电磁场理论第八周课件

电磁场理论第八周课件第一页，共一百零六页，2022年，8月28日ReviewBasedonthelinearityofthePDE,asolutionoftheseriesformcanbegot.Theeigen-solutionsarecompleteandorthogonalwitheachother,sotheundeterminedcoefficientsintheseriescanbeevaluated.Tips:typicalboundaryconditionsandthecorrespondingsolutionsshouldbememorized.(periodic,independentofonecoordinate,homogeneousboundarycondition,boundedandunboundedareas)第二页，共一百零六页，2022年，8月28日ReviewBoundaryvalueproblems:Dirichletproblem,Neumannproblem,Robbinproblem.(Dirichlet,NeumannandRobinboundaryconditions)Thetheoremofuniqueness:ifthesolutiontotheabovementionedboundaryvalueproblemsexists,thenitisunique.Theimportanceofthetheorem.Themethodofimages:planarsurfacebetweendielectricandconductor.第三页，共一百零六页，2022年，8月28日ReviewThemethodofimagesCylindricalsurfacebetweenaconductorandadielectric:positionoftheimage,linechargedensityoftheimage;Sphericalsurfacebetweenaconductorandadielectric:positionandchargeoftheimage;Planarsurfacebetweentwodielectrics:electricmedium,magneticmedium.第四页，共一百零六页，2022年，8月28日ReviewThemethodofseparationofvariablesforthecylindricalcoordinatesystem.Focusshouldbeonthetwodimensionalplanarstaticfield.Boundaryconditionsrepresentedbythepotentialfunctions:第五页，共一百零六页，2022年，8月28日电磁场理论第八周讲稿§4.3直角坐标系内的分离变量法§4.4圆柱坐标系内的分离变量法§4.5球坐标系内的分离变量法

*§4.6δ函数

作业：4.7,4.10,4.11

4.154.164.18；

4.254.274.28；

第六页，共一百零六页，2022年，8月28日§4.3直角坐标系内的分离变量法1、调和函数及场的叠加原理2、直角坐标系内的分离变量法例题第七页，共一百零六页，2022年，8月28日1、调和函数及场的叠加原理静态场的基本向题都可以归结为求势的泊松方程或拉普拉斯方程满足一定边界条件的解。待求势函数必须既要满足拉普拉斯方程，同时也要满足给定场域的边界条件。泊松方程与拉普拉斯方程解的关系跟非齐次常微分方程与齐次常微分方程的解类似，即泊松方程的解是拉普拉斯方程的通解再加上泊松方程的任一特解。第八页，共一百零六页，2022年，8月28日1、调和函数及场的叠加原理拉普拉斯方程可有很多个解。这些解称为调和函数。它们的线性组合也是拉普拉斯方程的解。求解拉普拉斯方程的过程中，要充分利用方程解的叠加原理，从而简化计算难度。第九页，共一百零六页，2022年，8月28日2、直角坐标系内的分离变量法分离变量法是一种求解拉普拉斯方程的重要解析方法。采用分离变量法，要求选择适当的正交曲线坐标系，使问题给定的边界面和一个或几个坐标面或与其平行的面相重合，这样可使变量分离，从而将偏微分方程简化为常微分方程。第十页，共一百零六页，2022年，8月28日2、直角坐标系内的分离变量法在直角坐标系内，电势的拉普拉斯方程为：采用分离变量法，设势函数具有如下的形式：第十一页，共一百零六页，2022年，8月28日2、直角坐标系内的分离变量法将上式代入拉普拉斯方程，并整理有：上式已将变量分离，因此式中每一项都只是一个变量的函数。要使上式对所有的都成立，每一项都必须等于一个常数，故有第十二页，共一百零六页，2022年，8月28日2、直角坐标系内的分离变量法、、

称为分离常数，具体由边界条件来确定，他们满足：第十三页，共一百零六页，2022年，8月28日2、直角坐标系内的分离变量法这样，拉普拉斯方程经过分离变量后变成了三个很容易求解的常微分方程。这三个方程解的形式与分离常数有关。当等于0：对应的函数为线性函数；大于0：对应的函数为三角函数；小于0：对应的函数为指数函数或双曲正弦（余弦）函数；第十四页，共一百零六页，2022年，8月28日2、直角坐标系内的分离变量法通常是根据所给边界条件先确定出其中两个函数的形式及其相应的两个分离常数，再由分离常数之间的关系式得出剩余的一个分离常数，于是可得待求势函数的通解。若某些坐标平面上，边界条件是周期的，则其解应选三角函数，相应的分离常数为大于零；若某些坐标平面上，边界条件是非周期的，则解应选双曲函数（有界区域的解）或递减的指数函数（无界区域的解），相应的分离常数小于零；第十五页，共一百零六页，2022年，8月28日2、直角坐标系内的分离变量法若势函数与某一变量无关，则其解为常数，相应的分离常数为零。若某些坐标平面上，边界条件是齐次的，则其解应选三角函数，相应的分离常数为大于零；（四种情况？？？）第十六页，共一百零六页，2022年，8月28日2、直角坐标系内的分离变量法在很多情况下，为满足给定的边界条件，分离常数往往需要取一系列的值（本征值），每一个值对应一组特解（本征函数）。所以这时拉普拉斯方程的通解将是一个级数解。直角坐标系内的分离变量法适用于矩形域、半无限长矩形域等的二维场或三维场问题。第十七页，共一百零六页，2022年，8月28日例题1试求下图所示的半无限长带形区域内的电势分布。xyOφ＝0φ＝0aφ＝f(x)φ(x,y)第十八页，共一百零六页，2022年，8月28日半无限长带形区域内的电势分布是一个与z无关的二维场问题，故拉普拉斯方程为采用分离变量由于时应该是三角函数的组合。？？即于是：所以：由于：故：第十九页，共一百零六页，2022年，8月28日由于：故：故：综合上述情况：待定。由于：所以有：易得：第二十页，共一百零六页，2022年，8月28日如果为一个常数，则，只有时，上述系数才不为0，此时，有：区域内的电势为：第二十一页，共一百零六页，2022年，8月28日例题1的扩展第二十二页，共一百零六页，2022年，8月28日例题1的扩展xyOφ＝0φ＝0aφ＝0φ(x,y)φ＝g(x)xyOφ＝0φ＝0aφ＝f(x)φ(x,y)φ＝g(x)xyOΦ’＝0φ＝0aφ＝f(x)φ(x,y)φ＝g(x)xyOΦ’＝0φ’＝0aφ＝f(x)φ(x,y)φ＝g(x)xyOΦ＝0Φ’＝0aφ＝f(x)φ(x,y)φ＝g(x)第二十三页，共一百零六页，2022年，8月28日例题1的扩展xyOΦ=Φ1φ＝Φ2aφ＝f(x)φ(x,y)φ＝g(x)xyOΦ=Φ1φ＝Φ2aφ＝0φ(x,y)φ＝0xyOΦ=0φ＝0aφ＝f(x)φ(x,y)φ＝g(x)第二十四页，共一百零六页，2022年，8月28日例题2设在y=0的平面上的电势是如图所示的方波，且与z无关。试求空间任一点的电势。xa2aO-a-2aφ0φ(x)φ0－φ0xyOφ(x,y)第二十五页，共一百零六页，2022年，8月28日首先用傅立叶级数表示出边界上的电势。在处，其中：因此，边界条件用傅立叶级数表示的形式为第二十六页，共一百零六页，2022年，8月28日由于势函数不依赖于z，故其拉普拉斯方程为时并且：时，设：则根据边界条件，应是三角函数的组合：于是，有：第二十七页，共一百零六页，2022年，8月28日在的区域，当时，则；当时，，则，并有因此，在的区域，有：同理，在的区域，有：第二十八页，共一百零六页，2022年，8月28日例题3试求如图所示的长方体内的电势分布。设边界条件为：除和外，其它各表面的电势均为零。xyzbacφ(x,y)φ=0φ=0第二十九页，共一百零六页，2022年，8月28日应用分离变量法解此题，令。为满足时的边界条件，必须选择形式的解，其中是正整数，，于是的一般解为同理，根据y方向的边界条件，可以得到Y的表达式为：由：得：第三十页，共一百零六页，2022年，8月28日于是：其中：为了满足的边界条件，必须选择于是：第三十一页，共一百零六页，2022年，8月28日待求的势函数为：其中，待定，可以由来确定。即，其中，第三十二页，共一百零六页，2022年，8月28日利用傅立叶级数的性质，可以得到：故：令取不同的函数，即可针对不同情况进行讨论。具体略。例题3第三十三页，共一百零六页，2022年，8月28日§4.4圆柱坐标系内的分离变量法1、圆柱坐标系内的分离变量法2、二维平行平面场的边值问题例题3、三维场的边值问题第三十四页，共一百零六页，2022年，8月28日1、圆柱坐标系内的分离变量法拉普拉斯方程的柱坐标表示形式为：也就是：不妨设势函数有如下的形式，代入上述方程，并化简得：第三十五页，共一百零六页，2022年，8月28日1、圆柱坐标系内的分离变量对于二维平行平面场，电势函数与z无关，因此，拉普拉斯方程可以简化为如下的形式对于一般情况下三维的情况，则必须考虑z的关系。下面分别针对这两种情况进行讨论。第三十六页，共一百零六页，2022年，8月28日2、二维平行平面场的边值问题可见已将变量分离，因为上式中前两项仅是r的函数，最后二项仅是的函数，因此，要使上式对所有的r、都成立，每一部分必须等于一个常数。为使表达式不出现根号，令分离常数为，则有对于二维场，根据前面的描述，应该有：第三十七页，共一百零六页，2022年，8月28日2、二维平行平面场的边值问题即：（欧拉型方程）其解分别为：于是：n=0???第三十八页，共一百零六页，2022年，8月28日2、二维平行平面场的边值问题对于一般的二维场，由于势函数的单值性要求，即待求的解对呈现周期性，，故必为一系列正整数，因而可有无限个特解。它们的线形组合也满足拉普拉斯方程。因此，二维拉普拉斯方程的通解为其中、、、均为由边界条件确定的常数。注意：当n=0时，通解中还应该包含第三十九页，共一百零六页，2022年，8月28日例题1在介电常数为的无限大介质中存在电场强度，垂直于电场方向放置一根半径为的无限长直介质圆柱体，其介电常数为，试求介质圆柱体内外的电场强度。xyOE0P(r,)第四十页，共一百零六页，2022年，8月28日观察并分析得知，上述势函数应该具有以下的形式：另外，外电场的电势可表示为设圆柱外部和内部的电势分别为、，当时可以得到：第四十一页，共一百零六页，2022年，8月28日对比系数，可知，n=1,且

于是：当r=a时与，同理可得中的n=1，且因r=0时势函数为有限值，故有代入r=a时的边界条件第四十二页，共一百零六页，2022年，8月28日因此，介质圆柱体外、内的电场强度分别为于是，电场强度为：第四十三页，共一百零六页，2022年，8月28日事实上，E2还可以表示为：当介质柱外为空气时，即

讨论：

若：相当于在介质内有长圆柱形空腔第四十四页，共一百零六页，2022年，8月28日第四十五页，共一百零六页，2022年，8月28日例题2空气中有一磁导率为、内外半径分别为、的无限长导磁圆管，置于均匀外磁场中，且其轴线与垂直。试求管内外的磁场强度，并讨论导磁管的磁屏蔽作用。xyOH0P(r,)第四十六页，共一百零六页，2022年，8月28日磁标势为：外磁场的磁标势当则比较得第四十七页，共一百零六页，2022年，8月28日由得中则再由和有限得中且为由和得第四十八页，共一百零六页，2022年，8月28日和联解上面四式，并注意得第四十九页，共一百零六页，2022年，8月28日故得第五十页，共一百零六页，2022年，8月28日和因则可见导磁圆筒的轴心部分与外场同方向的均匀场。磁屏蔽系数为因此，相对磁导率越大，圆筒壁越厚，磁屏蔽作越好。第五十一页，共一百零六页，2022年，8月28日3、三维场的边值问题式中第二项仅是的函数，此使上式对任何、、z值都成立，第二项必须等于一个常数，并同样使之为，则有第五十二页，共一百零六页，2022年，8月28日3、三维场的边值问题因此：后一个方程已将变量分离，令分离常数为对第一个方程，其解为：第五十三页，共一百零六页，2022年，8月28日3、三维场的边值问题上式即为二维场的情景令于是，并且：（实际上，还应包括Z为线性函数的情况）第五十四页，共一百零六页，2022年，8月28日3、三维场的边值问题令代入上式，并化简，得：也即：上式称为n阶贝塞尔方程，其解为其中称为贝塞尔函数或第一类贝塞尔函数，称为诺依曼函数或第二类贝塞尔函数。第五十五页，共一百零六页，2022年，8月28日3、三维场的边值问题第五十六页，共一百零六页，2022年，8月28日3、三维场的边值问题第五十七页，共一百零六页，2022年，8月28日3、三维场的边值问题综合上述内容，可知势函数可以表示为：仿照上述过程，容易得到：对方程、、、、、均为待定常数。令则：第五十八页，共一百零六页，2022年，8月28日3、三维场的边值问题即：也满足贝塞尔方程。于是：因此，待求势函数为其中和称为第一类和第二类变态贝塞尔函数，或第一类和第二类虚宗量贝塞尔函第五十九页，共一百零六页，2022年，8月28日3、三维场的边值问题第六十页，共一百零六页，2022年，8月28日3、三维场的边值问题第六十一页，共一百零六页，2022年，8月28日3、三维场的边值问题对于圆柱坐标系内的边值问题，角向总是三角函数。对于与z无关的二维场，径向是欧拉方程的解，若含柱轴(r=0)在内的问题，则无r的负幂次项。对径向为齐次边界条件(kz为虚数)时，径向是贝塞尔函数，因为当r→0时诺伊曼函数趋于负无穷大，所以若含柱轴(r=0)在内的问题，则无诺伊曼函数；第六十二页，共一百零六页，2022年，8月28日3、三维场的边值问题如果纵向为有界区，其解是双曲函数，若纵向为无界区，其解为衰减的指数函数。对于径向为非齐次边值条件(kz为实数)时，径向是变态的贝塞尔函数，由于当r=0时第二类变态贝塞尔函数Kn趋于无穷大，因此若含柱轴(r=0)在内的问题，则无第二类变态贝塞尔函数Kn(kzr)；纵向是三角函数。注意，当边值条件叠加时，其对应的解亦叠加。第六十三页，共一百零六页，2022年，8月28日例题第六十四页，共一百零六页，2022年，8月28日求导体圆筒内的电势分布因问题与无关，故电势的拉普拉斯方程为令得第六十五页，共一百零六页，2022年，8月28日则得和令有这是零阶贝塞尔方程，因含柱轴，故有第六十六页，共一百零六页，2022年，8月28日当则得由有利用公式

第六十七页，共一百零六页，2022年，8月28日贝塞尔函数的正交性则由有第六十八页，共一百零六页，2022年，8月28日同理得则第六十九页，共一百零六页，2022年，8月28日故若第七十页，共一百零六页，2022年，8月28日若求导体圆筒内的电势令代入得第七十一页，共一百零六页，2022年，8月28日则有得和令因含柱轴故第七十二页，共一百零六页，2022年，8月28日因得故由有得第七十三页，共一百零六页，2022年，8月28日故求导体圆筒内电势上述两种情况的叠加。只有时第七十四页，共一百零六页，2022年，8月28日只有时故第七十五页，共一百零六页，2022年，8月28日

§4.5球坐标系内的分离变量法1、球坐标系内的分离变量法2、二维轴对称场的边值问题例题3、三维场的边值问题第七十六页，共一百零六页，2022年，8月28日1、球坐标系内的分离变量法在球坐标系内，拉普拉斯方程可表示为采用分离变量法，令代入上式并整理得：第七十七页，共一百零六页，2022年，8月28日1、球坐标系内的分离变量法上式中最后一项仅是的函数，前两项仅是、的函数，要使上式对所有的、、都成立，必有其解为：由于势函数必须是单值的，即，故m必为正整数（势函数周期函数）或零（势函数为常数）。第七十八页，共一百零六页，2022年，8月28日1、球坐标系内的分离变量法同时，应该有：可见，上式中第一项仅为的函数，而后两项仅为的函数，故已将变量分离。设分离常数为，则于是有：第七十九页，共一百零六页，2022年，8月28日1、球坐标系内的分离变量法以及：对上述方程，令则：带入化简：即：第八十页，共一百零六页，2022年，8月28日1、球坐标系内的分离变量法也就是：下面分别考虑m等于零（势函数成轴对称，与无关；）和不等于零两种情况考虑（一般情况）。第八十一页，共一百零六页，2022年，8月28日2、二维轴对称场的边值问题对方程若m＝0，则：上式称为勒让德方程。它具有幂级数解。如令第八十二页，共一百零六页，2022年，8月28日2、二维轴对称场的边值问题则幂级数为一个n次多项式，称为勒让德多项式。它可以表示为这时勒让德方程在区间上有唯一有界解，为常数。但若，勒让德方程在此区间上没有有界解。综合考虑，则显然应选择前一种情况。在场区包含z轴的情况下尤其如此。第八十三页，共一百零六页，2022年，8月28日2、二维轴对称场的边值问题第八十四页，共一百零六页，2022年，8月28日2、二维轴对称场的边值问题此时：化为：为一欧拉型方程，其解为：第八十五页，共一百零六页，2022年，8月28日2、二维轴对称场的边值问题因此，轴对称（二维场）的待求函数为第八十六页，共一百零六页，2022年，8月28日例题1在无限大的介电常数为的均匀介质内存在电场强度，有一半径为a的介质球置于其中，其介电常数为，试求介质球内外的电势和电场强度。xyzOP(r,θ,φ)第八十七页，共一百零六页，2022年，8月28日如图建立坐标系，则势函数应有如下的形式：均匀外电场的电势可表示为比较上式两端，得n=1,于是，球外的势函数为：第八十八页，共一百零六页，2022年，8月28日考虑r=a处的边界条件以及内部势函数值应有限，可以得到球内的势函数为：再加上：r=a处：于是：第八十九页，共一百零六页，2022年，8月28日因此，介质球外、内的电势与电场强度分别为第九十页，共一百零六页，2022年，8月28日例题2半径为的导体球置于外电场中，球外为空气。试求球外的电势和电场强度及球面上的电荷面密度（设导体球电势为零）。xyzOP(r,θ,φ)第九十一页，共一百零六页，2022年，8月28日例题2因问题与方位角无关,故球外电势仍为外场的电势第九十二页，共一百零六页，2022年，8月28日例题2由得比较上式两端，得则当得第九十三页，共一百零六页，2022年，8月28日例题2故此解可由上题得到。球面上的感应电荷面密度为第九十四页，共一百零六页，2022年，8月28日3、三维场的边值问题当时，下述方程应该成立：上式称为连带（或缔合）勒让德多项式，其解为n次m阶连带（或缔合）勒让德多项式，即第九十五页，共一百零六页，2022年，8月28日3、三维场的边值问题因此，待求的势函数可以表示为：对