（精品讲义）3.13.1-2复数的几何意义

06/707/7/3．1.2复数的几何意义预习课本P104～105，思考并完成下列问题(1)复平面是如何定义的，复数的模如何求出？(2)复数与复平面内的点及向量的关系如何？复数的模是实数还是复数？1．复平面2．复数的几何意义.3．复数的模(1)定义：向量eq\o(OZ,\s\up7(→))的模r叫做复数z＝a＋bi(a，b∈R)的模．(2)记法：复数z＝a＋bi的模记为|z|或|a＋bi|.(3)公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝eq\r(a2＋b2)(r≥0，r∈R)．[点睛]实轴、虚轴上的点与复数的对应关系实轴上的点都表示实数；除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z＝0＋0i＝0，表示的是实数．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在复平面内，对应于实数的点都在实轴上．()(2)在复平面内，虚轴上的点所对应的复数都是纯虚数．()(3)复数的模一定是正实数．()答案：(1)√(2)×(3)×2．已知复数z＝i，复平面内对应点Z的坐标为()A．(0,1) B．(1,0)C．(0,0)D．(1,1)答案：A3．向量a＝(1，－2)所对应的复数是()A．z＝1＋2i B．z＝1－2iC．z＝－1＋2i D．z＝－2＋i答案：B4．已知复数z的实部为－1，虚部为2，则|z|＝________.答案：eq\r(5)复数与点的对应关系[典例]求实数a分别取何值时，复数z＝eq\f(a2－a－6,a＋3)＋(a2－2a－15)i(a∈R)对应的点Z满足下列条件：(1)在复平面的第二象限内．(2)在复平面内的x轴上方．[解](1)点Z在复平面的第二象限内，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a2－a－6,a＋3)＜0，,a2－2a－15＞0，))解得a＜－3.(2)点Z在x轴上方，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2－2a－15＞0，,a＋3≠0，))即(a＋3)(a－5)＞0，解得a＞5或a＜－3.[一题多变]1．[变设问]本例中题设条件不变，求复数z表示的点在x轴上时，实数a的值．解：点Z在x轴上，所以a2－2a－15＝0且a＋3≠0，所以a＝5.故a＝5时，点Z在x轴上．2．[变设问]本例中条件不变，如果点Z在直线x＋y＋7＝0上，求实数a的值．解：因为点Z在直线x＋y＋7＝0上，所以eq\f(a2－a－6,a＋3)＋a2－2a－15＋7＝0，即a3＋2a2－15a－30＝0，所以(a＋2)(a2－15)＝0，故a＝－2或a＝±eq\r(15).所以a＝－2或a＝±eq\r(15)时，点Z在直线x＋y＋7＝0上．利用复数与点的对应解题的步骤(1)找对应关系：复数的几何表示法即复数z＝a＋bi(a，b∈R)可以用复平面内的点Z(a，b)来表示，是解决此类问题的根据．(2)列出方程：此类问题可建立复数的实部与虚部应满足的条件，通过解方程(组)或不等式(组)求解．复数的模[典例](1)若复数z对应的点在直线y＝2x上，且|z|＝eq\r(5)，则复数z＝()A．1＋2i B．－1－2iC．±1±2i D．1＋2i或－1－2i(2)设复数z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，则实数a的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1,1)C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)[解析](1)依题意可设复数z＝a＋2ai(a∈R)，由|z|＝eq\r(5)得eq\r(a2＋4a2)＝eq\r(5)，解得a＝±1，故z＝1＋2i或z＝－1－2i.(2)因为|z1|＝eq\r(a2＋4)，|z2|＝eq\r(4＋1)＝eq\r(5)，所以eq\r(a2＋4)＜eq\r(5)，即a2＋4＜5，所以a2＜1，即－1＜a＜1.[答案](1)D(2)B复数模的计算(1)计算复数的模时，应先确定复数的实部和虚部，再利用模长公式计算．虽然两个虚数不能比较大小，但它们的模可以比较大小．(2)设出复数的代数形式，利用模的定义转化为实数问题求解．[活学活用]1．如果复数z＝1＋ai满足条件|z|＜2，那么实数a的取值范围是()A．(－2eq\r(2)，2eq\r(2)) B．(－2,2)C．(－1,1) D．(－eq\r(3)，eq\r(3))解析：选D因为|z|＜2，所以eq\r(1＋a2)＜2，则1＋a2＜4，a2＜3，解得－eq\r(3)＜a＜eq\r(3).2．求复数z1＝6＋8i与z2＝－eq\f(1,2)－eq\r(2)i的模，并比较它们的模的大小．解：∵z1＝6＋8i，z2＝－eq\f(1,2)－eq\r(2)i，∴|z1|＝eq\r(62＋82)＝10，|z2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋?－\r(2)?2)＝eq\f(3,2).∵10>eq\f(3,2)，∴|z1|>|z2|.复数与复平面内向量的关系[典例]向量eq\o(OZ1,\s\up7(→))对应的复数是5－4i，向量eq\o(OZ2,\s\up7(→))对应的复数是－5＋4i，则eq\o(OZ1,\s\up7(→))＋eq\o(OZ2,\s\up7(→))对应的复数是()A．－10＋8i B．10－8iC．0 D．10＋8i[解析]因为向量eq\o(OZ1,\s\up7(→))对应的复数是5－4i，向量eq\o(OZ2,\s\up7(→))对应的复数是－5＋4i，所以eq\o(OZ1,\s\up7(→))＝(5,－4)，所以eq\o(OZ2,\s\up7(→))＝(－5，4)，所以eq\o(OZ1,\s\up7(→))＋eq\o(OZ2,\s\up7(→))＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，所以eq\o(OZ1,\s\up7(→))＋eq\o(OZ2,\s\up7(→))对应的复数是0.[答案]C(1)以原点为起点的向量表示的复数等于它的终点对应的复数；向量平移后，此向量表示的复数不变，但平移前后起点、终点对应的复数要改变．(2)复数的模从几何意义上来讲，表示复数对应的点到原点的距离，类比向量的模，可以进一步引申|z－z1|表示点Z到点Z1之间的距离．如|z－i|＝1表示点Z到点(0,1)之间的距离为1.[活学活用]在复平面内画出下列复数对应的向量，并求出各复数的模．z1＝1－i；z2＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i；z3＝－2；z4＝2＋2i.解：在复平面内分别画出点Z1(1，－1)，Z2－eq\f(1,2)，eq\f(\r(3),2)，Z3(－2,0)，Z4(2,2)，则向量OZeq\o(→,\s\up7(1，OZ))2，OZeq\o(→,\s\up7(3，OZ))4分别为复数z1，z2，z3，z4对应的向量，如图所示．各复数的模分别为：|z1|＝eq\r(12＋?－1?2)＝eq\r(2)；|z2|＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)))2)＝1；|z3|＝eq\r(?－2?2)＝2；|z4|＝eq\r(22＋22)＝2eq\r(2).层级一学业水平达标1．与x轴同方向的单位向量e1与y轴同方向的单位向量e2，它们对应的复数分别是()A．e1对应实数1，e2对应虚数iB．e1对应虚数i，e2对应虚数iC．e1对应实数1，e2对应虚数－iD．e1对应实数1或－1，e2对应虚数i或－i解析：选Ae1＝(1,0)，e2＝(0,1)．2．当eq\f(2,3)＜m＜1时，复数z＝(3m－2)＋(m－1)i在复平面上对应的点位于()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选D∵eq\f(2,3)＜m＜1，∴3m－2＞0，m－1＜0，∴点(3m－2，m－1)在第四象限．3．已知0＜a＜2，复数z＝a＋i(i是虚数单位)，则|z|的取值范围是()A．(1，eq\r(3)) B．(1，eq\r(5))C．(1,3) D．(1,5)解析：选B|z|＝eq\r(a2＋1)，∵0＜a＜2，∴1＜a2＋1＜5，∴|z|∈(1，eq\r(5))．4．在复平面内，向量eq\o(AB,\s\up7(→))对应的复数是2＋i，向量eq\o(CB,\s\up7(→))对应的复数是－1－3i，则向量eq\o(CA,\s\up7(→))对应的复数为??A.1－2i B.－1＋2iC.3＋4i D.－3－4i解析：选D由题意知eq\o(AB,\s\up7(→))＝(2,1)，eq\o(CB,\s\up7(→))(－1，－3)eq\o(CA,\s\up7(→))＝eq\o(CB,\s\up7(→))＋eq\o(BA,\s\up7(→))＝(－1，－3)＋(－2，－1)＝(－3，－4)，∴CA对应的复数为－3－4i.5．复数z＝1＋cosα＋isinα(π＜α＜2π)的模为()A．2coseq\f(α,2) B．－2coseq\f(α,2)C．2sineq\f(α,2) D．－2sineq\f(α,2)解析：选B|z|＝eq\r(?1＋cosα?2＋sin2α)＝eq\r(2＋2cosα)＝eq\r(4cos2\f(α,2))＝2|coseq\f(α,2)|.∵π＜α＜2π，∴eq\f(π,2)＜eq\f(α,2)＜π，coseq\f(α,2)＜0，于是|z|＝－2coseq\f(α,2).6．在复平面内，O为坐标原点，向量OA→对应的复数为－2－i，若点A关于直线y＝－x的对称点为B，则向量OB→对应的复数为________．解析：复数－2－i对应点A(－2，－1)，点A关于直线y＝－x的对称点为B(1,2)，∴eq\o(OB,\s\up7(→))→对应的复数为1＋2i.答案：1＋2i7．过原点和eq\r(3)－i对应点的直线的倾斜角是________．解析：∵eq\r(3)－i在复平面上的对应点是(eq\r(3)，－1)，∴tanα＝eq\f(－1－0,\r(3)－0)＝－eq\f(\r(3),3)(0≤α＜π)，∴α＝eq\f(5π,6).答案：eq\f(5π,6)8．若复数z满足zi＝1－i，则z＝________.解析：设z＝a＋bi(a，b∈R)，则zi＝1－i，得(a＋bi)i＝1－i，即－b＋ai＝1－i.由复数相等的充要条件得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－b＝1，,a＝－1，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－1，,b＝－1.))∴z＝－1－i.答案：－1－i9．设z为纯虚数，且|z－1|＝|－1＋i|，求复数z.解：∵z为纯虚数，∴设z＝ai(a∈R且a≠0)，又|－1＋i|＝eq\r(2)，由|z－1|＝|－1＋i|，得eq\r(a2＋1)＝eq\r(2)，解得a＝±1，∴z＝±i.10．已知复数z＝m(m－1)＋(m2＋2m－3)i(m∈R)．(1)若z是实数，求m的值；(2)若z是纯虚数，求m的值；(3)若在复平面内，z所对应的点在第四象限，求m的取值范围．解：(1)∵z为实数，∴m2＋2m－3＝0，解得m＝－3或m＝1.(2)∵z为纯虚数，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m?m－1?＝0，,m2＋2m－3≠0.))解得m＝0.(3)∵z所对应的点在第四象限，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m?m－1?＞0，,m2＋2m－3＜0.))解得－3＜m＜0.故m的取值范围为(－3,0)．层级二应试能力达标1．已知复数z1＝2－ai(a∈R)对应的点在直线x－3y＋4＝0上，则复数z2＝a＋2i对应的点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选B复数z1＝2－ai对应的点为(2，－a)，它在直线x－3y＋4＝0上，故2＋3a＋4＝0，解得a＝－2，于是复数z2＝－2＋2i，它对应点的点在第二象限，故选B.2．复数z＝(a2－2a)＋(a2－a－2)i对应的点在虚轴上，则()A．a≠2或a≠1 B．a≠2且a≠1C．a＝0 D．a＝2或a＝0解析：选D∵z在复平面内对应的点在虚轴上，∴a2－2a＝0，解得a＝2或a＝0.3．若x，y∈R，i为虚数单位，且x＋y＋(x－y)i＝3－i，则复数x＋yi在复平面内所对应的点在()A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限解析：选A∵x＋y＋(x－y)i＝3－i，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y＝3，,x－y＝－1，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝2，))∴复数1＋2i所对应的点在第一象限．4．在复平面内，复数z1，z2对应点分别为A，B.已知A(1,2)，|AB|＝2eq\r(5)，|z2|＝eq\r(41)，则z2＝()A．4＋5i B．5＋4iC．3＋4i D．5＋4i或eq\f(1,5)＋eq\f(32,5)i解析：选D设z2＝x＋yi(x，y∈R)，由条件得，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(?x－1?2＋?y－2?2＝20，,x2＋y2＝41.))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝5，,y＝4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,5)，,y＝\f(32,5).))故选D.5．若z＝a－i(a∈R，且a＞0)的模为eq\r(2)，则a＝________，复数z的共轭复数eq\x\to(z)＝________.解析：∵eq\r(a2＋?－1?2)＝eq\r(2)，且a＞0，∴a＝1，则z＝1－i，∴eq\x\to(z)＝1＋i.答案：11＋i6．已知复数z＝x－2＋yi的模是2eq\r(2)，则点(x，y)的轨迹方程是________．解析：由模的计算公式得eq\r(?x