新教材高中数学高效作业34弧度制（含解析）新人教A版必修

04/403/4/弧度制[A级新教材落实与巩固]一、选择题1．eq\a\vs4\al(【多选题】)将－1485°化成α＋2kπ(k∈Z)的形式是(AD)A．－eq\f(π,4)－8πB．eq\f(7,4)π－8πC．eq\f(π,4)－10πD．eq\f(7,4)π－10π【解析】－1485°＝－4×360°－45°＝－8π－eq\f(π,4)＝－10π＋eq\f(7,4)π，故选AD.2．已知扇形的圆心角为30°，半径为6，则该扇形的弧长为(A)A．πB．eq\f(π,2)C．eq\f(π,3)D．eq\f(π,4)【解析】因为30°＝eq\f(π,6)，所以扇形弧长l＝eq\f(π,6)×6＝π.3．已知一个扇形的弧长为6，面积为6，则这个扇形的圆心角为(C)A．1B．2C．3D．4【解析】设该扇形的圆心角为θ，半径为r，则6＝θr，且eq\f(1,2)θr2＝6，解得r＝2，θ＝3.4．把－eq\f(11π,4)表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是(A)A．－eq\f(3π,4)B．－2πC．πD．－π【解析】因为－eq\f(11π,4)＝－2π＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))，所以－eq\f(11,4)π与－eq\f(3,4)π是终边相同的角，所以－eq\f(3π,4)＝θ＋2kπ(k∈Z)，θ＝－eq\f(3,4)π－2kπ(k∈Z)，当k＝0时，且此时|θ|＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(－\f(3π,4)))＝eq\f(3π,4)是最小的，所以θ＝－eq\f(3π,4).5．若θ＝－5，则角θ的终边所在的象限是(D)A．第四象限B．第三象限C．第二象限D．第一象限【解析】因为－2π＜－5＜－eq\f(3π,2)，所以θ是第一象限角．6．下列说法中，正确的是(A)①“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位；②1°的角是周角的eq\f(1,360)，1rad的角是周角的eq\f(1,2π)；③1rad的角比1°的角要大；④用弧度制度量角时，角的大小与圆的半径有关．A．①②③B．①③④C．②③④D．①②④【解析】由角度制和弧度制的定义，知①②③说法正确；用弧度制度量角时，角的大小与所对圆弧长与半径的比有关，而与圆的半径无关，故④说法错误．故选A.二、填空题7．在△ABC中，若A∶B∶C＝3∶5∶7，则角A，B，C的弧度数分别为__eq\f(π,5)，eq\f(π,3)，eq\f(7π,15)__．【解析】因为A＋B＋C＝π，又A∶B∶C＝3∶5∶7，所以A＝eq\f(3π,3＋5＋7)＝eq\f(π,5)，B＝eq\f(5π,3＋5＋7)＝eq\f(π,3)，C＝eq\f(7π,3＋5＋7)＝eq\f(7π,15).8．已知圆心角为eq\f(2π,3)的扇形所对的弦长为2eq\r(3)，则扇形的面积为__eq\f(4π,3)__．【解析】由题意，设该扇形的半径为R，所以R＝eq\f(\r(3),sin\f(π,3))＝2，所以弧长l＝eq\f(4π,3)，所以S＝eq\f(1,2)lR＝eq\f(4π,3).9．若角α与角eq\f(8π,5)终边相同，则在[0，2π]内终边与eq\f(α,4)终边相同的角是__eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10)__．【解析】由题意得α＝eq\f(8π,5)＋2kπ(k∈Z)，则eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)＋eq\f(kπ,2)(k∈Z).又eq\f(α,4)∈[0，2π]，所以k＝0，1，2，3，此时eq\f(α,4)＝eq\f(2π,5)，eq\f(9π,10)，eq\f(7π,5)，eq\f(19π,10).10．若一扇形的弧长变为原来的eq\f(3,2)倍，半径变为原来的一半，则该扇形的面积为原扇形面积的__eq\f(3,4)__．【解析】由于S＝eq\f(1,2)lR，令l′＝eq\f(3,2)l，R′＝eq\f(1,2)R，则S′＝eq\f(1,2)l′R′＝eq\f(1,2)×eq\f(3,2)l×eq\f(1,2)R＝eq\f(3,4)S.11．已知相互啮合的两个齿轮，大轮有32齿，小轮有18齿，当小轮转动两周时，大轮转动的角度为__eq\f(9π,4)__rad；如果小轮的转速为180转/分，大轮的半径为16cm，则大轮周上一点每秒转过的弧长为__54π__cm.【解析】小轮转动两周时，大轮转动了eq\f(18,32)×2＝eq\f(9,8)(周)，所以大轮转动的角的弧度数为eq\f(9,8)×2π＝eq\f(9π,4)(rad).又小轮的转速为180转/分，所以大轮周上一点每秒转过的弧长为180÷2×eq\f(9π,4)×16÷60＝54π(cm).[B级素养养成与评价]12．eq\a\vs4\al(【多选题】)若角α的终边与角eq\f(π,6)的终边关于直线y＝x对称，且α∈(－4π，4π)，则满足题意的角α的值可能为(ABCD)A．－eq\f(11π,3)B．－eq\f(5π,3)C．eq\f(π,3)D．eq\f(7π,3)【解析】设角eq\f(π,6)的终边为射线OA，射线OA关于直线y＝x对称的射线为OB，则以OB为终边的角的集合为eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|\rc\}(\a\vs4\al\co1(α＝2kπ＋\f(π,3)，k∈Z)))).∵α∈(－4π，4π)，∴－4π＜2kπ＋eq\f(π,3)＜4π，k∈Z，∴－eq\f(13,6)＜k＜eq\f(11,6).∵k∈Z，∴k＝－2，－1，0，1，∴满足题意的α的值有－eq\f(11π,3)，－eq\f(5π,3)，eq\f(π,3)，eq\f(7π,3).13．已知集合A＝{x|2kπ≤x≤2kπ＋π，k∈Z}，集合B＝{x|－4≤x≤4}，则A∩B＝__[－4，－π]∪[0，π]__．【解析】当k＝－1，0，1时，集合A，B的解集如图所示，所以A∩B＝[－4，－π]∪[0，π].14．若一扇形的圆心角为2弧度，记此扇形的周长为C，面积为S，则eq\f(C－1,S)的最大值为__4__．【解析】设该扇形的弧长为l，所在圆的半径为r，则l＝2r，故C＝l＋2r＝2r＋2r＝4r，S＝eq\f(1,2)lr＝r2，所以eq\f(C－1,S)＝eq\f(4r－1,r2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,r)))eq\s\up12(2)＋eq\f(4,r)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,r)－2))eq\s\up12(2)＋4≤4，当r＝eq\f(1,2)时等号成立，则eq\f(C－1,S)的最大值为4.15．如图所示，已知在半径为10的⊙O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所对的弧的长度l及阴影部分的面积S.解：(1)由于⊙O的半径为10，弦AB的长为10，所以△AOB为等边三角形，∠AOB＝eq\f(π,3)，所以α＝eq\f(π,3).(2)因为α＝eq\f(π,3)，所以l＝αr＝eq\f(10π,3).又S扇形AOB＝eq\f(1,2)lr＝eq\f(1,2)×eq\f