也谈曲线切点弦的处理方法

也谈曲线切点弦的处理方法王怀明(安徽省枞阳县会宫中学,246740)文由一道测试题提出一个问题：过圆外一点作圆的两条切线，如何求两切点所在的直线方程？然后通过对大纲版教材和人教A版教材处理方法的比较，得出结论：大纲版教材的处理方法（即下面的解法1，笔者注）“这样求解思维转弯多，且对圆的一般位置需要另行推理，这对学生而言，有一定的困难”，人教A版教材的处理方法（即下面的解法2，笔者注）“优于大纲版教材，主要表现在计算快，转化少，突出圆的地位而淡化切（直）线方程”。事实真的是这样吗？本文先列举文的两种解法，并增加解法3。然后通过解法的应用，比较三种解法，得到不同解法的适用范围。1解法呈现为了方便说明，将文中的问题一般化：过圆：外一点作圆的两条切线，切点分别为、，求切点弦所在的直线方程。解法1因为圆在点处的切线垂直于，当时，，所以圆在点处切线的斜率为，方程为，即，又，所以；当或时，切点弦线也满足方程。同理圆在点处的切线方程为。而点在切线上，故有且。这说明点、的坐标满足，因此切点弦的方程为。解法2由题意知，,，因此，点、在以为直径的圆上。设点是以为直径的圆上任意一点，则,得。即以为直径的圆的方程为由题意知点、既在圆上，又在以为直径的圆上，与相减得，因此切点弦的方程为。解法3当切线的斜率存在时，设切线斜率为，则过点的切线方程为，由得。由得，方程为，即，又，所以；同理圆在点处的切线方程为。而点在切线上，故有且。这说明点、的坐标满足，因此直线的方程为。当切线的斜率不存在时，切点弦也满足方程。说明：解法1利用性质“圆心和切点的连线垂直于过该点的切线”，直接求出切线的斜率；解法3是从代数角度处理问题，利用直线和圆相切时的判别式求出斜率，它们后面的处理方法完全一样。2解法的应用例1（2022广东理20，文21）已知抛物线的顶点为原点，其焦点到直线：的距离为。设为直线上的点，过点作抛物线的两条切线,其中为切点。（1）求抛物线的方程；（2）当点为直线上的定点时，求直线的方程；（3）略。解：（1）过程略，抛物线的方程为；（2）抛物线的方程为，即，求导得。设，（其中，），则切线的斜率分别为，。所以切线的方程为，即。同理，可得切线的方程为。因为切线均过点，所以，。所以，为方程的两组解。所以直线的方程为。说明：求切线的斜率时，可按照解法3的思路，联立方程组，消元后由求出斜率为，只是这里的斜率能用求导公式直接求出，不需要联立方程组而已。若把抛物线该为，则必须先联立方程组，消元后由求出斜率。由上述解题过程知，当圆换成抛物线时，解法1和解法3仍然适用，而解法2则不适用。切点弦问题在高考试题中很常见,如:例2（2022辽宁文20，理20）：如图（图略），抛物线:，。点在抛物线上，过作的切线，切点为（为原点时，重合于）。当时，切线的斜率为。（1）求的值；（2）当在上运动时，求线段中点的轨迹方程（重合于时，中点为）。解：（1）；（2）同例1的解法得到切点弦的方程为，联立与得。设，由点为的中点，得…=1\*GB3①，由点在直线上，得…=2\*GB3②，由点在上，得…=3\*GB3③。由=1\*GB3①=2\*GB3②=3\*GB3③消、得。因此中点的轨迹方程为。与参考答案相比，该解法思路简单，易于掌握。同样的，该题求切点弦的方程时，只适用于解法1和解法3。例3（2022江西理21）设点在直线上，过点作双曲线的两条切线、，切点为、，定点。（1）略；（2）求证：、、三点共线。证明：设，，切线的方程为，由得，从而，解得，因此的方程为：，同理的方程为：，又在、上，所以，，即点，都在直线上，即的方程为。又也在直线上，所以、、三点共线。说明：这里主要是求切点弦的问题。我们发现，不仅解法2不适用，解法1也不适用，因为没有办法直接求斜率，必须利用解法3的思路求解。3不同解法比较及求解策略首先，从难度来看，解法1的难点在于先求两切点、处的切线方程，再利用点在切线上直接得到切点弦方程。解法2的难点在于，一是能看出点、在以为直径的圆上，二是能顺利写出圆的方程，三是注意到是两圆的公共弦，由两圆方程相减得到直线的方程。解法3与解法1的区别是：解法3没有直接写出斜率，利用一元二次方程根的判别式求出斜率，其他相同。因此三种解法难度差不多，即便是圆的一般位置，处理起来也没有多大区别。其次，从适用范围来看，解法1或解法3不仅适用于直线和圆相切时切点弦的求法，也适用于直线与一般的圆锥曲线相切时切点弦的求法，解法2仅适用于直线和圆相切时切点弦的求法。因此，在求二次曲线的切点弦问题时，可遵循以下要求：若过圆外一点作圆的切线，则三种解法都可以，只是解法1和解法2相对简洁一点。若过一般的二次曲线外一点作曲线的切线，则要具体情况具体对待，能直接求切点处斜率的，按照解法1的思路即可；不能直接求切点处斜率的，则要按照解法3的思路，联立方程组，消元后由求斜率。再由曲线外一点是两切线的公共点，写出切点弦方程。读者可以做下面两道题，从中进一步体会三种解法适用范围的不同。练习1（2022辽宁理9）过点作圆的两条切线，切点分别为、，则直线的方程为（）A.B.C.D.（三种解法均可，答案为A）练习2已知椭圆和圆。过圆上任一点作椭圆的两条切线，两切点、的连线与轴、轴分别相交于点、，求面积的最小值。（本题是把2022华约自主招生试题改编而成的，只解法3适用，切点弦的方程为，答案为）4高等数学背景曲线切点弦问题的知识背景是高等数学中圆锥曲线的极点和极线问题：已知圆锥曲线,则称点和直线是圆锥曲线的一对极点和极线.若极点在曲线上,则极线就是曲线在点处的切线；若过极点可作曲线的两条切线,、为切点,则极线就是直线。若利用极点和极线的有关性质，则可以直接写出切点弦方程。如本文开始的引例，极点相应的极线方程为，即为切点弦的方程。例1中曲线，极点相应的极线方程为，即。例2同例1，略。例3中曲线，极点相应的极线方程为，即。5结束语通过上面的分析可以发现,解法2(即新教材的处理方法)是最特殊的解法,只能适用于直线与圆相切的问题。解法1比解法2适用范围更广,只要切点的斜率能求即可,如文的两个题目和本文的例1、例2。解法3的适用范围最广，只要是直线与二次曲线相切的问题，都可以求解。因此，这三种解法之间是特殊与一般的关系，我们要正确看待特殊方法与一般方法的关系。不仅要通过研究教材例题和习题，寻求解决一个问题的最优途径，更要透过现象看透本质，寻求一类问题的普遍适用的解决方法，让学生能触类旁通，举一反三。教材是教学的出发点和归宿，作为教师，在教学中既不能全盘否定教材，另起炉灶；也不能过分盲从、迷信教材的权威，照本宣科。要有自己的理解和思考，用批判的眼光看待教材，创造性的使用教材。只有这样，我们的课堂教学才会充满生机和活力。作为学生，无须知道曲线切点弦的高等数学知识背景，也不能直接写出切点弦的方程，必须利用他们所掌握的知识方法解决问题。但作为教师，不仅要知道切点弦问题