学高中数学导数及其应用1几个常用函数的导数基本初等函数的导数公式及导数的运算法则（二）学案新人教A版选修

06/707/7/基本初等函数的导数公式及导数的运算法则(二)学习目标核心素养1.了解复合函数的概念(易混点)．2．理解复合函数的求导法则，并能求简单的复合函数的导数(重点、易错点).1.通过复合函数求导公式的学习，培养学生的数学抽象、逻辑推理的核心素养．2．借助复合函数求导及导数运算法则的综合应用，提升学生的数学运算的核心素养.1．复合函数的概念一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)和u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．思考：函数y＝log2(x＋1)是由哪些函数复合而成的？[提示]函数y＝log2(x＋1)是由y＝log2u及u＝x＋1两个函数复合而成的．2．复合函数的求导法则复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．1．已知函数f(x)＝cosx＋lnx，则f′(1)的值为()A．1－sin1 B．1＋sin1C．sin1－1 D．－sin1A[因为f′(x)＝－sinx＋eq\f(1,x)，所以f′(1)＝－sin1＋eq\f(1,1)＝1－sin1.故选A.]2．函数y＝eq\f(1,?3x－1?2)的导数是()A．y′＝eq\f(6,?3x－1?3) B．y′＝eq\f(6,?3x－1?2)C．y′＝－eq\f(6,?3x－1?3) D．y′＝－eq\f(6,?3x－1?2)C[∵y＝eq\f(1,?3x－1?2)，∴y′＝－2×eq\f(1,?3x－1?3)×(3x－1)′＝－eq\f(6,?3x－1?3).]3．函数y＝ln(x－2)的导数是________．[答案]y′＝eq\f(1,x－2)4．函数y＝eq\r(sin2x＋1)是由________三个函数复合而成的．[答案]y＝eq\r(u)，u＝v2＋1，v＝sinx复合函数的导数【例1】求下列函数的导数．(1)y＝e2x＋1；(2)y＝eq\f(1,?2x－1?3)；(3)y＝5log2(1－x)；(4)y＝sin3x＋sin3x.[解](1)函数y＝e2x＋1可看作函数y＝eu和u＝2x＋1的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(eu)′(2x＋1)′＝2eu＝2e2x＋1.(2)函数y＝eq\f(1,?2x－1?3)可看作函数y＝u－3和u＝2x－1的复合函数，∴y′x＝y′u·ux′＝(u－3)′(2x－1)′＝－6u－4＝－6(2x－1)－4＝－eq\f(6,?2x－1?4).(3)函数y＝5log2(1－x)可看作函数y＝5log2u和u＝1－x的复合函数，∴y′x＝y′u·u′x＝(5log2u)′·(1－x)′＝eq\f(－5,uln2)＝eq\f(5,?x－1?ln2).(4)函数y＝sin3x可看作函数y＝u3和u＝sinx的复合函数，函数y＝sin3x可看作函数y＝sinv和v＝3x的复合函数．∴y′x＝(u3)′·(sinx)′＋(sinv)′·(3x)′＝3u2·cosx＋3cosv＝3sin2xcosx＋3cos3x.1．解答此类问题常犯两个错误(1)不能正确区分所给函数是否为复合函数；(2)若是复合函数，不能正确判断它是由哪些基本初等函数复合而成．2．复合函数求导的步骤[跟进训练]1．求下列函数的导数．(1)y＝103x－2；(2)y＝ln(ex＋x2)；(3)y＝2sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6)))；(4)y＝eq\f(1,\r(1－2x)).[解](1)令u＝3x－2，则y＝10u，所以y′x＝y′u·ux′＝10uln10·(3x－2)′＝3×103x－2ln10.(2)令u＝ex＋x2，则y＝lnu，所以y′x＝y′u·u′x＝eq\f(1,u)·(ex＋x2)′＝eq\f(1,ex＋x2)·(ex＋2x)＝eq\f(ex＋2x,ex＋x2).(3)设y＝2sinu，u＝3x－eq\f(π,6)，则y′x＝y′u·u′x＝2cosu×3＝6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3x－\f(π,6))).(4)设y＝u－eq\f(1,2)，u＝1－2x，则y′x＝y′u·u′x＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ueq\s\up12(－\f(1,2))))′·(1－2x)′＝－eq\f(1,2)ueq\s\up12(－eq\f(3,2))×(－2)＝(1－2x)eq\s\up12(－eq\f(3,2)).复合函数与导数的运算法则的综合应用【例2】求下列函数的导数．(1)y＝eq\f(ln3x,ex)；(2)y＝xeq\r(1＋x2)；(3)y＝xcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2))).[解](1)∵(ln3x)′＝eq\f(1,3x)×(3x)′＝eq\f(1,x)，∴y′＝eq\f(?ln3x?′ex－?ln3x??ex?′,?ex?2)＝eq\f(\f(1,x)－ln3x,ex)＝eq\f(1－xln3x,xex).(2)y′＝(xeq\r(1＋x2))′＝x′eq\r(1＋x2)＋x(eq\r(1＋x2))′＝eq\r(1＋x2)＋eq\f(x2,\r(1＋x2))＝eq\f(?1＋2x2?\r(1＋x2),1＋x2).(3)∵y＝xcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(π,2)))＝x(－sin2x)cos2x＝－eq\f(1,2)xsin4x，∴y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)xsin4x))eq\s\up12(′)＝－eq\f(1,2)sin4x－eq\f(x,2)cos4x·4＝－eq\f(1,2)sin4x－2xcos4x.应用复合函数的求导法则求导，应注意以下几个方面：(1)中间变量的选取应是基本函数结构．(2)正确分析函数的复合层次，并要弄清每一步是哪个变量对哪个变量的求导．(3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导．(4)善于把一部分表达式作为一个整体．(5)最后要把中间变量换成自变量的函数．熟练后，就不必再写中间步骤．[跟进训练]2．求下列函数的导数．(1)y＝sin2eq\f(x,3)；(2)y＝sin3x＋sinx3；(3)y＝eq\f(1,\r(1－x))；(4)y＝xln(1＋x)．[解](1)∵y＝eq\f(1－cos\f(2,3)x,2)，∴y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)－\f(cos\f(2,3)x,2)))eq\s\up12(′)＝eq\f(1,3)sineq\f(2,3)x.(2)y′＝(sin3x＋sinx3)′＝(sin3x)′＋(sinx3)′＝3sin2xcosx＋cosx3·3x2＝3sin2xcosx＋3x2cosx3.(3)y′＝eq\f(0－?\r(1－x)?′,1－x)＝eq\f(－\f(1,2)?1－x?eq\s\up12(－\f(1,2))?1－x?′,1－x)＝eq\f(1,2?1－x?\r(1－x)).(4)y′＝x′ln(1＋x)＋x[ln(1＋x)]′＝ln(1＋x)＋eq\f(x,1＋x).导数运算法则的综合应用[探究问题]1．若直线y＝x＋b与曲线y＝ex相切于点P，你能求出切点坐标及b的值吗？[提示]设P(x0，y0)，由题意可知y′|eq\s\do6(x＝x0)＝eeq\s\up12(x0)，所以eeq\s\up12(x0)＝1，即x0＝0，∴点P(0,1)．由点P(0,1)在直线y＝x＋b上可知b＝1.2．若点P是曲线y＝ex上的任意一点，求点P到直线y＝x的最小距离？[提示]如图，当曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线与直线y＝x平行时，点P到直线y＝x的距离最近，则曲线y＝ex在点P(x0，y0)处的切线斜率为1，又y′＝(ex)′＝ex，∴eeq\s\up12(x0)＝1，得x0＝0，代入y＝ex，得y0＝1，即P(0,1)．利用点到直线的距离公式得最小距离为eq\f(\r(2),2).【例3】(1)曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是()A．eq\r(5) B．2eq\r(5)C．3eq\r(5) D．0(2)设曲线y＝eax在点(0,1)处的切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，则a＝________.思路探究：(1)eq\x(设P?x0，y0?)→eq\x(\a\al(由y′|eq\s\do6(x)eq\s\do6(＝x0)＝2,求P?x0，y0?))→(2)eq\x(求y′|x＝0)→eq\x(由y′|x＝0＝2求a的值)(1)A(2)2[(1)设曲线y＝ln(2x－1)在点(x0，y0)处的切线与直线2x－y＋3＝0平行．∵y′＝eq\f(2,2x－1)，∴y′|eq\s\do6(x＝x0)＝eq\f(2,2x0－1)＝2，解得x0＝1，∴y0＝ln(2－1)＝0，即切点坐标为(1,0)．∴切点(1,0)到直线2x－y＋3＝0的距离为d＝eq\f(|2－0＋3|,\r(4＋1))＝eq\r(5)，即曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋3＝0的最短距离是eq\r(5).(2)令y＝f(x)，则曲线y＝eax在点(0,1)处的切线的斜率为f′(0)，又切线与直线x＋2y＋1＝0垂直，所以f′(0)＝2.因为f(x)＝eax，所以f′(x)＝(eax)′＝eax·(ax)′＝aeax，所以f′(0)＝ae0＝a，故a＝2.]1．(变条件)本例(1)的条件变为“曲线y＝ln(2x－1)上的点到直线2x－y＋m＝0的最小距离为2eq\r(5)”，求m的值．[解]由题意可知，设切点P(x0，y0)，则y′|eq\s\do6(x＝x0)＝eq\f(2,2x0－1)＝2，∴x0＝1，即切点P(1,0)，∴eq\f(|2－0＋m|,\r(5))＝2eq\r(5)，解得m＝8或－12.即实数m的值为8或－12.2．(变结论)求(2)中曲线的切线与坐标轴围成的面积．[解]由题意可知，切线方程为y－1＝2x，即2x－y＋1＝0.令x＝0得y＝1；令y＝0得x＝－eq\f(1,2).∴SΔ＝eq\f(1,2)×eq\f(1,2)×1＝eq\f(1,4).本题正确的求出复合函数的导数是前提，审题时注意所给点是否是切点，挖掘题目隐含条件，求出参数，解决已知经过一定点的切线问题，寻求切点是解决问题的关键．1．导数的求法对于函数求导，一般要遵循先化简、再求导的基本原则．求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用．首先，在化简时，要注意化简的等价性，避免不必要的运算失误；其次，利用导数公式求函数的导数时，一定要将函数化为基本初等函数中的某一个，再套用公式求导数．2．求简单复合函数f(ax＋b)的导数实质是运用整体思想，先把简单复合函数转化为常见函数y＝f(u)，u＝ax＋b的形式，然后再对y＝f(u)与u＝ax＋b分别求导，并把所得结果相乘．灵活应用整体思想把函数化为y＝f(u)，u＝ax＋b的形式是关键．1．函数y＝(x2－1)n的复合过程正确的是()A．y＝un，u＝x2－1 B．y＝(u－1)n，u＝x2C．y＝tn，t＝(x2－1)n D．y＝(t－1)n，t＝x2－1[答案]A2．函数y＝(2019－8x)3的导数y′＝()A．3(2019－8x)2 B．－24xC．－24(2019－8x)2 D．24(2019－8x)2C[y′＝3(2019－8x)2×(2019－8x)′＝3(2019－8x)2×(－8)＝－24(2019－8x)2.]3．函数y＝x2cos2x的导数为()A．y′＝2xcos2x－x2sin2xB．y′＝2xcos2x－2x2sin2xC．y′＝x2cos2x－2xsin2xD．y′＝2xcos2x＋2x2sin2xB[y′＝(x2)′cos2x＋x2(cos2x)′＝2xcos2x＋x2(－sin2x)·(2x)′＝2xcos2x－2x2sin2x.]4．已知f(x)＝ln(3x－1)，则f′(