(浙江专版)2018年高中数学课时跟踪检测(十九)基本不等式新人教A版必修5

a＋b课时追踪检测（十九）基本不等式：ab≤2层级一学业水平达标1．以下结论正确的选项是( )1A．当x>0且x≠1时，lgx＋lgx≥21B．当x>0时，x＋≥2x1C．当x≥2时，x＋x的最小值为21D．当0<x≤2时，x－x无最大值1分析：选BA中，当0<x<1时，lgx<0，lgx＋lgx≥2不建立；由基本不等式知B正确；C中，由对勾函数的单一性，知151x＋的最小值为；D中，由函数f(x)＝x－在区间x2x13(0,2]上单一递加，知x－x的最大值为2，应选B.2．以下各式中，对任何实数x都建立的一个式子是()A．lg(x2＋1)≥lg(2x)B．x2＋1>2x11C.x2＋1≤1D．x＋x≥2分析：选C关于A，当x≤0时，无心义，故A不恒建立；关于B，当x＝1时，x2＋1＝2x，故B不建立；关于D，当x<0时，不建立．关于C，x2＋1≥1，∴21≤1建立．故x＋1选C.3．设a，b为正数，且a＋b≤4，则以下各式中正确的一个是()1111A.a＋b<1B.a＋b≥1C.1＋1<2D.1＋1≥2abab分析：选B由于a＋b2≤42＝4，因此1111≤＋≥2≥2＝1.ab22abab44．四个不相等的正数a，b，c，d成等差数列，则()＋da＋dbcbcA.2>B.2<C.a＋d＝bcD.a＋d≤bc221分析：选A由于a，b，c，d成等差数列，则a＋d＝b＋c，又由于a，b，c，d均大于b＋c>2bc，故a＋dbc.0且不相等，因此2>5．若x>0，y>0，且2＋8＝1，则xy有()xy1A．最大值64B．最小值64C．最小值1D．最小值64228分析：选D由题意xy＝x＋yxy＝2y＋8x≥22y·8x＝8xy，∴xy≥8，即xy有最小值64，等号建立的条件是x＝4，y＝16.11，则3＋3的最小值为________．6．若>0，>0，且＋＝abababab分析：∵a>0，b>0，∴111≥2，当且仅当＝＝2时取等号，＝＋≥2，即ababababab∴a3＋b3≥2ab3≥223＝42，当且仅当＝＝2时取等号，则3＋b3的最小值为42.aba答案：427．已知正数x，y知足x2＋2xy－3＝0，则2x＋y的最小值是________．3－x2分析：由题意得，y＝2x，∴＋＝＋3－x232＋33x＋1≥，2x2xy2x2x2x3当且仅当x＝y＝1时，等号建立．答案：3x8．若对随意x>0，x2＋3x＋1≤a恒建立，则a的取值范围是________．1分析：由于x>0，因此x＋x≥2.当且仅当x＝1时取等号，x111因此有x2＋3x＋1＝1≤2＋3＝5，x＋＋3xx1，故a≥1.即x2＋3x＋1的最大值为551答案：5，＋∞49．(1)已知x<3，求f(x)＝x－3＋x的最大值；23已知x，y是正实数，且x＋y＝4，求x＋y的最小值．解：(1)∵x<3，x－3<0，44f(x)＝x－3＋x＝x－3＋(x－3)＋34－x＋3≤－24－x＋3＝－1，＝－3－x＋3－x4当且仅当3－x＝3－x，即x＝1时取等号，f(x)的最大值为－1.(2)∵x，y是正实数，13y3x∴(x＋y)x＋y＝4＋x＋y≥4＋23.3x当且仅当x＝y，即x＝2(3－1)，y＝2(3－3)时取“＝”号．又x＋y＝4，133∴x＋y≥1＋2，133故x＋y的最小值为1＋2.10．设a，bb＋c＋c＋aa＋b，c都是正数，试证明不等式：＋≥6.abc证明：由于a>0，b>0，c>0，bacabc因此a＋b≥2，a＋c≥2，c＋b≥2，bacabc因此a＋b＋a＋c＋c＋b≥6，bacacb当且仅当a＝b，a＝c，b＝c，即a＝b＝c时，等号建立．b＋cc＋aa＋b因此a＋b＋c≥6.层级二应试能力达标1．a，b∈R，则a2＋b2与2|ab|的大小关系是( )3A．a2＋b2≥2|ab|B．a2＋b2＝2|ab|C．a2＋2≤2||D．2＋2>2|ab|babab分析：选A∵a2＋b2－2|ab|＝(|a|－|b|)2≥0，∴a2＋b2≥2|ab|(当且仅当|a|＝|b|时，等号建立)．1112．已知实数a，b，c知足条件a>b>c且a＋b＋c＝0，abc>0，则a＋b＋c的值( )A．必定是正数B．必定是负数C．可能是0D．正负不确立分析：选B由于a>b>c且a＋b＋c＝0，abc>0，因此a>0，b<0，c<0，且a＝－(b＋c)，111111因此a＋b＋c＝－b＋c＋b＋c，由于b<0，c<0，因此b＋c≤－2bc，11111因此－b＋c≤2bc，又b＋c≤－2bc，因此－1＋1＋1≤1－21＝－3<0，应选B.b＋cbc2bcbc2bca＋b23．已知x>0，y>0，x，a，b，y成等差数列，x，c，d，y成等比数列，则的cd最小值为( )A．0B．1C．2D．4a＋b＝x＋y，2222分析：选Da＋bx＋y＝x＋y＋2xy由题意，知因此＝＝cd＝xy，cdxyxyx2＋y2xy＋2≥2＋2＝4，当且仅当x＝y时，等号建立．x2y4．若实数x，y知足xy>0，则x＋y＋x＋2y的最大值为()A．2－2B．2＋2C．4＋22D．4－22y分析：选Dx2y12·xx＋y＋x＋2y＝y＋y，1＋x1＋2·xy设t＝x>0，412t12t＋1－1t1∴原式＝1＋＋2＋1＝t＋1＋2＋1＝1＋t＋t＋＝1＋1.ttt2t＋t＋31∵2t＋t≥22，∴最大值为1＋1＝4－22.22＋314y25．若两个正实数x，y知足x＋y＝1，且不等式x＋4<m－3m有解，则实数m的取值范围是________．分析：由于不等式x＋y2－有解，因此x＋ymin2－，由于，，且1＋4＝4<m3m4<m3mx>0y>0xyyy144y4xy4yx＋41，因此x＋4＝x＋y＝y＋4x＋2≥2y·4x＋2＝4，当且仅当y＝4x，即x＝2，y＝8时，等号是建立的，因此x＋y24min＝4，因此m－3m>4，即(m＋1)(m－4)>0，解得m<－1或m>4.答案：(－∞，－1)∪(4，＋∞)6．若正数a，b知足a＋b＝1，则311a＋2＋3＋2的最小值为________．b分析：由＋＝1，知1＋1＝3b＋2＋3a＋2＝7，又＋a≤ab2b3a＋23b＋2a＋b＋9ab＋10ab2114974＝4(当且仅当a＝b＝2时等号建立)，∴9ab＋10≤4，∴9＋10≥7.ab4答案：77．某厂家拟在2016年举行某产品的促销活动，经检查，该产品的年销售量(即该产品的年产量)x(单位：万件)与年促销花费m(m≥0)(单位：万元)知足x＝3－k(k为常数)，＋1m假如不举行促销活动，该产品的年销售量是1万件．已知2016年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价钱定为每件产品年均匀成本的1.5倍(产品成本包含固定投入和再投入两部分资本，不包含促销花费)．将2016年该产品的收益y(单位：万元)表示为年促销花费m的函数；该厂家2016年的促销花费为多少万元时，厂家的收益最大？2解：(1)由题意，可知当m＝0时，x＝1，∴1＝3－k，解得k＝2，∴x＝3－m＋1，又每件产品的销售价钱为1.5×8＋16x元，x5y＝x1.5×8＋16x－(8＋16x＋m)＝4＋8x－mx24＋83－m＋1－m＝－16＋m＋＋≥0)．m＋129(m1616∵m≥0，m＋1＋(m＋1)≥216＝8，当且仅当m＋1＝m＋1，即m＝3时等号建立，y≤－8＋29＝21，∴ymax＝21.故该厂家2016年的促销花费为3万元时，厂家的收益最大，最大收益为21万