2023年高考数学命题角度2.1利用正弦定理和余弦定理解三角形大题狂练理

命题角度2.1：利用正弦定理和余弦定理解三角形1.如图中，点在边上，且，，，．〔1〕求的长；〔2〕求．【答案】〔1〕；〔2〕．试题解析：〔1〕因为，所以，所以．在中，由余弦定理可知，即，解之得或，由于，所以．〔2〕在中，由正弦定理可知，，又由可知，所以因为，即考点：1．诱导公式；2．正弦定理与余弦定理．2.在，，〔1〕假设，求的长〔2〕假设点在边上，，，为垂足，，求角的值.【答案】〔1〕；〔2〕.〔2〕因为，所以.在中，由正弦定理可得：，因为，所以.所以，所以.3.如图，在中，，为边上的点，为上的点，且，，．〔1〕求的长；〔2〕假设，求的值．【答案】〔1〕〔2〕【解析】试题分析：此题是正弦定理、余弦定理的应用。〔1〕中，在中可得的大小，运用余弦定理得到关于的一元二次方程，通过解方程可得的值；〔2〕中先在中由正弦定理得，并根据题意判断出为钝角，根据求出。〔2〕在中，由正弦定理得，即所以，所以．因为点在边上，所以，而，所以只能为钝角，所以，所以．4.的内角的对边分别为，且．〔1〕证明：成等比数列；〔2〕假设角的平分线交于点，且，求．【答案】〔1〕见解析；〔2〕.【解析】试题分析：〔1〕利用两角和的余弦函数公式化简等式可得sinAsinC=sin2B，由正弦定理可得：b2=ac，即可得证．〔2〕由可得：AD+CD=6，由三角形面积公式可得AD=2CD，从而可求AD=4，CD=2，由〔1〕可得：b2=36，利用角平分线的性质可得AB=2BC，即c=2a，从而可求a，c的值，进而利用余弦定理可求cosA，即可由余弦定理求得BD的值．试题解析：.解法一:〔1〕因为，所以，化简可得，由正弦定理得，，故成等比数列.【注】利用角平分线定理得到同样得分，在中由余弦定理可得，，在中由余弦定理可得，，即，求得.解法二：〔1〕同解法一.〔2〕同解法一，.在中由余弦定理可得，，在中由余弦定理可得，，即，求得.解法三：〔1〕同解法一.〔2〕同解法二，.在中由余弦定理可得，，由于，从而可得，在中由余弦定理可得，，求得，在中由正弦定理可得，，即.【注】假设求得的值后，在中应用正弦定理求得的，请类比得分.解法四：〔1〕同解法一.〔2〕同解法一，.在中由余弦定理得，，在中由余弦定理得，，因为，所以有，故，整理得，，即.5.在中，角的对边分别为，且.〔1〕求的值；〔2〕假设成等差数列，且公差大于0，求的值.【答案】〔1〕；〔2〕.【解析】试题分析：此题主要考查解三角形中的正弦定理与数列的综合问题、利用正弦定理求三角函数值、等差数列的性质、三角函数值问题等根底知识，同时考查运算转化能力和计算能力.第一问，根据正弦定理将边转换成角，即可得到；第二问，利用等差中项的概念得，再利用正弦定理将边转换成角，得到，设，两式联立，利用平方关系和两角和的余弦公式，得到，再利用内角和与诱导公式，将转化成，解方程求出的值，即的值.试题解析：〔Ⅰ〕由，根据正弦定理得，所以．4分〔Ⅱ〕由和正弦定理以及〔Ⅰ〕得．①设，②①2＋②2，得．③7分又，，所以，，故．10分代入③式得．因此．考点：1.正弦定理；2.等差中项；3.两角和的余弦公式；4.诱导公式.6.在ΔABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c，且B=60∘，〔Ⅰ〕假设b=6，求角C的正弦值及ΔABC的面积；〔Ⅱ〕假设D,E在线段BC上，且BD=DE=EC，AE=23BD，求【答案】〔I〕sinC=33，面积为6【解析】试题分析：(1)首先利用正弦定理求得sinC=33，然后求得sin为62(2)利用题意设出边长，结合余弦定理列出方程，最后利用勾股定理可得AD的长为13.〔Ⅱ〕设BD=x，那么BE=2x，AE=23x，又B=60在ΔABE中，由余弦定理得12x即8x2=16-8x那么BE=2，所以∠AEB=90在直角ΔADE中，AD=A7.如图，在平面四边形中，，，，在边上取点，使得，连接，假设，.〔1〕求的值；〔2〕求的长.【答案】〔1〕〔2〕【解析】试题分析：〔1〕在中，直接由正弦定理求出；〔2〕在中，，，可求出，在中，直接由余弦定理可求得.试题解析：〔1〕在中，据正弦定理，有.∵，，，∴.〔2〕由平面几何知识，可知，在中，∵，，∴.∴.在中，据余弦定理，有∴点睛：此题考查了正弦定理、余弦定理的应用，利用正弦、余弦定理可以很好得解决了三角形的边角关系，熟练掌握定理是解此题的关键．在中，涉及三边三角，知三〔除三角外〕求三，可解出三角形，当涉及两边及其中一边的对角或两角及其中一角对边时，运用正弦定理求解；当涉及三边或两边及其夹角时，运用余弦定理求解.8.中，角所对的边分别为，假设.〔1〕求的值；〔2〕假设，求的值.【答案】〔1〕〔2〕2【解析】试题分析:〔1〕根据余弦定理边角互化,从而解出a值;〔2〕根据求出与,得到两者相等,故的值为.试题解析:解：〔1〕因为，故，所以，因为，所以，解得或〔舍去〕，故.9.在ΔABC中，B=π3,点D在边AB上，BD=1，且〔1〕假设ΔBCD的面积为3，求CD；〔2〕假设AC=3，求∠DCA【答案】〔1〕CD=13〔2〕∠DAC=π6【解析】试题分析：〔1〕由三角形面积公式求出BC=4.再由余弦定理求CD=13.〔2〕由正弦定理，有ACsin2∠DAC=CDsin∠DAC，CDsinB试题解析：解：〔1〕因为SΔBCD=3，即12BC⋅BD⋅在ΔBDC中，由余弦定理得，CD2=16+1-2×4×1×〔2〕在ΔACD中，DA=DC，可设∠A=∠ADC=θ，那么∠ADC=π-2θ，又AC=3，由正弦定理，有ACsin2θ=CDsinθ，所以CD=32化简得cosθ=sin(因为0<θ<π2，所以所以π2-θ=2π解得θ=π6或θ=π18，故10.中，角，，所对的边分别是，，，且，其中是