不定积分习题

习课六内：不定分的概念及积分方法基要:．理解原函数与不定积分的概念。．掌握不定积分的性质及不定积分与导数的关系。．掌握不定积分的积分方.．会求简单的有理函数、无理函数、三角函数有理式的不定积分。内与法讲一原函与定分概．原数定义：在间I上若f(x)即dFx)f(x)

，称函数

F()是函数

f(x

在区间I上的一个原函数。．原数存在的条:若函数

f(x

在区间

I

上连续。则

f(x

在区间

I

上有原函数.．不积分：函数

f(x

在区间

I

上的所有原函数

F()

称为

f(x

在区间

I

上的不定积分，记作

f()F)

。．不积分与导数关系：（1先积分再求导（或微分）[x)](x)，d[dx]()（2先求导(或微分）再积分

；

Fdx(x)C

或

()Fx)

．不积分的线性：（1)

)kx)

；（2

(x)])dx

二基积公（略)三不积的法．拆积分法利不定积分的线性性个复杂的不定积分拆成若干个基本积分公式中的积分，从而进行积分键体现在拆项上，例如：通过有理利用三角公式；在分子上加一项，减一项等都是常用的手段.．凑分法：

f[x)]x)[x)]

主要用来解决复合函数的积切地说是复合函数与之间变量导数之积的积分要熟练常用的几个凑微分式子：（1)

f()

1a

f()d)(0)

；（2)

f(ax

1a

f(

)d(

(0)

；（3）

f)

f(ln)dln

；（4）

(

f(

)

；（5）

fx)12

)darctan

；（6）

fx)12

dx(arcsin)x

；（7）

f(sinxxdxx)sinx

；（8）

f(cos)sinxdxx)cos

；

f(tan)2

f(tan)dx

；（10

f(sec)secxtan

f(secx

；（11

f()f()f(

lnf(x).多用于解决无理函数的积分。要掌握几个常用的固定换元：换元名称

被积函数特点

具体换元公式

换元目的含有

a

2

2

sin三角换元

含有

2

xtant

去根号化为有理函含有

xtan

sect

数或三角根式换元

含有

ax

t

函数有理

根式换元

含有

axcx

t

n

axcx

式的积分倒代换

分母幂次比

x

1t

降低分母分子幂次较高

幂次)v()dx．分积分法:或())vx)(x)主要用来解决两类不同的简单函数乘积的积分.关键是掌握好

u(x与

的选取，原则是

v

好找原函数，

u(x

的导数简单，积分

v(dx

积分

(x

容易（至少不难掌以下几种常见类型的分部积分：被积函数类型

条件

(x

取作

v

取作

目的幂函数×三角函数幂函数×指数函数幂函数×对数函数幂函数×反三角函数

正整数次幂正整数次幂实数次幂实数次幂

幂函数幂函数对数函数反三角函数

三角函数指数函数幂函数幂函数

降低幂次降低幂次去掉对数函数去掉反三角函数指数函数×三角函数

u(x与v

任用两次分部积分，出“打回头”四几特函的分

f(x)f(x)dx例题精1若

f(x)xe

，函数fx).解.)对等式两边同时求导，有

f(x)xe．若数

f(x

满足

f2x

，且

f

，求函数

fx).解tan

f

2sec

改写为

f

，再)对等式两边同时求积分，有f)2x)tan2xxd22)2tan

2

2)

2

.所以，

f(x)

12

,由

1f(0)得C，是f()x.23设函数

f(x),

xx

求不定积分

f(dx解

F(x)

f)dx

）当

x

时，

F(x)

f(x)dx

2

；当

x

时，

Fx)

f(x)xdxx

。有

F)F(0(0)

,有

C1

，得

C1

。所以，

2,,

xx0.4若

f(x

的一个原函数为lnx，不定积分

解

f(x

f

由

f(x

的一个原函数为2，

f)ln

,所以

f(x)

2lnx

。于是，

dxxf)

f)2lnln2x．设函数

F()

是

f(x

在

x

时的一个原函数，满足

f(x)F(x

x)

,且f(xF(0)(x)0.求数.解F()F()

f(x)F(x

x)

f(x由

F()(x

的一个原函数及

f(x)F(x)

xex)

，有

F()

xx)

,对上式两边同时求积,得F(x)2

F()dx

xx)

1dxx()1x(1)xx()212(1x)

.由

F及()0得C0，Fx)

ex

,所以,

fxF

dexe/2()12(1)

/2

.6求下列不定积分（1）

x1lnx

；(2）

(ex)

；（2)

4x

；（4）

arctan12

1

；（5)

tanx

；（6）

lntansin

dx

。解：(1）

xx

(1lnx)d(1x)1

arctan1x22arctan1x22

[ln

11

2]dln)(1x)3

3/2

ln

（2）

(

x

dx4x1(ex(ex)4(e2x2(2x4

111[(e2(ex(e

2x

1exC(ex(e23exC

。（3

4

dxx

d1)2xx2

darcsinx

xlnarcsin2

。（4)

dx

x

arctan1x[1)x

arctan1dxx(]1)2]x1arctand

11(arctan)2

。(5)

tanx

dx

dx

C

.（6)

lntanxlntanlntanxxcosxtanx

dxdlntanx

12

2tanx

7求下列不定积分（1）

33

；）

(x

dx;（）32x(12)

。解）()

x3x3

2(12

)dxdx()xln2(3)2x)22

2xln

2

arctan3

(1)23

22xlnarctan.(x3

2

（2

(x

n

)

(xx

n

)

n

x(

dx(x33323(x323(x32

dx

31[3x3(x3

dxdx(1][](32333x31x31(ln).3x33（3令

1t

,则

t2

，于

x

8

dx

2

t)1

2

dt

(t

6

4

2

1)dt1

ttt11arctant).7tx53x3x．下列不定积分（1）

sincos1

dx

；（）

2tanxcosx

；（3）

xcos

；

(4）

xx

解1

fxcosxdx

cossindxx

x

sin

dsin21arctan(sinx)1x)

R(sin

,

x)dx

，

tanx

2x

(tan22tandx

xtan

tanx2xtanx.4323

311311

1sin2cos(sin2cosx

(secxx)dxxxx)x4

1sin(sectanx)x(44cos2

tan)）方法一

sinx1(sincosx)(sinxcosx)1sindxdxsinxx2xcosx2sinxx

)dxd(sincos)[x](lnxcosx.sinxx2方法二（伴侣型积分记

I

xxx

，I

xx

。则II

sinxxsinxx

dx

dxII2

sinxx(sin)dxsinxxsinxcosx

sincos两式相加得

x1I(xlnsinxcos)x2方法三：

cxx

sincosx2cosxcosx22

1(1tan2)(lncos2xlntansec2x)2221(xlnsinx)2方法四:

2

sinx1x4)xsinxcosx2x4)

1(cot(xd(x(ln4))(xsincosx).(2

方法五

x

令

ttanx，xarctan

1

，于是

tantdtcosxtan

11()21

)111(arctantln(1)ln1)(sinxcosx22方法六：用万能代换，令

tan

2

，则

sindxsin

2

)(1

2

1u1()1211

2

)du1arctanu2)ln1u221xxx[ln(12)tantan22

].．下列不定积分（1

4

；（2

dx

;（3

1

dx

；（

x

。解

f(

)xdx

t方法一：

32

12

)]4

12

2)/

14(4)2]d(42)(42)5/(42/53方法二：令

xt

则

dx2t

，于是42dx32t4tt)dcost4cos5t3t)5/35/2)x0时令sec(0（2)方法一

)

/

.

dx2

ttdtarccosttx

x

时，方法类结果为

dx2

arccos

1

.方法二：本题也可以通过双曲函数代换达到去根号的目的。当

x

时，令

ch

t

（

t0

x

时，方法类似，结果相同）

dx2

chtshtdtarctan(sht)x2t12t方法三：本题特别，作代换

2

也可以达到去根的目的。当

x

时，令

x

2

，则

x

2

dx

1

2

，于是

dx2

arctanx2.t2)2当

x0

时,方法类似，令

，则

2

，结果相同方法四x1令，则t

t2

。于是当0时有

dx

dt1

2

arcsintarcsin

1

当

x0

时，

dx2

dt1

2

tarcsin

1

）方法一

Rx,

)dx

令n

x

，则

tx,2

dx

2tdt2)

于是

t21tdx1)12t

txarctan2121方法二x

(x,

ax

)

222222

x1

dx

xdxdxx[x2xx

dx]1dx2)[(1/x

dx2)]xx2(注：转化为

后，也可以用代换

x

1sin2

求解）方法三：令

xsin2

，则

2sintcostdt

，于是

2sintcost2dx2)cost2x

2

.（4t

t

3

x

txt1

x

方法一：不妨设

0

（

0

时也类似）令

t

3

x

则

x

,

dxt2

，于是

xdx1

2

t5dt1

2

32

2

)

2

1

2

)d(1

2

)

35

(1

2

)

5/2

2

)

3/

2

35

(1x2)/22(12)/1（注：转化为

3

t1

后，也可以再作代换

t

求解）方法二：令

t1

x

则

(

，

tt

2

，于是

x

tt3t3()x2)5/2x)/x.10．下列不定积（1）

3x

;（2)

lnxx)/2

;（3）

arcsin

dx

；

（4）

arctan22)

；(5）

xedxe

，（6

e

)

。解

cosxddxxdsin3xsin2dxx()(sin2sin2x2sin

cot)（2

xlnx1ln(1dx)/(1)/2

)

1lnlnxd121

dxx1

ln1

d(1/)1x)

ln1

1ln()x

ln1

ln

11x

（3本(

arcsinx

1arcsin

x

arcsinx

x

arcsinxx（4因为

1(arctanx2)x21

，所

xxx2

)

xd(arctanxx

x1x()x1x

x1xx()xdxxx2

arctanx2ln221（5

dxe

(ee

2

xd

2(e

e

dx)对积分

，令

e

，则

x

，

tdt12

，于是

ex

t2dt12

1C(1)dttarctan)12ex/2.

dxex

x2)e（6)

ex

x

)

dx

x)de

xe

edxex(1x)

e

x11)()xln(1).e1x11．下列不定积（1）

lnx2

；（2)

(1tan)dx

.解）

lnxdxx11dxx()dx2lnx2xlnxln2xlnx

4545

dxdxlnx2lnxlnx（2）

2dxtanxtanx)

2x

(sec

2

)

2

d

2x

tanxdx

2x

tanx

2

tan

2x

tanxdx2xtan.同练：求

。（

x3xx4

）

1x

。

(

1lnx

)

．

求

1x

。（

lnsin

）求

dx

。

(

4

)xx