夫琅和费多缝衍射计算机模拟及公式推导

夫琅和费多缝衍射计算机模拟及公式推导李洪伟刘晓华[1]杨卫平[2](1齐齐哈尔大学理学院，黑龙江齐齐哈尔161000)(2云南师范大学物理与电子信息学院，云南昆明650092)摘要：夫琅和费多缝衍射是单缝衍射调制的多光束干涉，是波动光学的重要理论。本文通过从单缝到多缝衍射的实验观察、研究及有关理论，运用推导多光束干涉和单缝衍射光强分布公式，对夫琅和费多缝衍射仿真验证，启示教学及实验。以上都是对理想型的周期性光栅的研究。关键词：DISLab，多光束干涉，单缝衍射，多缝衍射Absurct:Fraunhofer'smultiple-slitdiffractionresultsfromthemulti-beaminterferenceofsingle-slitdiffractionmodulation,whichisanimportanttheoryofwaveoptics.Onthebasisofexperimentalobservations,studiesfrommultiple-slittosingle-slitdiffractionaswellasrelatedtheory,thepaperaimstovalidateFraunhofer'ssimulationsofmultiple-slitdiffractionthroughtheadoptionofopticsdistributionformulaofmulti-beaminterferenceandsingle-slitdiffractionandalsoinspireteachingandexperiment.Aboveistoidealtypeofperiodicgratingresearch.Keywords:DISLab,multi-beaminterference;single-slitdiffraction;multi-slitdiffraction引言朗威DISLab是由“传感器+数据采集器+实验软件包(教材专用软件、通用扩展软件)+计算机”构成的新型实验系统。该系统成功地克服了传统物理实验仪器的诸多弊端，有力地支持了信息技术与物理教学的全面整合。理论前提多光束干涉[1]设有N束频率相同的光，都沿着同一直线振动，且各相邻光束之间有相同的相位差，可用复数表达如下Aeg,Aei(®t+e),Ae^+2e),Ae^+3e)t...,Ae：®(nTOC\o"1-5"\h\z1 2 3 4 N为简化计算，设它们有相同的振幅A=A=A二…二A=A,叠加的结果用Ae^t+蚪来1 2 3 N0表示，其振幅为A，初相位为申，贝U0Ae^o=A1+e^+e：2^+ +e^―山oL -=A£ei(k-i>p (2-1)ok=1这是以Y=eg为公比的几何级数，它的总和等于G—N)/(l-Y)，故上式可写为

eiN—1Ae申0=A0eii?eiN—1Ae申0=A0eii?—12-2)因为强度正比于振幅（实数）的平方，而上式是用复数表达的，故强度应该正比于它和它的共轭复数的乘积，即eiN申—1e-iNp—1A2=A2 •0eip—1 e—ip—12—(eiNp+e—iNp)=A2 + ¥02—Veip+e—p2-3)利用欧拉公式eiNP+e-iNp二2cosNp,上式可写为1—cosNpI=A2=A2-01—cosp1sin2 Np=A2 201

sm2—p22-4)此即为多光束干涉光强度分布公式。2.2夫琅和费单缝衍射[2]因为光强度等于振幅的平方，所以我们先导出振动表达式，再由I二A2导出光强表达式,这一思路就是推导的过程,下面我们就按这个步骤具体推导下去。图2-1夫琅和费单缝衍射如图2-1所示狭缝AB的宽度为a,透镜焦平面上P点的光强度即在与狭缝法线成0角方向上的光强度，决定于由AB所代表的受限波阵面元的宽度。位于中心点的波阵面元dx在P点所产生的振动可表示成dy=Rsindy=Rsin2兀—0<tr)一—o

It九丿dx2-5)其中r为由0点到P点的距离，R为一常数，同样，AB上任意一点C的波阵面元dx在0P点所产生的振动可写成dy=Rsin2dy=Rsin2兀——

CTdx2-6)其中A为从中心0和任意点C到P点的光程差，且有A=xsin9，因此，P点的振动dx2-7)2-8)dx2-7)2-8)为AB上所有波阵面元在P点的作用的叠加即y=Jdy=J2Rsin2kABC-a2.兀asin9

sm--=Ra — -sin2kkasin9—所以P点的光强度为sin2uI=I 0u2其中I=（Ra）2,u=kasin9，，—，显然u恰为狭缝边缘上的波阵面和中间的波阵面，0■在防向的相位差。从上式可以看出，精确空间各点光强的分布，I决定于u的大小，而u中的一个重要的物理量a表示，当a>>—时，在9工0的方向上，I始终为0即几何光学确—实是波动光学在a>>—时的极限。计算机模拟实验器材朗威[8][9]DLSLab数据采集器、光强分布传感器、激光光源、偏振片、缝宽为0.08mm和0.1mm的单缝、托架、计算机。实验装置如图3-1所示。图3-1DIS单缝衍射实验装置 图3-2DIS单缝衍射光强分布曲线实验操作将光强传感器置于朗威DISLab光具座底部并接入数据采集器。将缝宽为0.08mm单缝至光强度传感器的距离L调整为60〜70cm。打开配套光源的开关，使用偏振片将光强调整到适当（以消除图线“平项”现象为准），得到衍射分布曲线图3-2。观察图中光强条纹，可见其遵循以下规律：中央条纹最亮，同时也最宽，约为其他明条纹宽度的两倍。中央条纹两侧，光强度迅速减小，直到第一暗条纹；随后光强又逐渐增大为第一明条纹，依此类推。分析图中光强条纹与光强图线的对应关系，可见光强条纹的明暗、宽窄都对应着光强图线的高低及宽窄。改变单缝与光传感器的间距L,可见条纹和光强度图线基本不发生变化。更换缝宽为0.1mm的单缝，则光强条纹变窄的同时亮度增加，对应的光强度图线中央峰变窄、变高如图3-3。变窄、变高如图3-3。d||如一」_2」 图3-3缝宽为0.1mm的单缝衍射分布曲线7•总结可知：光的衍射仅与缝的宽度有关。缝宽越大，光强度（光的能量）越集中于中央条纹，所形成的图线中央峰窄而高。随着缝宽进一步加大，衍射图线的中央峰将被压缩成一条亮线，基本观察不到衍射波形。此时可以认为光是以直线传播的。因此，光的衍射实验是对光波动特性的最直接、最有力的支持。双缝衍射中的光强分布规律实验操作过程同上，只是将单缝换成双缝b=0.25mm，得光强分布曲线如图3-4,3-5：「厂丁门 |「厂丁门 |加I「凹鉅■]*：1| |图3-4L图3-4L为60cm时的衍射光强分布曲线图3-5L为70cm时的衍射光强分布曲线多缝衍射中的光强分布规律操作过程同单缝衍射，依次把光栅换成3缝、4缝及多缝光栅，其光强分布曲线如图3-6，3-7，3-8，3-9所示。中仪血• 中仪血• IMU>S*iJHUB*I产；IWBMI聊推I !Wlta图3-63缝衍射光强分布曲线图3-63缝衍射光强分布曲线图3-74缝衍射光强分布曲线LIL・A"<"•» 刃览阎鹿*a两fm««>LI龙廉霰妓中弭If坟阀険Jx=IOubO波氏i:| 10*(■!►图3-8光栅缝少的衍射光强分布曲线图3-9光栅缝多的衍射光强分布曲线根据以上图像可以发现，缝数越多，相邻两波峰之间暗纹和次极大越密。3.4多缝衍射图样图3-10白光衍射条纹白光衍射如图3-10，不同波长的光对应不同的条纹分布，形成示意图如图3-11所示。图3-10白光衍射条纹多缝衍射是多光束干涉的单缝衍射调制效应，是多光束干涉和单缝衍射的综合效果。它满足由前推导的sm2usm2u0U2sinsin光强分布规律。4结语本文对夫琅和费多缝衍射从几个方面和层次上进行了大量细致的研究。通过相关实验和书籍：包括实验装置、计算机模拟、图样分析、公式推导，这些也是对多缝衍射比较全面的研究和分析，使我们对夫琅和费多缝衍射有了一定程度的了解，并得出了一个重要结论：多缝衍射光强分布是多光束干涉光强分布受单缝衍射光强分布调制的综合效果，既光栅衍射=单缝衍射+多缝干涉。并且随着研究的进一步深化，已经突破了当前的研究现状（理论和技术应用）。对此，我们以理想型光栅衍射为例，对夫琅和费多缝衍射做了一个专题性（实验研究理论）的研究，并做了大量的工作：用DIS实验研究了单缝、双缝、3缝、4缝及多缝衍射，通过对它们图像的观察总结出它们的规律，达到对多缝衍射进行理论上的研究探讨。参考文献姚启钧•光学教程[M]•第三版•北京：高等教育出版社，2002：125-135郁道银•工程光学[M]•第2版•北京：机械工业出版社，2007：356-361徐行可张晓张庆福•大学物理教程（下册）[M].成都：西南交通大学出版社，2005：477-481郑植仁•光学[M]•哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2006：162-166章志鸣•光学[M]•北京：高等教育出版社，2000：91-97福尔斯GR.现代光学导论[M]•陈时胜，译•上海：上海科技出版社，1980：111-117狄区本RW.光学[M]•李增沛，译•北京：高等教育出版社，1986：166-169李小路，江月松•光纤布拉格光栅中隙弧子EPP方法分析J]•光学技术学报，2008,32（2）：269-271陈刚，吴建红，刘全•全息光栅光刻胶掩膜槽形演化及其规律研究[J].光学技术学报,2008，32（1）：133-135王立明•计算机模拟分立双谱线光源的杨氏双缝干涉[J]•物理与工程双月刊