高一数学-高三数学(双曲线)

解之得：vIa2a>0，b>0)a2=12解之得：解之得：vIa2a>0，b>0)a2=12解之得：vb2=8a2・(—3)2(2j3)2°・••——九・916・・・双曲线方程为字—必—1944x23)设双曲线方程为X2a2+ky2b2—k高三数学教案教学课题：双曲线教学日期：教学目的：了解双曲线的定义，标准方程和双曲线的简单几何性质.重点难点：渐近线，a,b,c的关系求离心率，求标准方程教学方法：类比，讲练结合教学过程：基础知识双曲线的定义：平面内与两个定点F,F的距离的差的绝对值12等于常数(小于|FF|)的点的轨迹.12其中：两个定点叫做双曲线的焦点，焦点间的距离叫做焦距；定直a2c线叫做准线x=±.常数叫做离心率e二>1.2a=1FFI表ca12示两条射线；2a>IFFI没有轨迹；12双曲线的渐近线：求双曲线旦_竺=]的渐近线，可令其右边的1为0，即得a2b2竺_71=0，因式分解得到.a2b2x2y2与双曲线一—一1共渐近线的双曲线系方程是乞_21=九；a2b2a2b2等轴双曲线为x2-y2=t2，其离心率为fl基础练习到两定点F(—3,0),F(3,0)的距离之差的绝对值等于6的点M12的轨迹是()A.椭圆B.线段C.双曲线D.两条射线双曲线的两条准线将实轴三等分，则它的离心率为—.

焦点为(0,6)，且与双曲线—y2=1有相同的渐近线的双曲线乙TOC\o"1-5"\h\z方程是.x2y2过双曲线蔷_[=1左焦点F的弦AB长为6,贝咕ABF(F为169iU22右焦点)的周长是—.x2y2双曲线石_—-=1的右焦点到右准线的距离为.\o"CurrentDocument"97若方程一^-丄=—1表示焦点在y轴上的双曲线，则它的半ImI—2m—1焦距C的取值范围是—.曲线2x2—y2+6=0上的一点P到一个焦点的距离为4,则P点到较远的准线的距离为.x2y2双曲线石-—=1的两个焦点F,F，点P在双曲线上，若91612PF丄PF则点P到x轴的距离是—.12例题例1.根据下列条件，求双曲线方程.与双曲线=1有共同渐近线，且过点(-3，2^3)；TOC\o"1-5"\h\z916与双曲线——=1有公共焦点，且过点(3*2，2).164解析：法一：(1)双曲线=1的渐近线为y=±'x9163令x=-3,y=±4,因2总<4，故点(-3,2<3)在射线y=-|x(xW0)及x轴负半轴之间，・・・双曲线焦点在x轴上设双曲线方程为=1,(a>0,b>0)a2b2

b=4a一3(—3)2(2•占)2—1b2双曲线方程为乍~-^—=1TOC\o"1-5"\h\z944(2)设双曲线方程为—1a2b2a2+b2=20(32)222t———1

b2双曲线方程为—1128法二：(1)设双曲线方程为-九(入H0)916九--4...°丞—丄—1解之得：k=416—k4+k双曲线方程为-^_=1128评注：与双曲线————1共渐近线的双曲线方程为a2b2—-—=九(入工0),当入>0时，焦点在x轴上；当入<0时，焦a2b2点在y轴上.与双曲线「舊=1共焦点的双曲线为=1(a2+k>0，b2-k>0).比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义，可以更准确地理解解析几何的基本思想.例2•设点P到M(-1,0),N(1,0)的距离之差为2m,到x

轴，y轴的距离之比为2,求m取值范围.解析：根据题意，从点P的轨迹着手•・・||PM|-|PN||=2m・••点P轨迹为双曲线，方程为出-y=1(|m|〈l)①m21-m2又y=±2x(x#0)②①②联立得:X2=Ed-曲)1-5m2将此式看成是m2(1-m2)关于x的二次函数式，下求该二次函1-5m2数值域,从而得到m的取值范围.根据双曲线有界性：|x|>m,x2>m2m2(1-m2)・•・>m21-5m2又0〈m2〈1・・・1-5m2>0.・・|ml<5且m#05me(,0)5me(,0)5(0呼例3双曲线三-亡=1(a>0,b>0)的焦距为2c，直线l过a2b2点(a,0),(0,b),且点(1,0)到直线l的距离与点(-1,0)到直线l的距离之和s>4c，求双曲线的离心率e的取值范围.分析：将不等式s>4c转化为a,b,c的关系，b用a,c表示,c再由e=得关于e的不等式，求出范围.axy解析：直线l的方程为一+斗=1，即bx+ay=ab.ab由(1,0)至【Jl的距离d=空2，同理由(-1,0)至的距离1Ja2+b2了b(a+1)d=2辿.由s>4c，得a2了b(a+1)d=2辿.由s>4c，得a2+b2c5a2+b212

>-c,即5a€c2-a2>2c2，于是有5je2-1>2e2，即c55[54e4-25e2+25<0，解得一<e2<5，由e>1得…<e<p5.42评注：求双曲线离心率或离心率的范围的常用方法有两种：c1.直接法；2.建立a,b,c的齐次式，b用a,c表示，再由e=—得关a于e的关系式.例4：已知双曲线-亡=1(a>0,b>0)的离心率e>1+迂,a2b2左.右焦点分别为F,F，左准线为l，能否在双曲线的左支上12找一点P，使得lPFl是P到l的距离d与lPFl的等比中12项？解析：设在左支上存在P点，使lPFl2=lPFl・d，由第二定12lPFllPFl义知lP1=2=e，即lPFl=elPFl12lPFllPFl义知lP1=2=e，即lPFl=elPFl①d|PF|211又由lPFl-1PFl=2a②211e-12e-1因在切PFF中有lPFl+1PFl>2c12122a2ae+>2ce-1e-1c利I」用e=，得e2—2e+1<0a解1-\2<e<1+\：2.e>1,1<e<1+弋2与已矢口e>1+\21矛..符合条件的点P不存在.

小结1．分清双曲线的位置及基本量和基本量之间的联系是解决问题的前提.2．待定系数与充分利用根与系数的关系是简化求解的关键，而与焦点有关的问题充分利用定义和几何性质更能简化求解作业1．根据下列条件，求双曲线的标准方程：焦点的坐标是(-6,0).(6,0),并且经过点A(-5,2)经过点P(—3,20和Q(-6\2-7)，焦点在y轴上x2y22•已知1了+J7=1表示双曲线，求k的取值范围.1+k1-k3•已知双曲线4x2-y2+64=0上一点M到它的一个焦点的距离等于1,求M到另一个焦点的距离.4•已知双曲线过点(3,-2),且与椭圆4x2+9y2=36有相同的焦点，求双曲线的方程.5・双曲线-^―=1(a>0,b>0)的半焦距为c，直线l