数值分析实验报告-插值、逼近

0页脚内容近&插值多项式补充程，与第二章计算实习题2的结果进行比较。详见《数值分析第5版》第二章、第三章相关内容。(1)问题1：这里我们可以沿用实验报告一的代码，对其进行少量修改即可。clearallck=0:10;n=length(k);x1=cos((2*k+1)/2/n*pi);y1=1./(1+25.*x1.^2);f=y1(:);forj=2:nfori=n:-1:jf(i)=(f(i)-f(i-1))/(x1(i)-x1(i-j+1));symsFxp;F(1)=1;p(1)=y1(1);fori=2:nxip(i)=f(i)*F(i);symsPP=sum(p);P10=vpa(expand(P),5);x1:1;y0=subs(P,x,x0);y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0);plot(x0,y0,x0,y2)gridonxlabel('x')ylabel('y')exxe14*x^7-133.44*x^6+7.1777e-14*x^5+61.443*x^4-1.5805e-14*x^3-12.477*x^2-1.6214e-16*x+1.011.210.80.6y0.40.20-0.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81xFig.1牛顿插值多项式(n=10)函数和原函数图形当n=20，将上述代码中的“k=0:10;”改为“k=0:20;”即可。12*x^17+77754.0*x^16-99300.0*x^14+3.7253e-9*x^13+78236.0*x^12-39333.0*x^10+12636.0*x^8-4.6566e-10*x^7-2537.3*x^6+306.63*x^4-21.762*x^2+1.00页脚内容110.90.80.70.60.50.40.30.20.10-1x-0.8-0.6-0.4-0.20.40.60.80.2y1Fig.2牛顿插值多项式(n=20)函数和原函数图形加，其误差不断变大，但是在本次实验中，我们不难发现，虽然多项式依旧存在震荡现象，Fig.3实验一结果0页脚内容这个例子说明：采用切比雪夫节点替代等距节点可以消除龙格现象。(2)问题2：个点的值，所以这里可以用两种方法进行函数逼近得到拟合曲线。clearallcn=3;y1=1./(1+25.*x1.^2);symsSGdax;fori=1:n+1;forj=1:n+1;G(i,j)=sum(x1.^(i+j-2));fori=1:n+1;d(i)=sum(x1.^(i-1).*y1);fori=1:n+1S=vpa(X*a,5)x:1;y0=subs(S,x,x0);y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0);plot(x0,y0,x0,y2)gridonxlabel('x')ylabel('y')我们可以得到一个三次多项式：S3=1.1665e-16*x^3-0.57518*x^2-9.4553e-17*x+0页脚内容11.210.80.6y0.40.20-0.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81xFig.4最小二乘法n=3的结果的3次项系数非常小，原因是原函数是一个偶函数，这将导致奇次项系数基本为0。S4=1.4852*x^4+1.3703e16*x^32.0604*x^21.1769e16*x+0.65522S6=4.633*x^6+4.0789e14*x+0.78461S8=20.466*x^83.8972e12*x^38.5318*x^2+4.2796e14*x^5+8.4769*x^45.28e14*x^34.5969*x^2+1.3229e12*x^743.601*x^6+6.9014e12*x^5+30.817*x^43.4363e13*x+0.88802S10=220.94*x^105.1978e9*x^9+494.91*x^8+1.0649e8*x^7381.43*x^66.9693e9*x^5+123.36*x^4+1.6139e9*x^316.855*x^29.6021e11*x+1.0S20=318.82*x^20+74.132*x^19+43.205*x^1883.871*x^17+91.867*x^16+68.562*x^15+29.364*x^1456.393*x^13+260.42*x^1232.957*x^11+79.822*x^10+1.8279*x^9139.85*x^8+49.564*x^7121.95*x^623.918*x^5+90.922*x^4+3.1437*x^315.933*x^20.090653*x+1.011.210.80.6y0.40.20-0.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81xFig.5最小二乘法n=4的结果110.90.80.70.60.50.40.30.20.10-1x-0.8-0.6-0.4-0.20.40.60.80.2y1Fig.6最小二乘法n=6的结果11.210.80.6y0.40.20-0.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81xFig.7最小二乘法n=8的结果221.51y0.50-0.5-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81xFig.8最小二乘法n=10的结果0页脚内容0页脚内容3302520y505-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81xFig.9最小二乘法n=20的结果不难发现，拟合结果并不理想，当n=8时与原函数较为接近，而当n取其他值时，都有着比较大的误差，说明采用最小二乘法考虑这个问题并不是一个十分好的方法，对yi进行适当变形可能可以得到更好的结果。同时，由于知道f(x)，这道题我们也可以采用最佳平方逼近的方法，编写代码如下：clearallcsymsSHadx;n=3;fori=1:n+1d(i)=int(x^(i-1)/(1+25*x^2),x,-1,1);fori=1:n+1forj=1:n+1H(i,j)=int(x^(i+j-2),x,-1,1);fori=1:n+1S=vpa(X*a,5)x:1;y0=subs(S,x,x0);y2=subs(1/(1+25*x^2),x,x0);plot(x0,y0,x0,y2)gridonxlabel('x')ylabel('y')0页脚内容11.210.80.6y0.40.20-0.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81xFig.10最佳平方逼近n=3的结果不然发现采用这种方法有着和最小二乘法相同的问题，同样我们这里也对n取不同的S4=1.8689*x^4-2.3055*x^2+0.66942S6=-4.9969*x^6+8.6828*x^4-4.5768*x^2+0.77758S8=13.392*x^8-29.995*x^6+23.105*x^4-7.199*x^2+0.85042S10=-35.931*x^10+98.491*x^8-100.08*x^6+46.465*x^4-9.8945*x^2+0.89942S20=5023.5*x^20-26343.0*x^18+59469.0*x^16-75642.0*x^14+59603.0*x^12-30157.0*x^10+9844.2*x^8-2038.8*x^6+259.82*x^4-19.945*x^2+0.986211.210.80.6y0.40.20-0.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81xFig.11最佳平方逼近n=4的结果11.210.80.6y0.40.20-0.2-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81xFig.12最佳平方逼近n=6的结果11.210.80.6y0.40.20-0.2-1-0.8-0.6-0.4