2023年高考数学一轮复习第9章算法初步、统计与统计案例第3节统计图表、用样本估计总体学案理北师大版

第三节统计图表、用样本估计总体[考纲](教师用书独具)1.了解分布的意义与作用，能根据概率分布表画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图，体会它们各自的特点.2.理解样本数据标准差的意义和作用，会计算数据标准差.3.能从样本数据中提取根本的数字特征(如平均数、标准差)，并做出合理的解释.4.会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的根本数字特征估计总体的根本数字特征．理解用样本估计总体的思想，会用样本估计总体的思想解决一些简单的实际问题．(对应学生用书第162页)[根底知识填充]1．常用统计图表(1)频率分布表的画法：第一步：求极差，决定组数和组距，组距＝eq\f(极差,组数)；第二步：分组，通常对组内数值所在区间取左闭右开区间，最后一组取闭区间；第三步：登记频数，计算频率，列出频率分布表．(2)频率分布直方图：反映样本频率分布的直方图．横轴表示样本数据，纵轴表示eq\f(频率,组距)，每个小矩形的面积表示样本落在该组内的频率．(3)频率分布折线图和总体密度曲线①频率分布折线图：连接频率分布直方图中各小长方形上端的中点，就得到频率分布折线图．②总体密度曲线：随着样本容量的增加，作图时所分的组数增加，组距减小，相应的频率折线图会越来越接近于一条光滑曲线，统计中称这条光滑曲线为总体密度曲线．(4)茎叶图的画法：第一步：将每个数据分为茎(高位)和叶(低位)两局部；第二步：将各个数据的茎按大小次序排成一列；第三步：将各个数据的叶依次写在其茎的右(左)侧．2．样本的数字特征(1)众数、中位数、平均数数字特征定义与求法优点与缺点众数一组数据中出现次数最多的数通常用于描述出现次数最多的数，显然它对其他数据信息的无视使得无法客观地反映总体特征中位数把一组数据按大小顺序排列，处在最中间位置的一个数据(或两个数据的平均数)中位数是样本数据所占频率的等分线，它不受少数几个极端值的影响，这在某些情况下是优点，但它对极端值的不敏感有时也会成为缺点平均数如果有n个数据x1，x2，…，xn，那么这n个数的平均数eq\x\to(x)＝eq\f(1,n)(x1＋x2＋…＋xn)平均数和每一个数据有关，可以反映样本数据全体的信息，但平均数受数据中极端值的影响较大，使平均数在估计总体时可靠性降低(2)标准差、方差①标准差：样本数据到平均数的一种平均距离，一般用s表示，s＝eq\r(\f(1,n)[(x1－\x\to(x))2＋(x2－\x\to(x))2＋…＋(xn－\x\to(x))2]).②方差：标准差的平方s2s2＝eq\f(1,n)[(x1－eq\x\to(x))2＋(x2－eq\x\to(x))2＋…＋(xn－eq\x\to(x))2]，其中xi(i＝1,2,3，…，n)是样本数据，n是样本容量，eq\x\to(x)是样本平均数．[知识拓展]平均数、方差的公式推广(1)假设数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，那么mx1＋a，mx2＋a，mx3＋a，…，mxn＋a的平均数是meq\x\to(x)＋a.(2)数据x1，x2，…，xn的方差为s2.①数据x1＋a，x2＋a，…，xn＋a的方差也为s2；②数据ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2.[根本能力自测]1．(思考辨析)判断以下结论的正误．(正确的打“√〞，错误的打“×〞)(1)平均数、众数与中位数从不同的角度描述了一组数据的集中趋势．()(2)一组数据的方差越大，说明这组数据越集中.()(3)频率分布直方图中，小矩形的面积越大，表示样本数据落在该区间的频率越高．()(4)茎叶图一般左侧的叶按从大到小的顺序写，右侧的叶按从小到大的顺序写，相同的数据可以只记一次．()[解析](1)正确．平均数、众数与中位数都在一定程度上反映了数据的集中趋势．(2)错误．方差越大，这组数据越离散．(3)正确．小矩形的面积＝组距×eq\f(频率,组距)＝频率．(4)错误．茎相同的数据，叶可不用按从小到大的顺序写，相同的数据叶要重复记录，故(4)错误．[答案](1)√(2)×(3)√(4)×2．(教材改编)假设某校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图9­3­1所示，那么这组数据的中位数和平均数分别是()图9­3­1A．91.5和91.5 B．91.5和92C．91和91.5 D．92和92A[这组数据由小到大排列为87,89,90,91,92,93,94,96.所以中位数是eq\f(91＋92,2)＝91.5，平均数eq\x\to(x)＝eq\f(87＋89＋90＋91＋92＋93＋94＋96,8)＝91.5.]3．(2023·全国卷Ⅰ)为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是()A．x1，x2，…，xn的平均数B．x1，x2，…，xn的标准差C．x1，x2，…，xn的最大值D．x1，x2，…，xn的中位数B[因为可以用极差、方差或标准差来描述数据的离散程度，所以要评估亩产量稳定程度，应该用样本数据的极差、方差或标准差．应选B．]4．如图9­3­2所示是一样本的频率分布直方图．假设样本容量为100，那么样本数据在[15,20]内的频数是()图9­3­2A．50B．40C[因为[15,20]对应的小矩形的面积为1－0.04×5－0.1×5＝0.3，所以样本落在[15,20]的频数为0.3×100＝30，应选C．]5．某校女子篮球队7名运发动身高(单位：cm)分布的茎叶图如图9­3­3，记录的平均身高为175cm，但记录中有一名运发动身高的末位数字不清晰，如果把其末位数字记为x，那么x的值为________．图9­3­32[170＋eq\f(1,7)×(1＋2＋x＋4＋5＋10＋11)＝175，那么eq\f(1,7)×(33＋x)＝5，即33＋x＝35，解得x＝2.](对应学生用书第163页)频率分布直方图(2023·北京高考)某大学艺术专业400名学生参加某次测评，根据男女学生人数比例，使用分层抽样的方法从中随机抽取了100名学生，记录他们的分数，将数据分成7组：[20,30)，[30,40)，…，[80,90]，并整理得到如图9­3­4所示频率分布直方图：图9­3­4(1)从总体的400名学生中随机抽取一人，估计其分数小于70的概率；(2)样本中分数小于40的学生有5人，试估计总体中分数在区间[40,50)内的人数；(3)样本中有一半男生的分数不小于70，且样本中分数不小于70的男女生人数相等．试估计总体中男生和女生人数的比例．[解](1)根据频率分布直方图可知，样本中分数不小于70的频率为(0.02＋0.04)×10＝0.6，所以样本中分数小于70的频率为1－0.6＝0.4，所以从总体的400名学生中随机抽取一人，其分数小于70的概率估计为0.4.(2)根据题意，样本中分数不小于50的频率为(0.01＋0.02＋0.04＋0.02)×10＝0.9，分数在区间[40,50)内的人数为100－100×0.9－5＝5，所以总体中分数在区间[40,50)内的人数估计为400×eq\f(5,100)＝20.(3)由题意可知，样本中分数不小于70的学生人数为(0.02＋0.04)×10×100＝60，所以样本中分数不小于70的男生人数为60×eq\f(1,2)＝30，所以样本中的男生人数为30×2＝60，女生人数为100－60＝40，所以样本中男生和女生人数的比例为60∶40＝3∶2，所以根据分层抽样原理，估计总体中男生和女生人数的比例为3∶2.[规律方法]频率、频数、样本容量的计算方法1eq\f(频率,组距)×组距＝频率.2eq\f(频数,样本容量)＝频率，eq\f(频数,频率)＝样本容量，样本容量×频率＝频数.易错警示：绘制频率分布直方图时的3个注意点1制作好频率分布表后，可以利用各组的频率之和是否为1来检验该表是否正确；2频率分布直方图的纵坐标是eq\f(频率,组距)，而不是频率.3注意中值估算法.[跟踪训练](1)(2023·河南新乡调研)统计新生婴儿的体重，其频率分布直方图如图9­3­5所示(每组含右端点，不含左端点)，那么新生婴儿体重在(2700,3000]克内的频率为()【导学号：79140329】图9­3­5A．0.001 B．0.1C．0.2 D．0.3(2)(2023·山东高考)某高校调查了200名学生每周的自习时间(单位：小时)，制成了如图9­3­6所示的频率分布直方图，其中自习时间的范围是[17.5,30]，样本数据分组为[17.5,20)，[20,22.5)，[22.5,25)，[25,27.5)，[27.5,30]．根据直方图，这200名学生中每周的自习时间不少于22.5小时的人数是()图9­3­6A．56B．60C．120D．140(1)D(2)D[(1)每组的频率即为相应小长方形的面积，300×0.001＝0.3.(2)由频率分布直方图可知每周自习时间不少于22.5小时的频率为(0.16＋0.08＋0.04)×2.5＝0.7，那么每周自习时间不少于22.5小时的人数为0.7×200＝140.应选D．]茎叶图(1)某学生在一门功课的22次考试中，所得分数茎叶图如图9­3­7所示，那么此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为()图9­3­7A．117B．118(2)(2023·山东高考)如图9­3­8所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件)．假设这两组数据的中位数相等，且平均值也相等，那么x和y的值分别为()图9­3­8A．3,5 B．5,5C．3,7 D．5,7(1)B(2)A[(1)22次考试中，所得分数最高的为98，最低的为56，所以极差为98－56＝42，将分数从小到大排列，中间两数为76,76，所以中位数为76，所以此学生该门功课考试分数的极差与中位数之和为42＋76＝118.(2)甲组数据的中位数为65，由甲、乙两组数据的中位数相等得y＝5.又甲、乙两组数据的平均值相等，所以eq\f(1,5)×(56＋65＋62＋74＋70＋x)＝eq\f(1,5)×(59＋61＋67＋65＋78)，所以x＝3.应选A．][规律方法]茎叶图中的两个关注点1重复出现的数据要重复记录，不能遗漏.2给定两组数据的茎叶图，估计数字特征，茎上的数字由小到大排列，一般“重心〞下移者平均数较大，数据集中者方差较小.易错警示：茎叶图中数字大小排列不一定从小到大排列，一定要看清楚.[跟踪训练]下面是甲、乙两名运发动某赛季一些场次得分的茎叶图，如图9­3­9所示，以下说法不正确的选项是________．(填序号)图9­3­9①甲运发动的成绩好于乙运发动；②乙运发动的成绩好于甲运发动；③甲、乙两名运发动的成绩没有明显的差异；④甲运发动的最低得分为0分．②③④[由图可知，甲运发动的成绩比拟集中，且平均得分大约在30多分，乙运发动得分也大致对称，平均得分在20多分，甲运发动最低分10分，乙运发动最低分8分，故①正确．]样本的数字特征某企业有甲、乙两个研发小组，为了比拟他们的研发水平，现随机抽取这两个小组往年研发新产品的结果如下：(a，b)，(a，eq\x\to(b))，(a，b)，(eq\x\to(a)，b)，(eq\x\to(a)，eq\x\to(b))，(a，b)，(a，b)，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，eq\x\to(b))，(a，b)，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，(a，b)，其中a，eq\x\to(a)分别表示甲组研发成功和失败；b，eq\x\to(b)分别表示乙组研发成功和失败．(1)假设某组成功研发一种新产品，那么给该组记1分，否那么记0分．试计算甲、乙两组研发新产品的成绩的平均数和方差，并比拟甲、乙两组的研发水平；(2)假设该企业安排甲、乙两组各自研发一种新产品，试估计恰有一组研发成功的概率．[解](1)甲组研发新产品的成绩为1,1,1,0,0,1,1,1,0,1,0,1,1,0,1，其平均数为eq\x\to(x)甲＝eq\f(10,15)＝eq\f(2,3)；方差为seq\o\al(2,甲)＝eq\f(1,15)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(2,3)))\s\up12(2)×10＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(2,3)))\s\up12(2)×5))＝eq\f(2,9).乙组研发新产品的成绩为1,0,1,1,0,1,1,0,1,0,0,1,0,1,1，其平均数为eq\x\to(x)乙＝eq\f(9,15)＝eq\f(3,5)；方差为seq\o\al(2,乙)＝eq\f(1,15)eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(3,5)))\s\up12(2)×9＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(3,5)))\s\up12(2)×6))＝eq\f(6,25).因为eq\x\to(x)甲＞eq\x\to(x)乙，seq\o\al(2,甲)＜seq\o\al(2,乙)，所以甲组的研发水平优于乙组．(2)记E＝{恰有一组研发成功}．在所抽得的15个结果中，恰有一组研发成功的结果是(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，(a，eq\x\to(b))，(a，eq\x\to(b))，(eq\x\to(a)，b)，共7个，故事件E发生的频率为eq\f(7,15).将频率视为概率，即得所求概率为P(E)＝eq\f(7,15).[规律方法]1.平均数、方差与标准差的意义平均数反映了数据的中心，是平均水平，而方差和标准差反映的是数据围绕平均数的波动大小.进行平均数与方差的