抽样区间估计与本容量计算释疑

抽样区间估计与样本容量计算释疑抽样推断是统计学的基本方法之一，也是统计学原理的重点学习内容之一。抽样调查特点、抽样平均误差影响因素、抽样参数估计、抽样样本容量确定等构成了这一章的重点内容，而其中的参数估计与样本容量确定则是计算的重点。本文拟通过案例与初学者谈谈如何进行抽样估计，如何确定样本容量。［例1］某市统计部门为了解全市居民年消费支出情况，从全市20万户居民中随机抽取1000户居民进行调查，经计算平均每户年生活费支出为1.8万元，标准差0.9万元。要求：⑴以95.45%（t=2）的概率保证程度估计户均生活费支出的区间。⑵估计全市居民消费总支出区间。=1000n'081 一=」一(1-—)=：—(1—0.5%)=0.028万元nN"1000x=1.8,c==1000n'081 一=」一(1-—)=：—(1—0.5%)=0.028万元nN"1000x［解题过程］已知极限误差A=tp=2x0.028=0.056万元户均年支出区间：［1.8-0.056,1.8+0.056］万元二［1.744,1.856］万元全市居民消费总支出区间：20万户x［1.744,1.856］万元=［3.488,3.712］亿元［几点说明］（1）一般而言，抽样区间估计的基本步骤是：点估计、平均误差、极限误差、置信区间。本例就是标准的均值参数区间估计题型。由于样本均值与标准差是已知的，所以无需计算点估计值。（2）本题计算时，必须注意'、方差〃与'、标准差〃的区别，不要将标准差当作方差来使用。（3）社会经济问题抽样调查一般都是采用不重复抽样的，只有当总体单位总数N未知或n/N的比重很低时，才可以采用重复抽样平均误差公式来计算平均误差。（4）估计总量指标时，可直接将样本均值的区间乘上全及总体单位总数N即可。［例2］某企业为了解本市居民对某类保健品的看法，采用简单随机抽样方式，从全市居民户中随机抽取500人进行调查结果如下：对该类保健品的态度人数喜欢320一般性100不喜欢80合计500要求：以95%的可靠性估计全市居民中''喜欢〃该产品的比率（t=1.96）。n=500,t=1.96,n=320点估计p=n1/n=320/500=64%［解题过程］已知极限误差［解题过程］已知极限误差Ap=tR=1.96x0.0215=4.21%p 平均误差Rp七亟予飞W=Q021466=2.15%喜欢该类保健品者的比率置信区间为：［64%-4.21%,64%+4.21%］=［59.79%,68.21%］［几点说明］（1）本例是标准的成数区间估计题型。其基本步骤同样是：点估计、平均误差、极限误差、置信区间。（2）成数区间估计时最容易犯的错误就是：将N、n、％相混淆。其实，若用文字表述，应该是、、从N中随机抽取n个单位进行观察，有n】个单位是（具有某种特征）……〃。并且，不要将抽样估计中提供的'、可靠性水平”当作公式中的P来使用。'、可靠性水平〃值在计算时没有其它用途，只告诉我们概率密度t的具体取值。（3）本例没有提供全市居民总人数，所以N可视作'、无穷大〃。所以采用重复抽样的平均误差公式计算抽样误差。［例3］某企业拟采用抽样技术对当天生产的5000件电子产品的耐用时间进行测试，要求有99%的可靠性（t=2.58）使耐用时间的误差范围不超过20小时。根据生产规格要求，这类电子产品耐用时数的标准差不超过150小时。问：至少应该抽取多少件产品进行质量检查（分别重复抽样与不重复抽样两种情况）。重复抽样时的样本容量n=工=2.582X1502不重复抽样时的样本容量n=Nt2Q2A 202 NA+12。2尤 尤=5000x2，582x1502 =348.3牝349（件）5000x202+2.582x1502［解题过程］已知N=5000，t=2.58,△=20,。=150［几点说明］（1）本例是样本容量确定的标准题型之一。样本容量确定其实是极限误差计算（参数估计）的反问题，因此其公式就是根据极限误差与平均误差之间的关系推导而来的。因为△二tp，等式两边平方，即有△2=t2^2，在简单随机抽样情况之下，△2=t2Q2/n，从而有上述的公式。（2）对于成数的抽样估计，X是非标志的方差o2=P（1-P）,故只要将上述公式中的方差改为P（1-P）即可。（3）样本容量估计时，「计算结果总是取整数，小数点无论是否达到0.5均应该进位，故本列中374.4与348.3均进位，分别成为375与349。（4）在样本容量确定时，允许误差或误差范围均是指极限误差寡［例4］某市质量技术监督部门拟对市场上某类牛奶制品的质量（合格率）进行检查，要求在95%的可靠性之下（t=1.96），合格率的误差范围不超过1%。根据最近三次同类检查，这类产品的合格率分别为98.9%、98.2%、97.8%。问至少应该抽多少件产品进行检验？若允许误差扩大1倍，则应该抽取多少件进行检验？TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"心*am 12P(1-P)1.962X0.978X0.022 侃)样本容量〃= <= =826.6r827^4件/& 0.012p［解题过程］已知t=1.96,A=1%,P=97.8%p\o"CurrentDocument"12P(1-P)1.962X0.978X0.022 。生)n= = =206.7r207Y件/\o"CurrentDocument"& 0.022p当允许误差扩大1倍时，即△p=2%，于是样本容量：［几点说明］（1）本例是成数估计时的样本容量确定。虽然实际的质量检验肯定是采用不重复抽样的，但由于市场上该类产品数量未知，可视作无穷大，故采用重复抽样的样本容量公式。（2）本例的关键是公式中P的选择。题中提供了三次同类检查的合格率资料，但一般不能用三者平均数作为P。样本容量确定时通常采取“保守原则”，因此应该取“最大方差”，题中提供的三次调查合格率，其方差分别为98.9%（1-98.9%）=0.010879、98.2%（1-98.2%）=0.011784、97.8%（1-97.8%）=0.021516,故取P=97.8%时方差达到最大，据之计算得出的样本容量也最大，据之作出的调查估计也是“最保守”从而也是最可靠的。（3）但必须注意的是，此例表面上看是取三个合格率的最小者作为P，但切不可据之类推，以为永远是最小的那个比率。例如，本例若改为对“不合格率“的估计，则前三次调查的不合格率是1.1%、1.8%、2.2%，若错误地认为应该取三者中的小者，就会取P=1.1%，但据之计算的方差却不是最大而是最小。此时取P=2.2%才可达到“方差最大”。其实，P=50%时成数方差达到最大值，因此，应该取最接近50%的那个比率作为样本容量公式中的P。（4）对于例3资料，其实也存在着“最大方差”原则问题，即当资料中给出了近几次类似调查的样本方差，则也应该取其中最大者作为公式中的方差。。（5）当同一次调查需要对两个以上的项目（如平均值与成数）进行估计时，应该分别计算这些项目的必要样本容量，然后取其中之大者作为最终确定的抽样单位数。［例5］对于简单随机重复抽样，在其它条件不变的情况之下，（1）抽样单位数（样本容量）分别增加1倍、3倍、减少25%、50%，则抽样平均误差分别如何变化；（2）反之，若抽样允许误差缩小20%、50%、扩大50%、100%，则抽样单位数（样本容量）应该如何变化？［解题过程］（1）设改变要求之前的样本容量为n，平均误差记为U，则当样本容量分别增加1倍、3倍、减少25%、50%时，相应的n将分别为:旧'b2 1 ，b2=圭Ng中旧v旧i旧n=2n旧、n=4n旧、n=0.75n旧、n=0.5n旧，相应抽样平均误差分别为:即样本容量扩大一倍，平均误差减少29.29%。Ig2Ig2日=Ln:b2i'4n,旧:b2-，——=0.5日1，n旧:b2■0.75n' 旧1'b2En-='质7%b2

f—=

b2

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n即样本容量扩大3倍_1 .=-■v'0.5\——=1.4142日:n 旧-旧抽样平均误差减少50%。即样本容量减少25%，抽样平均误差扩大15.47%。即样本容量减少50%，抽样平均误差扩大41.42%。(2)设改变要求之前的允许误差记为△旧，相应的样本容量记为n旧，则当抽样允许误差缩小20%、50%、扩大50%、100%，时，相应的△分别为：t2b2 t2b2n= = \-=1.5625n△2 (0.8A力 旧旧A=0.8A，A=0.5A，A=1.5A，△=2△，，相应样本容量为:即允许误差减少20%，样本单位数应该扩大0.5625倍。12b2n= 12b2n= △12b2n= △2= =4n(0.5A力旧旧12b2 v=0.4444n.5A力 旧旧n= = =0.25nA2 (2A力旧旧即允许误差减少一半，样本单位数应该扩大3倍。即允许误差扩大50%，样本单位数可以减少55.56%。即允许误差扩大1倍，样本单位数可以减少75%。［几点说明］(1)