高中数学题型解法归纳《函数的零点个数问题》

高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第13讲:函数零点个数问题的求解方法【知识要点】一、方程的根与函数的零点(1)定义：对于函数y=f(x)(xeD),把使f(x)=0成立的实数x叫做函数y=f(x)(xeD)的零点.函数的零点不是一个点的坐标，而是一个数，类似的有截距和极值点等函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的实数根，亦即函数y=f(x)的图像与x轴的交点的横坐标，即：方程f(x)=0有实数根o函数y=f(x)的图像与x轴有交点O函数y=f(x)有零^占八、、•零点存在性定理：如果函数y=f(x)在区间［a,b］上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f(a)-f(b)<0，那么函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在ce(a,b)使得f(c)=0，这个c也就是方程的根.函数y=f(x)在区间［a,b］上的图像是一条连续不断的曲线，并且有f(a)-f(b)<0是函数y=f(x)在区间(a,b)内至少有一个零点的一个充分不必要条件.零点存在性定理只能判断是否存在零点，但是零点的个数则不能通过零点存在性定理确定，一般通过数形结合解决.二、二分法二分法及步骤对于在区间［a,b］上连续不断，且满足f(a)-f(b)<0的函数y=f(x)，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到函数零点近似值的方法叫做二分法给定精确度*，用二分法求函数的零点近似值的步骤如下：第一步：确定区间［a,b］，验证f(a)-f(b)<0，给定精确度*.第二步：求区间(a,b)的中点x.i第三步：计算f(x):①若f(x)=0，则x就是函数的零点；②若f(a)・f(x)<0，贝卩令b=x(此iiiii时零点xe(a,x))③若f(x)・f(b)<0，则令a=x(此时零点xe(x,b))0iii0i第四步：判断是否达到精确度*即若|a-b宀，则得到零点值a或b，否则重复第二至第四步.三、一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a丰0)的根的分布讨论一元二次方程f(x)=ax2+bx+c=0(a丰0)的根的分布一般从以下个方面考虑列不等式组：b、、(1)a的符号；(2)对称轴x—_的位置；(3)判别式的符号；(4)根分布的区间端点的函2a数值的符号.四、精确度为0.1指的是零点所在区间的长度小于0.1，其中的任意一个值都可以取；精确到0.1指的是零点保留小数点后一位数字，要看小数点后两位，四舍五入五、方法总结函数零点问题的处理常用的方法有：(1)方程法；(2)图像法；(3)方程+图像法.【方法点评】方法一方程法使用情景方程可以直接解出来.解题步骤先解方程，再求解.【例1】已知函数f(x)=3x2+2(l-a)x-a(a+2)区间(—1,1)内有零点，求实数a的取值范围./j十2【解析】令丁｛?0=0得8+盘+2)(兀一＜0=0所臥西=；花口十2所以产丈1或-1解之得3所以实数o的取值范围为【点评】(1)本题如果用其它方法比较复杂，用这种方法就比较简洁关键是能发现方程能直接解出来.(2)对于含有参数的函数要尝试因式分解，如果不好因式分解，再考虑其它方法【反馈检测1】函数f(x)—(x—1)cosx2在区间［0,4］上的零点个数是()A・4B・5C・6D.7方法二图像法使用情景一些简单的初等函数或单调性容易求出，比较容易画出函数的图像解题步骤先求函数的单调性，再画图分析.学科@网【例2】(2017全国高考新课标I理科数学)已知函数f(x)二ae2x+(a-20-x.讨论f(x)的单调性；若f(x)有两个零点，求a的取值范围.【解析】〔1〕了3定义域为/r(x)=2^^-1=-1X2^K十1).若0:则f\x)<0,所以.在g+oo)上单调递减.若口a0』则由f\x)=Q得疋=一1口应.当-]nf?)时，广3e当JtE(—1H屯十30)时，/U)>0所以『㈤在〔―忑―曲6上单调递减,在(-In%+00)上单调递増一(2)①若a<0,由(1)知f(x)至多有一个零点.1②若a〉0，由(1)知当x=-lna时，f(x)取得最小值，f(-lna)=1-+lna.a当a=1时，f(-lna)=0，故f(x)只有一个零点.1当ae(1,+w)时，由于1-+lna>0，即f(-lna)>0，故f(x)没有零点.a1当ae(0,1)寸，1—+lna<0，即f(—lna)<0.af(-2)=ae-4+(a—2)e-2+2>-2e-2+2>0,故f(x)在(s,-lna)只有一个零点.3设正整数n满足n>ln(—-1),则f(n)=e«0(ae«0+a-2)-n>e”0-n>2”0-n>000a00003由于ln(—-1)>-lna,因此/(x)在(-lna,+s)有一个零点.a综上所述，a的取值范围为(0,1).【点评】(1)本题第2问根据函数的零点个数求参数的范围，用的就是图像法.由于第1问已经求出了函数的单调性，所以第2问可以直接利用第1问的单调性作图分析.⑵当ae(0,1)时，要先判断(-^,lna)的零点的个数，此时考查了函数的零点定理，f(-lna)<0，还必须在该区间找一个函数值为正的值，它就是f(-2)=ae-4+(a-2)e-2+2>-2e-2+2>0,要说明f(-2)>0，这里利用了放缩法，丢掉了ae-4+ae-2.(3)当ae(0,1)时，要判断(-lna,+Q上的零点个数，也是在考查函数的零点定理，还要在该

3区间找一个函数值为正的值，它就是n>In(—-1)，再放缩证明f(n0)>o.(4)由此题可以看出零点定0a0理在高考中的重要性.【例3】已知x=3是函数f(x)=aln(1+x)+x2—10x的一个极值点.(I)求a；(II)求函数f(x)的单调区间；(III)若直线y=b与函数y二f(x)的图象有3个交点，求b的取值范围.【解析】(I)因仍3=总_*1(｝所以/^)=£_6-10=0因此盘=16(II)由(I)知,/(jt)=161n(l401)「2/w=-工*「2/w=-L-x当丘(―U)U伐伽)时,/(X)>O5当施(1⑶时‘C工)e所次丁(对的单调増区间是(一1j)=g柚)，丁(对的单调减区间是(1=刍).(III)由(II)知，f(x)在(—1,1)内单调增加，在(1,3)内单调减少，在(3,+8)上单调增加，且当x=1或x=3时，f'(x)=0所以f(x)的极大值为f(1)=16ln2—9，极小值为f(3)=32ln2—21因此f(16)=162—10x16>16ln2—9=f(1)f(e-2—1)<—32+11=—21<f(3)所以在f(x)的三个单调区间(—1,1),(1,3),(3,+8)直线y=b有y=f(x)的图象各有一个交点，当且仅当f(3)<b<f(1)，因此，b的取值范围为(32ln2—21,16ln2—9)【点评】本题第(3)问，由于函数f(x)中没有参数，所以可以直接画图数形结合分析解答.ex【反馈检测2】已知函数f(x)=，其中a为实数，常数e=2.718….1+ax2(1)若x=3是函数f(x)的一个极值点，求a的值；⑵当a=—4时，求函数f(x)的单调区间；(3)(3)当a取正实数时，若存在实数m，使得关于x的方程f(x)=m有三个实数根，求a的取值范围.方法三方程+图像法使用情景函数比较复杂，不容易求函数的单调性.解题步骤先令f(x)=0，重新构造方程g(x)=h(x)，再画函数y=g(x),y=h(x)的图像分析解答.【例4】函数f(x)=lgx—cosx的零点有()A.4个B.3个C.2个D.1个【解析】由丁国=1沪-3空玄=匕可化为1肿=4兀画出沮二1呂工和尸CO5无的图像'可得出两个函数有3个交点，所以选项B正确所以S.【点评】(1)本题主要考察零点的个数，但是方程f(x)=lgx-cosx=0也不好解，直接研究函数的单调性不是很方便，所以先令f(x)=lgx—cosx=0，可化为lgx=cosx，再在同一直角坐标系下画出y=lgx和y=cosx的图像分析解答.(2)方程+图像是零点问题中最难的一种，大家注意理解掌握和灵活应用.1【反馈检测3】设函数f(x)=—x2一mlnx,g(x)=x2—(m+1)x,m>0.2<求函数f(x)的单调区间；当m>1时，讨论函数f(x)与g(x)图象的交点个数.高中数学常见题型解法归纳及反馈检测第13讲：

函数零点个数问题的求解方法参考答案【反馈检测1答案】c【反愦检测1详细解析】令可得无二1或cosjT=0H或宀昭2]CEZ■.■xe[0:4]/HiJ^e[0:16],/.k可取的值有0丄吊片•••方程共有6个解,•••國数収-哄在区间应4］上的零点个数为自个，故选U.【反馈检测2答案】(1)a=5；(2)f(x)的单调增区间是(1—兰5,丄)，(丄,1+迈)5^2^2^22<f(xf(x)的单调减区间是(—8,—㊁)，(一2，i—,(1+―,+8)；(3)a的取值范围是(1,+8)2<(1+ax2)2【反馈检测2详细解析】(1)f'(x)=(ax2(1+ax2)211因为x=3是函数f(x)的一个极值点，所以f'(3)=0TOC\o"1-5"\h\z129即a—a+1=0,a=935995915而当a=_时，ax2—2ax+1=_(x2—2x+—)=(x—)(x—)，559533\o"CurrentDocument"19可验证：x=3是函数f(x)的一个极值点.因此a=5(2)当a=-4时，f'(x)二(—4x2+8x+1)e(2)当a=-4时，f'(x)二令f'(x)=0得—4x2+8x+1=0，解得x=1±乞5，而x工土丄22x(1)x(1)(-8，-2)(-扑刍(51——2辰1(1-』,丄)22(11^'5)(1+T)1+昱2(1+齐)f'(x)——0++0—f(x)极小值//极大值所以当X变化时，f(x)、f(x)的变化是因此f(x)的单调增区间是(1—^^,*)，(£,1+^^)；f(x)的单调减区间是(—8,—2)，(—22)'⑶当盘⑶当盘取正实数时』(1令=0得妙^込—占，当应:>1当应:>1时』解■得如=aAx)在(-叫勺)和(抵+呵上单调递增，在g宀)上单调递减；但是團数值恒天于零；扱大值心,极小值fd并且根据指数国数和二次函数的变化速度可知当―世时，畑二哉严“斗.*用X超我因此当gwg咋刑最梦有一个实数根，结论关于戈的方程心=聊刑最梦有一个实数根，结论不成立•因此所求q的取值范围是【反馈检测3答案】(1)单调递增区间是(m,不成立•因此所求q的取值范围是【反馈检测3答案】(1)单调递增区间是(m,+8)单调递减区间是^0^m)；(2)1.学科@网(x+Jm)(x一、m)【反馈检测3详细解析】(1)函数f(x丿的定义域为(0,+8),f'(x)=—当0<x<、：m时，f'(x)<0，函数f(x)单调递减,当x>、；'m时，f'(x)>0函数f(x)单调递增，综上，函数f(x)的单调递增区间是(m,+s综上，函数f(x)的单调递增区间是⑵令F(x)=f(x)—