2023年高考数学一轮复习第10章计数原理、概率、随机变量及其分布第1节分类加法计数原理与分步乘法计数原理学案理北师大版

第一节分类加法计数原理与分步乘法计数原理[考纲](教师用书独具)1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理.2.能正确区分“类〞和“步〞，并能利用两个原理解决一些简单的实际问题．(对应学生用书第169页)[根底知识填充]1．分类加法计数原理完成一件事，可以有n类方法，在第一类方法中有m1种方法，在第二类方法中有m2种方法，…，在第n类方法中有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种方法．(也称加法原理)2．分步乘法计数原理完成一件事需要经过n个步骤，缺一不可，做第一步有m1种方法，做第二步有m2种方法，…，做第n步有mn种方法．那么，完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种方法．3．分类加法计数原理与分步乘法计数原理，都涉及完成一件事的不同方法的种类．它们的区别在于：分类加法计数原理与分类有关，各种方法相互独立，用其中的任何一种方法都可以完成这件事；分步乘法计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．[根本能力自测]1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)在分类加法计数原理中，两类不同方案中的方法可以相同．()(2)在分类加法计数原理中，每类方案中的方法都能直接完成这件事．()(3)在分步乘法计数原理中，每个步骤中完成这个步骤的方法是各不相同的．()(4)在分步乘法计数原理中，事情是分两步完成的，其中任何一个单独的步骤都能完成这件事．()[答案](1)×(2)√(3)√(4)×2．(教材改编)从0,1,2,3,4,5这六个数字中，任取两个不同数字相加，其和为偶数的不同取法的种数有()A．30B．20C．10D．6D[从0,1,2,3,4,5六个数字中，任取两数和为偶数可分为两类：①取出的两数都是偶数，共有3种方法；②取出的两数都是奇数，共有3种方法，故由分类加法计数原理得共有N＝3＋3＝6种．]3．书架的第1层放有4本不同的语文书，第2层放有5本不同的数学书，第3层放有6本不同的体育书．从第1,2,3层分别各取1本书，那么不同的取法种数为()A．3 B．15C．21 D．120D[由分步乘法计数原理知，从第1,2,3层各取1本书，不同的取法种数为4×5×6＝120.应选D．]4．从集合{0,1,2,3,4,5,6}中任取两个互不相等的数a，b组成复数a＋bi，其中虚数有()A．30个 B．42个C．36个 D．35个C[∵a＋bi为虚数，∴b≠0，即b有6种取法，a有6种取法，由分步乘法计数原理知可以组成6×6＝36个虚数．]5．如图10­1­1，从A城到B城有3条路；从B城到D城有4条路；从A城到C城有4条路；从C城到D城有5条路，那么某旅客从A城到D城共有________条不同的路线．图10­1­132[不同路线共有3×4＋4×5＝32(条)．](对应学生用书第169页)分类加法计数原理(1)某位同学逛书店，发现有三本喜欢的书，决定至少买其中一本，那么购置的方案有________种．(2)满足a，b∈{－1,0,1,2}，且关于x的方程ax2＋2x＋b＝0有实数解的有序数对(a，b)的个数为________．(1)7(2)13[(1)至少买其中一本的实质是买一本或买两本或买三本，故分三类完成．第一类：买一本有3种；第二类：买两本有3种；第三类：买三本有1种．共有3＋3＋1＝7(种)买法．(2)①当a＝0时，有x＝－eq\f(b,2)，b＝－1,0,1,2，有4种可能；②当a≠0时，那么Δ＝4－4ab≥0，ab≤1，(ⅰ)当a＝－1时，b＝－1,0,1,2，有4种可能；(ⅱ)当a＝1时，b＝－1,0,1，有3种可能；(ⅲ)当a＝2时，b＝－1,0，有2种可能．所以有序数对(a，b)共有4＋4＋3＋2＝13个．][规律方法]应用分类加法计数原理应遵循的两原那么1根据题目特点恰中选择一个分类标准.2分类时应注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，且只能属于某一类即标准明确，不重不漏.[跟踪训练]椭圆eq\f(x2,m)＋eq\f(y2,n)＝1的焦点在x轴上，且m∈{1,2,3,4,5}，n∈{1,2,3,4,5,6,7}，那么这样的椭圆的个数为________.【导学号：79140337】10[因为焦点在x轴上，所以m>n.以m的值为标准分类，可分为四类：第一类，m＝5时，使m>n，n有4种选择；第二类，m＝4时，使m>n，n有3种选择；第三类，m＝3时，使m>n，n有2种选择；第四类，m＝2时，使m>n，n有1种选择．由分类加法原理知，符合条件的椭圆共有4＋3＋2＋1＝10个．]分步乘法计数原理(1)(2023·全国卷Ⅱ)如图10­1­2，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，那么小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为()图10­1­2A．24 B．18C．12 D．9(2)从－1,0,1,2这四个数中选三个不同的数作为函数f(x)＝ax2＋bx＋c的系数，那么可组成________个不同的二次函数，其中偶函数有________个(用数字作答)．(1)B(2)186[(1)分两步，第一步，从E→F，有6条可以选择的最短路径；第二步，从F→G，有3条可以选择的最短路径．由分步乘法计数原理可知有6×3＝18条可以选择的最短路程．(2)一个二次函数对应着a，b，c(a≠0)的一组取值，a的取法有3种，b的取法有3种，c的取法有2种，由分步乘法计数原理知共有3×3×2＝18(个)二次函数．假设二次函数为偶函数，那么b＝0，同上可知共有3×2＝6(个)偶函数．][规律方法]利用分步乘法计数原理应注意以下三点1要按事件发生的过程合理分步，即分步是有先后顺序的.2各步中的方法互相依存，缺一不可，只有各步骤都完成才算完成这件事.3对完成每一步的不同方法数要根据条件准确确定.[跟踪训练](1)(2023·北京西城区二模)大厦一层有A，B，C，D四部电梯，3人在一层乘坐电梯上楼，其中2人恰好乘坐同一部电梯，那么不同的乘坐方式有________种(用数字作答)．(2)设集合A＝{－1,0,1}，B＝{0,1,2,3}，定义A*B＝{(x，y)|x∈A∩B，y∈A∪B}，那么A*B中元素的个数为________．(1)36(2)10[(1)从3人中选择两人同乘一部电梯有Ceq\o\al(2,3)＝3种选择，这两人乘坐的电梯有4种选择，最后1个乘坐的电梯有3种选择，所以不同的乘坐方式有3×4×3＝36种．(2)易知A∩B＝{0,1}，A∪B＝{－1,0,1,2,3}，所以x有2种取法，y有5种取法，由分步乘法计数原理，A*B的元素有2×5＝10个．]两个计数原理的综合应用(1)(2023·郑州第二次质量预测)将数字“124467”重新排列后得到不同的偶数个数为()A．72 B．120C．192 D．240(2)如图10­1­3所示的五个区域中，现有四种颜色可供选择，要求每一个区域只涂一种颜色，相邻区域所涂颜色不同，那么不同的涂色方法种数为()图10­1­3A．24 B．48C．72 D．96(1)D(2)C[(1)个位数字是2或6时，不同的偶数个数为Ceq\o\al(1,2)·eq\f(A\o\al(5,5),2)＝120；个位数字是4，不同的偶数个数为Aeq\o\al(5,5)＝120，那么不同的偶数共有120＋120＝240个，应选D．(2)分两种情况：①A，C不同色，先涂A有4种，C有3种，E有2种，B，D有1种，有4×3×2＝24(种)涂法．②A，C同色，先涂A有4种，E有3种，C有1种，B，D各有2种，有4×3×2×2＝48(种)涂法．故共有24＋48＝72种涂色方法．][规律方法]与两个计数原理有关问题的解题策略1在综合应用两个原理解决问题时，一般是先分类再分步，但在分步时可能又会用到分类加法计数原理.2对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地画出示意图或列出表格，化抽象为直观.[跟踪训练](1)如果一条直线与一个平面垂直，那么称此直线与平面构成一个“正交线面对〞．在一个正方体中，由两个顶点确定的直线与含有四个顶点的平面构成的“正交线面对〞的个数是()A．48 B．18C．24 D．36(2)(2023·杭州调研)集合M＝{1,2,3,4}，集合A，B为集合M的非空子集，假设对任意x∈A，y∈B，x<y恒成立，那么称(A，B)为集合M的一个“子集对〞，那么集合M的“子集对〞共有________个.【导学号：79140338】(1)D(2)17[(1)分类讨论：第一类，对于每一条棱，都可以与两个面构成“正交线面对〞，这样的“正交线面对〞有2×12＝24(个)；第二类，对于每一条面对角线，都可以