圆锥曲线-椭圆(自整理)

椭圆及其性质一、知识梳理椭圆的方程及其几何性质定义平面上到两定点耳,F2的距离之和等于定长2a的点的轨迹，叫作椭圆.眄|+|PF2|=2a>2c=|气F2|图形4FA（r.f―J标准方程旦+丘=1（a>b>0）a2b2丘+竺=1（a>b>0）a2b2范围|x|<a,|y|<b|y|<a,|x|<b对称性x轴，y轴为对称轴；O为对称中心焦点、顶点F（±c,0）A（±a,0）B（0,+b）F（0,+c）A（0,±a）B（+b,0）焦距、两轴焦距〔FfJ=2c,b2=a2—c2，长轴〔A]aJ=2a，短轴|B1BJ=2b点与曲线F（x0,y0）>1o点在椭圆外；F（x0,y0）=1o点在椭圆上；F（x。,y/v1o点在椭圆内二、学法点拨椭圆的定义是椭圆上的点到焦点的距离来刻画的，因此在解题中凡涉及曲线上点到焦点的距离是，应先想到利用定义求解，会有事半功倍之效.椭圆的标准方程有两种情形，在解题时要防止遗漏.要深刻理解椭圆中的几何量a,b,c之间的关系以及椭圆的基本性质（范围与对称性）在解题中的作用.求椭圆的标准方程的方法除了直接根据定义外，常用待定系数法（先定性、后定理、再定参）.当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其为哪一类标准方程时，可设方程为匚+止=16>0,n>0,m丰n）,以避mn免讨论和繁杂的计算；也可以设为Ax2+By2=1（A>0,B>0,A丰B），这种形式在解题中更显简捷.利用直线、弦长、椭圆三者间的关系组成各类试题是解析几何中长盛不衰的主题,所以直线与椭圆位置关系的研究更显重要，判别方法用判别式“A”，弦长问题由韦达定理得弦长公式.三、例题精讲例1已知椭圆的中心在原点且过点P（3,2），焦点在坐标轴上，长轴是短轴的3倍，求该椭圆的方程.x2y2例2在直线x-y+9=0上取一点M，过点M且与椭圆匚+；=1共焦点作椭圆C.点M在何处时,椭圆C的长轴最短？并求此时的椭圆方程.例3已知某椭圆的焦点是F（-4,0）F2（4,0）,过点F2并垂直于x轴的直线与椭圆的一个交点为B，且IF1B+lF2b\=10.椭圆上不同的两点A,c满足条件：lF2ALF2B」F2C成等差数列.（1） 求该椭圆的方程；（2） 求弦Ac中点的横坐标；（3）设弦AC的垂直平分线的方程为y=kx+m，求m的取值范围.例4平面直角坐标系xOy中，过椭圆M+ =1（a>b>0）右焦点的直线x+y-*3=0交M于a2b2A,B两点，P为AB的中点，且OP的斜率为2.2（1） 求M的方程；（2） C,D为M上两点，若四边形ABCD的对角线CD丄AB，求四边形ABCD面积的最大值.x2y2例5如图12-9所示，点A,B分别是椭圆防+士二1长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在3620椭圆上，且位于x轴上方，PA丄PF.（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于MB，求椭圆上的点到点M的距离最小值.若椭圆c的一个焦点fG,。）其短轴上的一个端点到例6给定椭圆C:a2+计=仏>b>若椭圆c的一个焦点fG,。）其短轴上的一个端点到（1） 求椭圆C的方程和其“准圆”方程；（2） 设点P是椭圆C的“准圆”上的一个动点，过动点P作直线l],12与椭圆都只有一个公共点，试判断直线l1,l2是否垂直，并说明理由.例7椭圆C: + =1C>b>0）的两个焦点为FF,，点P在椭圆C上，且a2b2 12PF1丄PF2,叶4,lPFJ=14-（1） 求椭圆C的方程；（2） 若直线1过圆x2+y2+4x-2y=0的圆心M，交椭圆C于A,B两点，且A,B关于点M对称，求直线1的方程.

四、难点攻略例已知椭圆c的中心在原点，一个焦点fk,J2)且长轴与短轴长的比是J2：i,求椭圆c的方程；若椭圆C在第一象限的一点P的横坐标为1,过点P作倾斜角互补的两条不同的直线PA,PB，分别交椭圆C于另外两点A,B，求证：直线AB的斜率为定值；求APAB面积的最大值.五、易错警示x2y2例已知椭圆打+亍二1，试求圆心在长轴上，和椭圆的短轴相切，并与椭圆在某点处也相切的圆的方164程.六、真题导读＆考题预测六、真题导读＆考题预测例1设椭圆C:a2+¥=1(a>b>0)过点M°丿且左焦点为FW丿例1求椭圆C的方程；当过点P(4,1)的动直线l与椭圆C相交于两不同点A,B时，在线段AB上取点Q，满足AP-QB=AQ-PB，证明：点Q总在某定直线上.

例2设含，A2与B分别是椭圆E:-+丘=1（a>b>0）的左、右顶点与上顶点，直线A2B与圆12 a2b2 2C:x2+y2=1相切.11（1） 求证： 1 =1；a2b2（2） 设P是椭圆上异于舛，A2的点，直线PA,PA2的斜率之积为-1，求椭圆E的方程；12123（3） 若直线l与椭圆E交于M,N两点，且OM-ON=0，试判断直线l与圆C的位置关系，并说明理由.例3x2y2若椭圆坨例3x2y2若椭圆坨:+1a2b211=1和椭圆E2a2b22m(m>则称这两个椭圆相似，m称为其相似比.（1） 求经过点（，丁6），且与椭圆三-+~~=1相似的椭圆方程；4 2（2） 设过原点的一条射线l分别与（1）中的两个椭圆交于A,B两点（其中点A在线段OB上）,求Ioa|-\ob\的最大值和最小