2023高考数学二轮复习专项训练《集合的概念与表示》

2023高考数学二轮复习专项训练《集合的概念与表示》一、单选题（本大题共12小题，共60分）1.（5分）已知集合A={(xA.9 B.10 C.12 D.132.（5分）下列集合中表示同一集合的是（）A.M={（3，2）}N={3，2}

B.M={（x，y）|x+y=1}N={y|x+y=1}

C.M={（4，5）}N={（5，4）}

D.M={2，1}N={1，2}3.（5分）下列命题中为假命题的是(A.∃x∈R，x2<1

B.a2=b2是a=b的必要不充分条件

C.集合4.（5分）集合A={(x,yA.{1,2} B.{(1,2)}5.（5分）下列各式：①{a}⊆{a}②Ø⫋{0}③0⊆{0}A.② B.①② C.①②③ D.①③④6.（5分）设A1，A2，A3，…，An是集合{1,2,3,…,n}的n个非空子集(n⩾2)，定义aij=0,Ai∩Aj=∅1,Ai∩Aj≠∅，其中i，j=1，2，A.①② B.①③ C.②③ D.③7.（5分）设集合A的最大元素为M，最小元素为m，记A的特征值为XA=M-m，若集合中只有一个元素，规定其特征值为0.已知A1，A2，A3，⋯，AA.14 B.15 C.16 D.188.（5分）下列对象能构成集合的是（）A.2010年春节联欢晚会上的所有好看节目

B.我国从1991～2009年所发射的所有人造卫星

C.2010广州亚运会中的高个子男运动员

D.上海世博会中所有热门场馆9.（5分）集合P={x|x≤4}，则（）A.π∉P B.π⊆P C.{π}∈P D.{π}⊆P10.（5分）集合A={1,4,x}，B={A.1或0 B.1，0或2

C.0，2或-2 D.0，-1，211.（5分）设集合M={x|x2-x-2＜0}，P={x∈Z||x-1|≤3}，Q={x|x∈P，x∉M}，则Q=（）A.{-2，1，2，3，4}

B.{-2，-1，2，3，4}

C.{-1，2，3，4}

D.{-1，2，3}12.（5分）已知集合M={x|x2-1=0}，则有（）A.M=（-1，1） B.M=（-1，1] C.-1∈M D.1⊆M二、填空题（本大题共6小题，共30分）13.（5分）集合A={x|x∈14.（5分）用描述法表示二元一次方程x-y15.（5分）用符号“∈”或“∉”填空．(1)若A={x|x2(2)若B={x|x2(3)若C={x∈N|1⩽x⩽16.（5分）用列举法表示集合A={17.（5分）已知：集合A={0,2,3}，定义集合运算A※A18.（5分）若x∈{1，x2}，则x=____．三、解答题（本大题共6小题，共72分）19.（12分）在“①A∩R=∅，②A恰有两个子集，③A∩(12,2)≠∅”这三个条件中任选一个，补充在下列横线中，求解下列问题． 

已知集合A={x∈R|mx2-2x+1=0}20.（12分）已知集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R,x∈R}．21.（12分）已知集合A(1)若1∈A，求集合A(2)若集合A⊆{2,3}22.（12分）已知集合A中的元素都是正整数，则满足“如果x∈A，那么8-x∈A”时 

（1）试写出只有一个元素的集合A 

（2）试写出有2个元素的集合A 

（3）满足上述条件的集合A总共有多少个？为什么？23.（12分）已知A={x|x2-2mx+m2-1<0}. 

(1)若24.（12分）你能用列举法表示不等式x-7<3四、多选题（本大题共6小题，共30分）25.（5分）在以下写法中写法正确的是(A.0∈{R} B.∅⊆{0}

C.26.（5分）下列选项中能组成集合的是(A.某班身高超过150cm的同学 B.方程x-1=027.（5分）设集合Q是非空集合P的非空真子集，则下列命题正确的是()A.∀x∈Q，有x∈P B.∃x∉P，使得x28.（5分）已知集合A={xA.0⊆A B.{0}∈A C.0∈29.（5分）若集合A，B满足：∃x∈A，A.A⊆B B.A∩B30.（5分）已知关于x的不等式a⩽3A.当a<b<1时，不等式a⩽34x2-3x+4⩽b的解集为∅

B.当a=1，b=4时，不等式a⩽3

答案和解析1.【答案】D;【解析】解：因为|x|+|y|⩽2，x∈Z，y∈Z， 

当x=0时，y=-2，-1，0，1，2； 

当x=1时，y=-1，0，1； 

当x=-1时，y=-1，0，1； 

当x=2时，y=0； 

当x=-2时，y=0. 

所以满足条件的数对有13个，即集合A中元素的个数为13. 

故选：D. 2.【答案】D;【解析】解：A、M={（3，2）}，M集合的元素表示点的集合，N={3，2}，N表示数集，故不是同一集合，故A错误； 

B、M={（x，y）|x+y=1}，M集合的元素表示点的集合，N={y|x+y=1}，N表示直线x+y=1的纵坐标，是数集，故不是同一集合，故B错误； 

C、M={（4，5）}集合M的元素是点（4，5），N={（5，4）}，集合N的元素是点（5，4），故C错误； 

D、M={2，1}，N={1，2}根据集合的无序性，集合M，N表示同一集合，故D正确； 

故选D．

3.【答案】C;【解析】解：A.∃x∈R，取x=12，则x2=14<1，因此是真命题； 

B.由a=b⇒a2=b2，反之不成立，例如取a=1，b=-1，满足a2=b2，但是a≠b，因此a2=b2是a=b的必要不充分条件，因此是真命题； 

C.集合{(x,y)|y=x2}表示点的集合，而集合{y|4.【答案】D;【解析】 

此题主要考查集合的表示，熟练掌握描述法表示集合是解答该题的关键. 

解：因为A={(x,y)|x+y=3,x∈N*,y∈N*}，，当x=1时，y=2；当5.【答案】B;【解析】 

此题主要考查了元素与集合的关系，空集，子集与真子集，考查学生的概念知识，属于基础题. 

直接对各项依次分析即可得. 

解：任何集合是它本身的子集，∴①正确； 

空集是任何非空集合的真子集，∴②正确； 

0表示元素，应为0∈{0}，∴③错误； 

1∉{3,4}，∴{1,3}不是{3,4}的真子集，∴④错误； 

∴正确的为6.【答案】B;【解析】解：把aij按其脚注排成一个数阵的话，如下，对角线上全是1，对角线外，1成对出现，如下： 

(1)a11=a22=…=ann=1； 

(2)当i≠j时，若aij=1，则aij=1； 

若aij=0，则aij=0； 

即对角线上全是1，对角线外，1成对出现， 

所以，S=n+2k，k是某一个非负整数， 

即：S与n的奇偶性一致，且S最小值是n， 

又因为，当A1=A2=…=An时，S=n2． 7.【答案】C;【解析】解：要想n的值大，则特征值要尽可能小， 

A1，A2，A3，⋯，An是集合N*的元素个数均不相同的非空真子集， 

不妨令A1是只有1个元素的非空真子集，则XA1=0，A1是含有两个元素的非空真子集， 

则XA2=1时，能保证n的值最大， 

同理得：XA3=2，以此类推，得到XAn=n-1， 

∴0+1+2+⋅⋅⋅+(n-1)=n(n-1)2=120， 

解得n=16或n=-15(舍)， 

∴n的最大值为16. 

故选：C. 

要想n的值大，则特征值要尽可能小，A18.【答案】B;【解析】解：由于“好看节目”没有确定的标准，故A中的对象不满足元素的确定性，故A中的对象不能构成集合． 

由于“我国从1991～2009年所发射的所有人造卫星”是确定的，互异的，故B中的对象能构成集合． 

由于“高个子”没有明确的标准，故C中的对象不满足元素的确定性，故C中的对象不能构成集合． 

由于“热门场馆”没有明确的标准，故D中的对象不满足元素的确定性，故D中的对象不能构成集合． 

故选B．

9.【答案】D;【解析】解：集合P={x|x≤4}，则 

π∈P，A错误； 

B中元素和集合的符号用错， 

C中集合和集合的符号用错， 

应是{π}⊆P， 

故选：D．

10.【答案】C;【解析】 

此题主要考查集合的运算，为基础题. 

分类讨论即可求出答案，注意集合的互异性. 

解：∵A={1,4,x}，

B={x2,1}，

A∩B=B， 

∴B⊆A， 

即x2=4或x2=x， 

解得x=±2或x=0或x=1， 

当x=-2时，

A={1,4,-2}，

B={4,1}，成立， 

当x=2时，

A={1,4,2}，11.【答案】B;【解析】解：∵M={x|x2-x-2＜0}={x|-1＜x＜2}，P={x∈Z||x-1|≤3}={x∈Z|-2≤x≤4}={-2，-1，0，1，2，3，4}， 

∵Q={x|x∈P，x∉M}， 

∴Q={x|x∈P，x∉M}={-2，-1，2，3，4}， 

故选：B．12.【答案】C;【解析】解：由题意可知： 

M={x|x2-1=0}={-1，1}． 

所以，对于答案A、B表示的区间，与M不相等，不正确； 

对于答案D应该是元素与集合的关系不应该用符号⊆表示，故错误． 

而-1∈M正确． 

故选：C．13.【答案】{0,1,3,4,【解析】解：∵A={x|x∈N,且42-x∈Z} 

∴2-x是4的约数且x∈N 

∴2-x=-4得x=6 

2-x=-2得x=4 

2-x=-1得x=3 

2-x=1得x=1 

2-x=2得14.【答案】解： 

∵二元一次方程x-y=0的解集是点集 

∴二元一次方程x-y=0的解集是【解析】解析： 

此题主要考查集合的表示方法，解题时注意集合的元素，描述法是常用的表示方法，属于基础题。 

15.【答案】(1)∉;   

(2)∉;  

【解析】(1) 

此题主要考查元素与集合的关系，考查推理能力，属于基础题. 

因为A={0,1}，所以-1∉A. 

解：因为A={x|x2=x}={0,1}， 

所以-1∉A， 

故答案为∉， 

(2) 

此题主要考查元素与集合的关系，考查推理能力，属于基础题. 

因为B={-3,2}，所以3∉B. 

解：因为B={x|x2+x-6=0}={-3,2}， 

16.【答案】{5,4,2,-【解析】此题主要考查集合列举法，属于基础题. 

由题意得6-x∈{1,2,4,8}，此时x∈{5,4,2,-2}，A={5,4,2,-2}. 17.【答案】{0，2，3，4，5，6};【解析】解：由题意知，集合A={0,2,3}，则a与b可能的取值为：0，2，3， 

∴a+b的值可能为：0，2，3，4，5，6； 

∴A※A={0,2,3,4,5,6}． 

故答案为：{0,2,3,4,5,6}18.【答案】0;【解析】解：∵x∈{1，x2}， 

∴x=1或x=x2， 

而集合中的元素具有互异性，则x=0 

故答案为：19.【答案】解：（1）若1∈A，则m-2+1=0，所以m=1； 

（2）选①，则A=ϕ，则方程mx2-2x+1=0无实数根， 

所以m≠0，且Δ=4-4m＜0⇒m＞1； 

选②，A恰有两个子集，则A为单元素集，则方程mx2-2x+1=0只有一个实数根， 

当m=0时，A={12}满足题意， 

当m≠0时，Δ=4-4m=0⇒m=1， 

所以m=0或m=1； 

选③，A∩(12，2)≠ϕ，则方程mx2=2x-1在区间(12【解析】 

(1)若1∈A，代入即可得出结果； 

(2)选①，方程mx2-2x+1=0无实数根，利用判别式即可得出结果； 

选②，A为单元素集，方程mx2-2x+1=0只有一个实数根，分别讨论m=0和m≠0时情况，即可求出结果；20.【答案】解：（1）当a=0时，方程ax2+2x+1=0可化为：2x+1=0， 

解得x=-12，满足条件； 

当a=1时，方程ax2+2x+1=0的△=4-4a=0， 

解得：x=-1，满足条件； 

综上可得：a=0，x=-12，或a=1，x=-1 

（2）当a=0时，方程ax2+2x+1=0可化为：2x+1=0， 

解得x=-12，满足条件； 

当a≠0时，方程ax2+2x+1=0由△=4-4a≤0得：a≥1， 【解析】 

(1)若A中只有一个元素，则方程为一次方程或Δ=0； 

(2)若A中至多只有一个元素，则方程为一次方程或Δ⩽0；21.【答案】解：(1)由1∈A可知a+a+6=0，解得a=-3， 

所以A={x|-3x2-3x+6=0}={x|x2+x-2=0}={1,-2}. 

(2)若A=∅， 

当a=0时，满足题意； 

当a≠0时，Δ=a2-24a<0，解得0<a<24. 【解析】此题主要考查集合中元素的性质，元素与集合的关系，由集合间的关系求参数范围. 

(1)由1∈A可知a+a+6=0，求得a的值，从而得到集合A； 

(2)若A=∅，需分a=0和a≠0进行求解，若集合A中仅有一个元素，则a≠022.【答案】解：（1）若集合只有一个元素，则x=8-x，即x=4，此时A={4}． 

（2）试写出有2个元素的集合A，A={1，7}，{2，6}，{3，5}， 

（3）若满足“如果x∈A，那么8-x∈A”，则{1，7}，{2，6}，{3，5}，{4}四个集合都是对应集合的子集即可， 

满足上述条件的集合A总共有24-1=15个， 

∵从4个集合中任意选择1个，2个，3个，4个，都满足条件， 

∴共有15个．;【解析】（1）根据集合关系解方程x=8-x，即可． 

（2）根据元素关系即可写出有2个元素的集合A 

（3）根据元素关系，进行求解即可．

23.【答案】解：(1)由题知A={x|x2-2mx+m2-1<0}， 

∴当m=2，即A={x|x2-4x+3<0}， 

∴A={x|(x-1)(x-3)<【解析】此题主要考查元素与集合的关系，集合关系中的参数取值问题，同时考查

二次不等式的求解，考查分析与计算能力，属于基础题. 

(1)若m=2，解一元二次不等式即可求A； 

(2)已知1∈A，且3∉A，则1-2m+m24.【答案】不等式x-7<3的解是x<10，因为满足x<10的实数有无数个，所以x-7<3的解集无法用列举法表示.但是，我们可以利用解集中元素的共同特征，即x【解析】此题主要考查集合的表示方法，属于基础题.

25.【答案】BC;【解析】解：对于A：0∈{R}，是元素与集合的关系，但集合中只有一个元素R，故不对． 

对于B：空集是任何集合的子集，应该是∅⊆{0}；故对． 

对于C：根据集合的无序性可知{0,2}⊆{2,0}；对． 

对于D：是集合与集合之间的关系，故{0}∈{0,1,2}不对． 

26.【答案】AB;【解析】 

此题主要考查集合的概念，属基础题，构成集合的元素必须具备确定性，逐一检查即可. 

解：某班身高超过150cm的同学是确定的，能组成集合; 

方程x-1=0的解是1，是确定的，能组成集合; 

漂亮的花儿，不满足确定性，不能组成集合; 

空气中密度大的气体，不满足确定性，不能组成集合. 

故选AB. 27.【答案】AC;【解析】解：集合Q是非空集合P的非空真子集， 

对于A，Q⫋P，∴∀x∈Q，有x∈P，故A正确； 

对于B，∀x∉P，均有x∉Q，故B错误； 

对于C，Q⫋P，∃x∉Q，使得x∈P，故C正确； 

对于D，Q⫋P，∃x∉Q，使得x