2017考研数一真题及解析

绝密★启用前

2017年全国硕士研究生入学统一考试

数学（一）

（科目代码301）

考生注意事项

1.答题前，考生必须在试题册指定位置上填写考生姓名和考生编号；在答题卡指定位置上填写

报考单位、考生姓名和考生编号，并涂写考生编号信息点。

2.考生须把试题册上的试卷条形码粘贴条取下，粘贴在答题卡”试卷条形码粘贴位置”框中。

不按规定粘贴条形码而影响评卷结果的，责任由考生自负。

3.选择题的答案必须涂写在答题卡相应题号的选项上，非选择题的答案必须书写在答题卡指

定位置的边框区域内。超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题册上答题无效。

4.填（书）写部分必须使用黑色字迹签字笔或者钢笔书写，字迹工整、笔迹清楚；涂写部分

必须使用2B铅笔填涂。

5.考试结束后，将答题卡和试题册按规定一并交回，不可带出考场。

考生姓名:

考生编号:

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

一、选择题1一8小题.每小题4分，共32分.

1-cosVx

1.若函数/(x)={—晟—在x=O处连续，贝IJ

b,x<0

(A)ab=­(B)ab=~(C)ab=0(D)ab=2

22

2.设函数/(%)是可导函数，且满足/(x)/'(x)>0,则

(A)/(1)>/(-1)(B)/(1)</(-1)(C)|〃1)|>|/(一1)|(D)|/(1)|<|/(-l)|

3.函数/(x,y,z)=Vy+z2在点(1,2,0)处沿向量〃=(1,2,2)的方向导数为

(A)12(B)6(C)4(D)2

4.甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：米)处，如图中，实线表示甲的速度曲线V=%(f)

(单位：米/秒)，虚线表示乙的速度曲线丫=岭。)(单位：米/秒)，三块阴影部分的面积分别为10,20,3,

计时开始后乙追上甲的时刻为则()

(A)%=10(B)15气<20

(C)?0=25(D)tQ>25

5.设a为〃单位列向量，E为〃阶单位矩阵，则

(A)E-aa'不可逆(B)E+aa'不可逆

(C)E+2aa'不可逆(D)E-2aa'不可逆

200、‘210、’100、

6.已知矩阵A021,B二020,c=020,则

001,、°o1,、002,

(A)AC相似，B,C相似(B)AC相似，不相似

(C)A,C不相似，相似(D)A,C不相似，氏。不相似

7.设A,6是两个随机事件，若0<P(A)<l,0<P(B)<l,则「(4/8)>。(4/历的充分必要条件是

(A)P(B/A)>P(B/A)(B)P(B/A)<P(B/A)

(C)P(B/A)>P(B/A)(D)P(B/A)<P(B/A)

-1n

8.设X「X2,…,X“(〃N2)为来自正态总体N(〃,l)的简单随机样本，若乂=—则下列结论中不

n；■=,

正确的是()

(A)S(X,.-〃)2服从炉分布⑴)2(X“-KJ?服从/分布

/=1

(C)f(Xj—5)2服从/分布(D)〃(又一〃)2服从/分布

;=|

二、填空题(本题共6小题，每小题4分，满分24分.把答案填在题中横线上)

9.已知函数/(x)=」^,则/⑶(。)=______.

l+x

10.微分方程y"+2y'+3y=0的通解为.

11.若曲线积分］嗤］哼在区域。={(乂力|/+丁2<1}内与路径无关，则。=.

12.基级数工(一1)"7心"-|在区间(_11)内的和函数为

n=\

‘101、

13.设矩阵A=112,%,%，为线性无关的三维列向量，则向量组A.,A%)%的秩

、。1L

为.

14.设随机变量X的分布函数F(x)=0.5①(x)+0.5①(三4)，其中①(x)为标准正态分布函数，则

EX=•

三、解答题

15.(本题满分10分)

x

设函数/(〃#)具有二阶连续偏导数，y=f(e,cosx),求电|,句，^-|v.0.

dxax

16.（本题满分10分）

43k[k

求hm〉—I1n1+—

〃f00nIfl

17.（本题满分10分）

已知函数y（x）是由方程丁+y3-3尤+3y-2=0.

18.（本题满分10分）

设函数/（幻在区间［o,i］上具有二阶导数，且/⑴>0,1呼4°<0,证明:

（1）方程/（x）=0在区间（0,1）至少存在一个实根；

（2）方程/（幻）"（幻+（/'（为）2=0在区间（0,1）内至少存在两个不同实根.

19.(本题满分10分)

设薄片型S是圆锥面z=Jf+y2被柱面z2=2x所割下的有限部分，其上任一点的密度为

〃=9jK+y2+z2,记圆锥面与柱面的交线为C.

(1)求C在X0V布上的投影曲线的方程；(2)求S的质量

20.(本题满分11分)

设三阶矩阵。3)有三个不同的特征值，且%=4+2a2,

(1)证明：r(A)=2；(2)若£=。］+。2，%，求方程组4x=，的通解.

21.(本题满分2分)

设二次型f(xi,x2,x3)=2xf-x；+axf+2X,X2-+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为

4y求。的值及一个正交矩阵。.

22.(本题满分11分)

设随机变量x,y相互独立，且x的概率分布为P{X=O}=P{X=2}=；,y的概率密度为

0,其他,

(1)求概率P(Y<EY)；

(2)求2=乂+/的概率密度.

23.(本题满分11分)

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做了〃次测量，该物体的质量〃是已知的，设

〃次测量结果X1,X?,…,X,,相互独立且均服从正态分布该工程师记录的是〃次测量的绝对误

差Z,=£一”,(i=1,2,…,n),利用4名,…,Z”估计参数c.

(1)求Z,的概率密度；

(2)利用一阶矩求。的矩估计量；

(3)求参数b最大似然估计量.

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题

答案详解

一、选择题：

(1)【答案】A

1-COsVxr],/、1；,1

lim---------=lim-^―=——f(x)：.—=b=ab=—.

【解析】faxD，orla在犬=°处连续2a2选A.

(2)【答案】C

,"(x)>0

l/'(x)>0

【解析】或，只有C选项满足⑴且满足Q),所以选C。

(3)【答案】D

2

gradf={2xy,x,2z},^gradf\(l20)={4,1,0}=>|^=^0#~={4,1,01-{1,|?!)=2.

【解析】duU333

选D.

(4)【答案】B

12

【解析】J。则乙要追上甲，则

f0v,(t)-v.(t)Jr=10f-25

'«2',当‘。一”时满足，故选C.

(5)【答案】A

【解析】选项A,由(E-。〃加=。一。=0得(E—a")x=0有非零解，故忸一。。［=0。即后一。"

不可逆。选项B,由"oa.anl得aa’的特征值为n-1个0,1.故E+a"的特征值为止1个1,2.故可逆。

其它选项类似理解。

(6)【答案】B

【解析】由(几七一A)=°可知人的特征值为2,2,1

‘100、

A~020

因为3-"2E-4)=1,...A可相似对角化，且1°02)

由比一耳=°可知B特征值为2,2,1.

因为3-"2£-8)=2,...B不可相似对角化，显然c可相似对角化,

...A~C,且B不相似于C

(7)【答案】A

【解析】按照条件概率定义展开，则A选项符合题意。

(8)【答案】B

【解析】

X〜〜N(O,1)

=>£&-〃)2~/(〃),4正确

/=!

n(〃—1)S2=£(X,-灭)2~%2(〃_]),C正确，

/=1

=>(区-〃)~mi),n{X-〃)2~%2(1),D正确,

n

n~N(0,2),(X“；XJ~/⑴，故B错误.

由于找不正确的结论，故B符合题意。

二、填空题：

(9)【答案】/⑼二-6

【解析】

/(%)==-=-=y(-x2)n=y(-i)nx2n

1+/i-(-%2)公幺

r(X)=£(—1)"2〃(2〃一1)(2〃-2)/'—3=f(0)=0

n=2

()［受案］y=ex(c\cosc

104-2sinV2x)(,”Q为任意常数)

［解析］齐次特征方程为丸2+22+3=0n4,2=_］+

cos

故通解为C瓜+c2sinV2x)

(11)【答案】a=1

dP_-2xydQ_2axydP_dQ_

【解析】②U2+r-l)2，Sx(V+yL1产由积分与路径无关知②&

s(x)=——~7

(1+域

(12)【答案】

］

(1+X)2

［解析］W=13=17+

（13）【答案】2

【解析】由四'4，a3线性无关，可知矩阵?，。2,03可逆，故

r(Acr,,Aa2,Aa3)=r(A(a,,a,,<z3))=r(A)再由广(A)=2得r(AzpAa2,Aa,)=2

(14)【答案】2

F'(x)=0.5夕(％)+—(p(-~~-)EX=0.5(x(p(x)dx+—fx(p(^~~-)dx

【解析】22,故Jr2Jr2

%—4c+°°x-4

jx(p(x)dx-EX-0乙~='nJ_x"9(~a2j(4+2。0QWf=8-1+4/t(p(t)dt=8

因此E（X）=2

三、解答题:

dy

嘿"a」),

（15）【答案】­=。x=0

【解析】

*=0

y=/(e*,cosx)ny(0)=/(1,1)

华=(承'+£(-sin切|=£(1,1)•1+£(1D0=£(1,1)

x=0

d2y

V2x

工;e2+工;"(一sinx)+£；e*(-sinx)+%sinx+f［e-f2cosx

d~v..,

n/=加1』)+工(1,1)-力(U)

x=0

结论:

dy

=，(U)

­=0

£=.力；(1,1)+/：(1,1)-£(1,1)

次40

(16)【答案】4

【解析】

㈣*自n(l+勺=£xln(l+=；£ln(l+x)dx2=1(ln(l+x).引［_£办)=；

（17）【答案】极大值为y（D=i,极小值为NT）=°

【解析】

两边求导得：

3x2+3/y,-3+3y'=0⑴

令y'=°得x=±i

对（1）式两边关于x求导得6x+6y（y'）+3巧”+3y"=0⑵

x=l［x=-\

<or<

将工=±1代入原题给的等式中，得［y=i。=°,

将x=i,y=l代入⑵得V'⑴=-1<°

将x=Ty=O代入⑵得y"（-1）=2>0

故％=1为极大值点，y（D=i；X=T为极小值点，MT）=O

（18）（I）二阶导数，-°*x

..f（x）

hm----<0

解：1）由于-o,x,根据极限的保号性得

,四<0

38>0,\7龙6（0»）有％,即/（无）<0

进而叫€（0⑶有/^卜。

又由于/（%）二阶可导，所以/（X）在10，I上必连续

那么了3在U，1］上连续，由/⑻<0,/⑴>°根据零点定理得：

至少存在一点Je（b，D,使/C）=0,即得证

（II）由（1）可知游e（0,D,/片）=°,令&x）=/（x）/（x）,贝M（°）=/（G=°

由罗尔定理三〃e（°，4），使/'‘①）=°,则2°）=FS）=/⑹=0,

对/（x）在（0,〃）,（〃4）分别使用罗尔定理：

三彷€（0,〃）,%€（〃,）且7，%€（0』）,/7产”,使得尸（7）=?（〃2）=0,即

F(x)=/(x)/"(x)+(/'(%))=°在(0,1)至少有两个不同实根。

得证。

(19)【解析】

Z=Jx2+y222c

，,NJ=>x2+y2=2x

(1)由题设条件知，C的方程为〔z-=2x

Jx2+y2=2x

则C在忒，平面的方程为〔z=°

(2)

机=JJ〃(x,y,z)dS=jj9ylx2+y2+z2dS=j|9y/2yjx2+y2-Jldxdy

ssD:x2+y2^2x

f—f2cos^

=阿：呵,dor=64

~2

(20)【解析】

⑴证明:由4=«+2%可得%+2a21a3=°,即/,%，的线性相关，

因此，1AH2a31=。，即A的特征值必有0。

又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0,另外两个非0.

'4、

A=4

且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为I°)

.r(A)=r(A)=2

(II)由⑴"A)=2,知3-r(A)=l,即Ar=°的基础解系只有1个解向量，

r1'(1]p

(at,a2,a3)2=A2=02

由4+2a2-4=0可得I-11,则Ax=0的基础解系为(7

T赤，|:1

(6,02，%)1=

又尸=6Z]+%+,即J⑴，则加=厂的一个特解为⑴，

k2+1,&wR

综上，及=£的通解为(―U⑴

（21）【解析】

’21-4、

A=1—11

f(x],x2,x3)=X'AX其中(-41a,

由于/(X，X2，X3)=X'AX经正交变换后，得到的标准形为4>；+4代,

21-4

r(A)=2=>|A|=0=>1—11=0no=2

将。=2代入，满足「(A)=2,因此a=2符合题意，此时\~412J,则

2-2-14

|AE—A|=—12+1—1=0n4=—3,4=0,4=6

-1

由（-3E-A）x=°,可得A的属于特征值-3的特征向量为U

0

由（6E—A）x=°,可得A的属于特征值6的特征向量为UJ

P-'AP^6

令「=（%%，%）,则由于%,&2，。3彼此正交，故只需单位化即可:

rr

-y=-(l,-l,l),y?2=-^-(-1,0,1/,^=-^r(l,2,l),

111

一

不

0看

12

。

一-z\

2=(^AA)=fr

6

1r2Ae-

正

耳lo

x7

则

x=Qy.今

f=-3分+6%

(22)【解析】

⑴£(y)=[y2ydy=]

J。3

P(Y<EY)=P(Y<^)=^2ydy=-

(n)£(Z)=P(Z<z)=P(X+Y<z)

=P(X+Y<z,X=O)+P(X+Y<z,X=2)

=P(y〈z,X=O)+P(y4z—2,X=2)

=-p(y<z)+-p(r<z-2)

22

(1)当z<0,z-2<0,而z<0,则8(Z)=0

⑵当Z-2N1,Z>1,即zN3时,E(Z)=1

1,

(3)当O〈z<l时,

2(Z)=J

(4)当lWz<2时,

11

")=5+5“9

(5)当2Wz<3时,

oz<