1(3)÷(4)得：

1420，q∴

2

4

2

0,解q

2

q

12

2

时，a1

10

64q2

12

时aa1111法二：64,1337

332n1961651956nn1444546n451221332n1961651956nn1444546n4512213

x的两实数根，∴或a7∵

2a,∴a33

a64.11总结升：①方程（组）求解是等比数列的基本方法，同时利用性质可以减少计算量；解题过程中具体求解时，要设法降次消元，常常整体代入以达降次目的，故较多变形要用除法（除式不为零）举一反：【变式1{a}为等比数列，a=3a=768，a。【答案±96法一：公比为q则768=aq8

，

=256，∴q=±2∴a=±96；法二：2aa=±48q=±2，∴a=±96。【变式2{a}为等比数列，a＞0且aa=16，求aa的值。【答案64∵

aa89

16，又a＞0∴a=4∴

a44

345

64【变式3已知等比数{}，7a，a。n2323n【答案

n

3

；法一：3

，∴

，2从而

11

解aa113当时；时1

12

。a

或n

3

。法二：由等比数列的定义aqaa21

2代入已知得

1)7,)7,(2)

2q

代入（1得2q，

a1nn369316191136936913131n12335121a1nn369316191136936913131n12335121或1－915－1

124由（2）1或1，以下同方法一。类型二等比数列的n项和公式例2．等比数列{a}的前n项和为S，若S+S=2S，求数列的公比q.解析：q=1，则有S=3a，S=6a，S=9a.因a≠0得S+S≠2S，显然q=1与题设矛盾，故q≠1.3)(16)a9)由得，111

，整理得q3

(2q

6

3-1)=0，由q≠0，得2q6

-q3

-1=0，从而2q3

+1)(q

3-1)=0，因q3

≠1q

1，所2

。举一反：1【变式1求等比数列1,,,39364【答案；243

的前6项和。∵

1aq3∴

S

13

364243

。【变式2已知：{a为等比数列，aa=27S=13，求S.【答案121或；9∵

a)1aa，q13

，则a

1

=1或a=9∴

5

151

1或＝＝193

.【变式3在等比数{}66n1n

n

128S，n。n【答案

12

或2n；

n1n112123123123985051n1n11212312312398505111444215134n15

a2

n

a∴a1281解方程组

aa128641，得a66a1n

或

a1an①

a641a2n

aq代S1，，1an

n

，解；aq②代n，得a1nan，解得。n∴

1q或2。2类型三等比数列的质例等比数列{}，alog.n6333解析：∵{}是等比数列，aaaan11093847∴

loglogaloga(33102

a)(356

log

举一反：【变式1正项等比数{}中，若a·a=100;lga+lga+……+lga=_____________.n【答案100；∵lga

+lga+lga+……+lga=lg(a·a·a·……·a)而a·a=a·a=a·a=……=a·a∴原式=lg(a

·a)50

=50lg(a·a)=50×lg100=100。827【变式2在和之间插入三个数，使这五个数成等比数列，则插入的三个数的乘积为3________。【答案216；法一：这个等比数列为{}，其公比，n∵

827819a∴q323164∴

qq23

2

q1

3

1

6

3

3

3

216。827法二：这个等比数列为{}，公比，则aa，3加入的三项分别，，23

312n3112n212n3312n3112n212n31n123332n3n48845678423441234444n30由题a也成等比数列，∴a36，a133∴

224

333

。类型四等比数列前n项和公式性质例4．等比数{}中，已48，n

2n

，S。3n思路点：等差数列中也有类似的题目，我们仍然采用等差数列的解决办法，即等比数列中前k项和，第2个k项和，第3个k项和，……，第n个k项和仍然成等比数列。解析：法一：b=S=48,=S-S=60-48=12，=S-S观察b=a+a+……+a,b=a+a+……+a=q(a+a+……+a)，b=a+a+……+a2n(a+a+……+a)22易知b,b,b成等比数列，2，1∴S

=b+S=3+60=63.法二：S，∴，2nn由已知得

(1)11a(1)1601

②÷①得1

5，即q4

③a③入①得64，1∴

)S)63。法三：{}为等比数列，，，也成等比数列，n2nn2∴

()2()，2nnn∴

S3

()2Sn

2

2

2

63。举一反：【变式1等比数{}中，公比q=2,S=1,S=___________.n【答案17S=S+a+a+a+a=S+aq4q+aq4q4=S+q4(a+a+a+a)=S+q4S=S(1+q

4

)=1×(1+2

4

)=17【变式2已知等比数{}的前n项和为S,且S=10,S=40,求：S=n

102020201030301020101(5)(133)nnnnn111102020201030301020101(5)(133)nnnnn111234561121234136112335123456789n456123789456法一：，S-S，S-S构成等比数列，∴(S-S)2=S·(S-S)即302=10(S-40),∴S=130.法二：2S≠S，∴q,∵

S

)

(1,1

40,∴,20

,

a1

∴

S

)

.【变式3等比数{}的项都是正数，若S=80,S=6560，前n项中最大的一项为54，求nn.S80【答案∵n，∴q否则n)S65602n2∴

)S

=80S

2n

(12)，(2)÷(1)得：1+q=82,qn∵该数列各项为正数，∴由(3)知q>1∴{a}为递增数列∴a为最大项54.∴a

=aq=54,∴aqn=54q,∴81a

1

∴

542aqq入(1)得(180(1，813∴q=3,∴n=4.【变式4等比数{}中，若a+a=324,a+a=36,a+a=_____________.n【答案4；令b=a+a=a(1+q)，b=a+a=aq2

(1+q),b=a+a=aq

(1+q),易知：b,b,b成等比数列，∴b=2==4,a+a=4.【变式5等比数{}中，若a+a+a=7,a+a+a=56,求a+a+a的值。n【答案448；∵{a}是等比数列∴(a+a+a)=(a+a+a)q3∴q3=8,∴a

+a+a=(a+a+a)q=56×8=448.

226338例5已知三个数成等比数列，若前两项不变，第三项减去32，则成等差数列若再将此等差数列的第二项减去4则又成等比数列.求原来的三个数.226338思路点：恰当地设元是顺利解方程组的提.考虑到有三个数，应尽量设较少的未知数，并将其设为整式形式解析：法一：成等差数列的三数为a,a+d.则a-d,a,a+d+32成等比数列，a-4,a+d成等比数列∴

)(a2a)(a)..........(2)d2由(2)得a=8由(1)得32a=d2+32d8(3)代(4)消，解d或3∴当

826d时,；当d=8时,a=103∴原来三个数为

226338,,或2,10,50.99法二：原来三个数为a,aq,aq2∴2a(aq

，则a,aq,aq

-32成等差数列，a,aq-4,aq2-32成等比数列由(2)得a

2q

，代入(1)解得q=5或q=132当q=5时a=2当q=13a.9∴原来三个数为2，10，50或，,.9总结升：选择当的设法可使方程简单易解。一般地，三数成等差数列，可设此三数为a-xd,a,a+d；若三数成等比数列，可设此三数为，x,xy。但还要就问题而言，这里解法二中y采用首项a，公比q来解决问题反而简便。举一反：【变式1一个等比数列有三项，如果把第二项加上，，那么所得的三项就成为等差数列，如果再把这个等差数列的第三项加上32，那么所得的三项又成为等比数列，求原来的等比数列

nn5n+nnnnn2nn5n+nnnnn【答案为2，18或,；99设所求的等比数列为a，aqaq；则2(aq+4)=a+aq

2

，且(aq+4)

2

=a(aq2

+32)解得a=2，

29

，2故所求的等比数列为2618或,.9【变式2已知三个数成等比数列，它们的积为27，它们的平方和为91，求这三个数。【答案1、9或―1、―9或9、1或、3、a设这三个数分别为,aq，q由已知得

2a(2912

q4q2所qq1q3

19

，故所求三个数为：13、或―1、、―9或9、1或―9、―1。【变式3】有四个数，其中前三个数成等差数列，后三个数成等比数列，并且第一个数与第四个数的和是16，第二个数与第三个数的和12，求这四个.【答案0，8，或15，9，3，设四个数分别是x,y,12-y,16-x∴

x.......(y2y(16).......(由(1)得x=3y-12，代入2)得144-24y+y2

=y(16-3y+12)∴144-24y+y

2

=-3y

+28y,4y-52y+144=0,∴y2

-13y+36=0,∴y=4或9∴x=0或15∴四个数为0，48，或159，1.类型六等比数列的断与证例6已知数列{a}的前n项和S满足：log(S+1)=n(n∈N),求出数列a}的通项公式，并判断{a是何种数列思路点：由数{a}的前n项和S可求数列的通项公式，通过通项公式判断{a}类.

5nnn+11nn1+nnnnnnnnnnnnnnnnnnn221nn734nn5nnn+11nn1+nnnnnnnnnnnnnnnnnnn221nn734nnnnnammm∴a=S=51-1=4,当n≥2时，a=S-S=(5-1)-(5

n-1-1)=5

-5

n-1=5n-1(5-1)=4×5n-1而n=1时，4×5=4×51-1=4=a,∴nN时，a=4×5n-1由上述通项公式，可知{a}为首项为4，公比为的等比数列.举一反：【变式1已知数列{C}，中C=2n+3n，且数列{C-pC}为等比数列，求常数p。【答案p=2或；∵{C-pC}是等比数列，∴对任意nN且n，有(C-pC)2=(C-pC)(C-pC)∵C=2n,∴[(2n+1+3n+1)-p(2n)]2=[(2n+2+3)-p(2n+1+3)]·[(2n+3n)-p(2n-1+3n-1)]即[

n+(3-p)·3

n]

2

=[(2-p)·2

n+1+(3-p)·3

n+1]·[(2-p)·2

+(3-p)·3

n-1]1整理得：(2)(3p)6

n

n

,解得：p=2或p=3,显然C-pC≠0，故或为所求.【变式2设{a}、{b}公比不相等的两个等比数列，=a+b,证明数列C不是等比数列.【证明数列{a、{b}的公比分别为p,q，且p≠q为证{C}不是等比数列，只需C13

22

.∵

22

aq)1

2

1

2

1

2

2

,1a)(p11

2

q1

2

)21

2

1

2

2

(1

2

2

)∴

b(p,1321又∵p≠q,a≠0,b≠0,∴

0C

∴数列{C}不是等比数列【变式3判断正误：(1){a}为等比数a=aa；(2)若b2

=ac，则a，b，为等比数列；(3){a}，{b均为等比数列，则ab}为等比数列；(4){a}是公比为q的等比数列，{

2n

1}为等比数列；(5)若a，bc成等比，则loga，logb，c成等差.【答案

7134111nn1112mnnnn13nn112nn13151315131537134111nn1112mnnnn13nn112n