2021版集合的含义学案

§集合1．集合的含义与表示第1课时集合的含义学习目标1.了解集合与元素的含义.2.理解集合中元素的特征，并能利用它们进行解题.3.理解集合与元素的关系.4.掌握数学中一些常见的集合及其记法．知识点一元素与集合的概念1．把研究对象统称为元素，通常用小写拉丁字母a，b，c，…表示．2．把一些元素组成的总体叫做集合(简称为集)，通常用大写拉丁字母A，B，C，…表示．知识点二元素与集合的关系元素与集合的关系有且只有两种，分别为属于、不属于，数学符号分别为∈、∉.知识点三元素的三个特性元素的三个特性是指确定性、互异性、无序性．思考某中学2022级高一年级20个班构成一个集合A，①高一(10)班、高二(6)班是集合A中的元素吗？②若a∈A，b∈A，则元素a，b有什么关系？为什么？答案①高一(10)班是A中的元素，高二(6)班不是A中的元素．②a≠b，这是因为集合A中的元素具有互异性．知识点四常用数集及表示符号名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集符号NN*或N＋ZQR1．y＝x＋1上所有点构成集合A，则点(1,2)∈A.(√)2．某班所有的“帅哥”构成一个集合．(×)3．由方程x2－4＝0或x－2＝0的根组成的集合中有3个元素．(×)4．元素0,1,2和元素2,1,0组成的集合不是同一个集合．(×)题型一对集合含义的理解例1考察下列每组对象能否构成一个集合．(1)不超过20的非负数；(2)方程x2－9＝0在实数范围内的解；(3)某班的所有高个子同学；(4)eq\r(3)的近似值的全体．解(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过20的非负数”，所以能构成集合．(2)能构成集合．(3)“高个子”无明确的标准，对于某个人算不算高个子无法客观地判断，因此不能构成一个集合．(4)“eq\r(3)的近似值”不明确精确到什么程度，因此很难判断一个数如“2”是不是它的近似值，所以不能构成集合．反思感悟判断给定的对象能不能构成集合，关键在于是否给出一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能按此标准确定它是不是给定集合的元素．跟踪训练1下列各组对象可以组成集合的是()A．中国著名科学家B．小于8的所有素数C．平面直角坐标系内第一象限的一些点D．所有小的正数答案B解析A中“著名”的标准不确定，不能构成集合；B能构成集合；C中“一些点”无明确的标准，对于某个点是否在“一些点”中无法确定，因此“平面直角坐标系内第一象限的一些点”不能构成集合；D中“所有小的”没有明确的标准，所以不能构成集合．题型二元素与集合的关系例2给出下列关系：①eq\f(1,2)∈R；②eq\r(2)∉Q；③|－3|∉N；④|－eq\r(3)|∈Q；⑤0∉N，其中正确的个数为()A．1B．2C．3D．4答案B解析eq\f(1,2)是实数，①对；eq\r(2)不是有理数，②对；|－3|＝3是自然数，③错；|－eq\r(3)|＝eq\r(3)为无理数，④错；0是自然数，⑤错．故选B.反思感悟要判断元素与集合的关系，首先要弄清集合中有哪些元素(涉及常用数集，如N，R，Q，概念要清晰)；其次要看待判定的元素是否具有集合要求的条件．跟踪训练2给出下列命题：①N中最小的元素是1；②若a∈N，则－a∉N；③若a∈N，b∈N，则a＋b∈N.其中所有正确命题的个数是()A．0B．1C．2D．3答案B解析对于①，自然数集中最小的元素是0，所以①不正确；对于②，若a∈N，即a是自然数，当a＝0时，－a仍为自然数，所以②也不正确；对于③，两个自然数相加还是自然数，所以③正确．题型三元素的特性的应用例3已知集合A有三个元素：a－3,2a－1，a2＋1，集合B也有三个元素：0,1，x.(1)若－3∈A，求a的值；(2)若x2∈B，求实数x的值；(3)是否存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同．解(1)由－3∈A且a2＋1≥1，可知a－3＝－3或2a－1＝－3，当a－3＝－3时，a＝0；当2a－1＝－3时，a＝－1.经检验，0与－1都符合要求．∴a＝0或－1.(2)当x＝0,1，－1时，都有x2∈B，但考虑到集合元素的互异性，x≠0，且x≠1，故x＝－1.(3)显然a2＋1≠0.由集合元素的无序性，只可能a－3＝0或2a－1＝0.若a－3＝0，则a＝3，A包含的元素为0,5,10，与集合B中元素不相同．若2a－1＝0，则a＝eq\f(1,2)，A包含的元素为0，－eq\f(5,2)，eq\f(5,4)，与集合B中元素不相同．故不存在实数a，x，使集合A与集合B中元素相同．反思感悟元素的无序性主要体现在：①给出元素属于某集合，则它可能表示集合中的任一元素；②给出两集合元素相同，则其中的元素不一定按顺序对应相等．元素的互异性主要体现在求出参数后要代入检验，同一集合中的元素要互不相等．跟踪训练3已知集合M中含有三个元素：a，eq\f(b,a)，1，集合N中含有三个元素：a2，a＋b,0，若集合M与集合N中元素相同，求a，b的值．解∵集合M与集合N中元素相同．∴集合M中含有元素0，集合N中含有元素1，∴b＝0，a＝1或－1.由集合中元素的互异性，得a≠1，∴a＝－1，b＝0.根据已知元素与集合的循环关系推理典例设A是某实数集合，满足若a∈A，则eq\f(1,1－a)∈A，a≠1，且1∉A.(1)若2∈A，则集合A中至少还有几个元素？求出这几个元素；(2)集合A中能否只含有一个元素？请说明理由；(3)若a∈A，证明：1－eq\f(1,a)∈A.(1)解因为2∈A，所以eq\f(1,1－a)＝eq\f(1,1－2)＝－1∈A；所以eq\f(1,1－a)＝eq\f(1,1＋1)＝eq\f(1,2)∈A；所以eq\f(1,1－a)＝eq\f(1,1－\f(1,2))＝2∈A.因此，集合A中至少还有两个元素－1和eq\f(1,2).(2)解不能．如果集合A中只含有一个元素，则a＝eq\f(1,1－a)，整理得a2－a＋1＝0.该方程无实数解，故在实数范围内，集合A中不可能只含有一个元素．(3)证明a∈A⇒eq\f(1,1－a)∈A⇒eq\f(1,1－\f(1,1－a))∈A.即eq\f(1－a,1－a－1)＝eq\f(a－1,a)∈A，故1－eq\f(1,a)∈A.[素养评析](1)判断或证明元素和集合关系的两种方法①直接法a．使用前提：集合中的元素是直接给出的．b．判断方法：首先明确集合是由哪些元素构成，然后再判断该元素在已知集合中是否出现．②推理法a．使用前提：对于某些不便直接表示的集合．b．判断方法：首先明确已知集合的元素具有什么特征，然后判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征．(2)掌握推理基本形式和规则，探索和表达论证过程，体现了逻辑推理的数学核心素养.1．下列给出的对象中，能组成集合的是()A．一切很大的数B．好心人C．漂亮的小女孩D．方程x2－1＝0的实数根答案D2．下列结论中，不正确的是()A．若a∈N，则eq\f(1,a)∉N B．若a∈Z，则a2∈ZC．若a∈Q，则|a|∈Q D．若a∈R，则eq\r(3,a)∈R答案A3．若一个集合中的三个元素a，b，c是△ABC的三边长，则此三角形一定不是()A．锐角三角形 B．直角三角形C．钝角三角形 D．等腰三角形答案D4．由“book中的字母”构成的集合中元素的个数为()A．1B．2C．3D．4答案C5．已知集合A是由0，m，m2－3m＋2三个元素组成的集合，且2∈A，则实数m的值为()A．2 B．3C．0或3 D．0,2,3均可答案B解析由2∈A可知：若m＝2，则m2－3m＋2＝0，这与m2－3m＋2≠0相矛盾；若m2－3m＋2＝2，则m＝0或m＝3，当m＝0时，与m≠0相