《导数在研究函数中的应用单调性》教学案例分析

[附件3]:学案导学基本课堂模式 (教学设计)《1.3.1导数在研究函数中的应用——单调性》教学案例分析高淳县永丰中学邢富根教材分析本小节选自《普通高中课程标准数学教科书-数学选修2-1》(苏教版)第一章函数及其应用-单调性，主要内容是学习导数在求函数单调区间中的作用。一来可以对之前常见函数求导和运算法则进行加深巩固，其次也是导数作为工具研究函数最值等性质，还原函数图像的基础。在高考中占有举足轻重的地位。学生学习情况分析本节课的教学对象是普通农村中学理科班的学生，基础相对比较薄弱，对于导数的基本运算应该掌握的不错，但是本节课所要用的函数基础知识，不等式解法等前期学习的内容遗忘的比较多，而且学生个体情况差异较大，这都增加了本节课的难度，教师必须要认识到这一点，教学中要控制难度要求，关注学生学习过程。三、设计意图本节课以建构主义基本理论为指导，以新课标基本理念为依据进行设计的，针对学生的学习背景，对导数在单调性中的应用首先要挖掘其知识背景贴近学生实际，其次，激发学生的学习热情，把学习的主动权交给学生，为他们提供自主探究、合作交流的机会，确实改变学生的学习方式。要结合实例，借助几何图形直观探索并了解函数的单调性与导数的关系，熟练三角，分式，对指等常见不等式解法用以求函数单调区间。本节课采用教师设问启发引导，学生探究学习的教学方法，通过情景创设，引导探究，师生交流，形成概念，获得方法，综合应用。本节课使用多媒体辅助教学，为学生提供直观感性材料，有助于对学生对问题的理解和认识。四、教学目标1、知识与技能：通过实例，借助几何直观探索并了解函数的单调性与导数的关系；理解并掌握如何由导数判断函数的单调区间及增减性．2、过程与方法：会用导数判断函数的单调性，并用其知识解决一些实际问题．3、情感态度与价值观：体会导数方法在研究函数性质中的一般性和有效性，同时感受和体会数学自身发展的一般规律．五、教学重点与难点教学重点：利用导数判断函数单调性的方法教学难点：f'(x)>0为f(x)增函数的充分条件.六、教学过程设计提升应教学流程：创设情景-引出课题•师生活动-形成理论-问题解决-

提升应用一归纳总结(一)熟悉背景、引入课题师：我们先前学习了导数的定义，学习了常见导数求导法则和运算法则，复合函数求导，而我们学习这一切为了什么呢？师：其实导数在高中部分的学习，很大程度上都是作为工具用来研究函数的性质，比如说，函数的单调性，最值，都可以通过导数的运算辅助得出，而且又快有准。这节课我们以单调性为例来看看导数的作用。我们先来想想，函数单调性通常有哪些方法可以处理。生1.可以通过函数图像观察得到函数的单调区间。师：对(投影给出图像1,2并提出问题，生也能很好的回答)问题1:问题1:讨论函数yx24x3的单调性.问题2:讨论函数y问题2:讨论函数yx1的单调性。x图1 图2师：还有没有其他有效地办法。生2.还有函数单调性的定义法。师：很好，函数的单调性定义是先前我们完成函数单调性证明的唯一方法，谁能回顾下较完整的单调性定义？生3.一般地，对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的任意两个自变量的值x1,x2，当x1*2时，若f(x1)f(x2),那么f(x)在这个区问上是增函数.相反如果f(x1)f(x2),那么f(x)在这个区间上是减函数师：(一是帮助学生整理定义，二是提醒学生用词的准确性，比如任取,定义域等)对，我给你们三个函数，你们帮我求出函数单调区问。问题3:求下列函数单调性f(x)x32x2xf(x)xlnxyexx1

生4:又画不出图像，定义法又太繁琐，不会求。师：恩，这节课我们就来探求一下导数对函数单调性的帮助。［设计意图：考虑到多数高中生的认知特点，为了有助于他们对导数对函数单调性作用的理解，不妨从学生自己的已有知识和实际问题入手”。因此，新课引入让学生充分熟悉已有概念和它的知识背景，提出问题，让学生形成强烈的求知欲。从而自然地导入课题。］(二)师生活动，构建新知1.确定探究问题师：我们回到单调性定义，以增函数为例，观察X1X2,f(Xi)f(X2)的正负符号，如何数学表示生5:同号，可以用(f(x1)f(x2))(x1x2)0表示。师：还可以用其他方法表示吗？生5：f(xi)f(x2) 0xiX2师：对，你再细细看看你所表达的东西像什么？讨论总结一下。生：平均变化率/0,就是如果函数单调递增了，就是区间内任取两点的平x均变化率大于零，也就是割线斜率大于00师：你说是可以“任取”，那么我们干脆把两个点无限靠近。你们觉得可以得到什么。生6:瞬时变化率，就是某点切线的斜率，应该是区间内任意一点切线的斜率都大于0,或者说如果函数单调递增，函数区间内任意一点处的导数都是大于零。师：总结(数形结合)增函数有 上(^-f^0f『x))0xix2师：以刚才所说的二次函数为例，我们看到图像。总结读函数在区间Cg,2)_L单调递或切的李人■，即其导数为氮在区间(2,+™)*大干。即其导教为正,而当知?时箕劫雄斜率为。即导教为d2.形成结论：结论:一般地，设函数y=f(x)在某个区间内可导，则函数在该区间如果f'(x)>0,则f(x)为增函数；如果f'(x)<0,则f(x)为减函数.注意：如果在某个区间内恒有f'(x)=0，则f(x)为常数函数.[设计意图：从单调性定义出发，通过一系列的设问，让学生自己探求单调性定义中和导数之间的相关点，并建立联系，重视学生学习过程，加深感性认识。同时，帮助学生确定探究问题、探究方向和探究步骤，确保探究的有效性。这个环节，还要借助计算机辅助教学作用，增强学生的直观感受和逻辑性 ](三)问题解决，变式训练例1、求下列函数的单调区间：y2x36x27师：学生回答，教师板演过程：解:函数的定义域为&F(6=6工乙1公令6大匚12工>■解得x<口或Q2,则我工)的单培区间为(-8，0)和(2,+8).再令6d-12x<0,解得0G<2,则1(#的单诚区间(0,2).在教学过程中强调两个单调增区间之间用“和”。f(x)sinx,x0,2师：学生回答，教师板演过程：解：f'(x)cosx0解题中注意引导学生自己借助余弦函数图像，求出函数单调增区问0,—和3-,2。2 2变式训练：1)yxlnx2)yxlnx3)yexx1师：大家现在觉得不难吧，接下来，看屏幕，以上三题我们请学生来板演学生板演情况分析：变1:学生解题错误，主因，分式不等式求解错误和原函数定义域没有考虑。变2:学生解题错误，主因，对数不等式求解错误。变3:学生求解正确。注意点：指数不等式解法。师：通过上面一系列的问题，你们尝试总结一下利用导数求解函数单调性的一

股过程。生7:根据导数确定函数的单调性，1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数3解不等式f'(x)>0,得函数单增区间；解不等式f'(x)<0,得函数单减区间.师：对，导函数的正负和原函数的单调性关系密切。［设计意图：这一个环节，紧扣课标要求，立足课本但高于课本，优选课本例题,精选变式练习(涉及三角，对指，分数不等式解法)。让学生利用新学知识去解决实际问题，解题过程中注意过程的完整性，通过学生板演充分暴露易错，易发生的问题，强化记忆。充分发挥学生主体作用，适时归纳总结一般性过程］(四)提升应用，融会贯通例2、已知导函数的下列信息:例2、已知导函数的下列信息:当2x3M,f'(x)0;当x3^£x2时，f'(x)0;当xMx方寸,f'(x)0.试画出函数图像的大致形状(如图三)图三以上学生通过独立思考很快就可以画出图像，在这里，教师适当解释 A,B两个临界点的归属问题。问题升级(04浙江理工类)设f'(x)是函数分f(x)的导函数，y=f'(x)的图像如图4所示，则y=f(x)的图像最有可能是( )图四［设计意图：第三部分主要是通过函数解析式求解函数单调区间，本部分则从反方面由导函数大概的反应出函数的特点，能够画出函数的草图。这部分要求学生充分渗透函数观点(数形结合)解决问题］（五）归纳小结、巩固新知师：通过本节课的研究，你明确了什么？生：明确了导数正负符号与函数单调增减的联系，求函数单调性的一般步骤。师：解题时应该注意什么？生： 1.原函数定义域限制。.导函数涉及的不等式解法问题。.能绘制一些函数的草图。（六）作业布置、课后自评课本P34.2,7两个大题，课课练相应部分。七、教学反思在这个班的教学过程中，我自我感觉还是不错的，学生的作业完成的也很好，但是时间控制上感觉不是很到位，最后的总结匆匆而过，由于编排内容比较满，有些地方甚至缩短了学生独立思考的时间，没有让学生充分的这是展示他们的一些似是而非的想法，怕时间不够。教学以学生为主体，要求教师在课堂教学中，得根据学生已有的认知状态和生活经验，设计一系列的问题，让学生在独立思考、合作交流、自主探索的过程中主动去发现，构建新知识，获得对数学学习的积极体验。教学过程中要始终紧扣课标要求，充分利用教材资源，比如， 1..本课的导数与函数关系探究过程，笔者由课本归纳结合习题1.3的第一小题设计出的由割线斜率往切线斜率上的转换。2.变式练习的选用上，笔者关注到P29练习中涉及指数不等式而推广开来的。八、点评：1、课题引入自然贴切，从函数单调性定义回顾—割线的斜率—切线的斜率—导数的符合与单调性的对应关系，逻辑关系支持清楚完整，毫无生硬的痕迹。2、使用了多媒体手段进行教学，节省了书写时间。对有关问题的表达清楚，完备。3、例