2023年山东省藁城市高三（最后冲刺）数学试卷含解析

2023年高考数学模拟试卷

注意事项

1.考生要认真填写考场号和座位序号。

2.试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑

色字迹的签字笔作答。

3.考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.已知抛物线y2=2px(p>0),尸为抛物线的焦点且MN为过焦点的弦，若|。巴=1,|MN|=8,贝UAOMN的面

积为()

A.272B.3亚C.4夜D.当

2.已知函数/(x)=cos2x+Jisin2x+l,则下列判断错误的是()

A.f(x)的最小正周期为万B./(x)的值域为[-1,3]

C.Ax)的图象关于直线x=?对称D.f(x)的图象关于点对称

3.已知数列｛6,｝是公差为"3H0)的等差数列，且4，生，4成等比数列，则:()

A.4B.3C.2D.1

4.已知AABC是边长为1的等边三角形，点D,E分别是边AB，的中点，连接OE并延长到点厂，使得

DE=2EF,则赤•反1的值为()

11511

A.—B・—C.-D.一

8448

5.已知函数〃x)=x+±g(x)=2x+a,若1,3，叫e[2,3],使得/(xjNg(w),则实数"的取值范围

是()

A.a<\B.a>\

C.a<0D.a>0

6.已知i为虚数单位，若复数二=¥+1,则[=

2-1

9

A・二+iB.1—i

C.1+iD.-i

7,已知数列｛/｝中，弓=2,〃(4同一%)=/+1,〃6"*,若对于任意的不等式

3<2/+而-1恒成立，则实数，的取值范围为()

及+1

A.(―oo,-2]<J[1,+OO)B.(―oo,—2]D[2,4~OO)

C.(―00,—1]D[2,+co)D.[—2,2]

8.已知S“是等差数列｛叫的前“项和，若S2018<§2020<S2019,设H=4%+4+2,则数列>的前〃项和取最

大值时”的值为()

A.2020B.2019C.2018D.2017

9.在AABC中，BD=DC,AP=2PD,BP=AAB+^AC,贝！|2+〃=()

1111

A.——B.-C.一一D.-

3322

10.若复数网出(aeR)是纯虚数，则复数2a+27在复平面内对应的点位于()

1+i

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

11.已知等差数列｛4｝的前〃项和为S“，且4=-2,%=10,则59=()

A.45B.42C.25D.36

12.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载增最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要

贡献.十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前

一个单音的频率的比都等于啦.若第一个单音的频率为力则第八个单音的频率为

A.^2/B.娅于

C.D.行/

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.若正三棱柱ABC-A4G的所有棱长均为2,点P为侧棱A4上任意一点，则四棱锥P-BCC.B,的体积为

14.已知复数•是纯虚数，则实数。=,|z|=

1-1

15.等腰直角三角形ABC内有一点尸，PA=\,PB=6,PC=2,NA=9(T，则A4BC面积为.

16.如图，在棱长为2的正方体ABC。-A4GA中，点七、尸分别是棱49,A4的中点，P是侧面正方形

内一点(含边界)，若自P//平面AEC,则线段人尸长度的取值范围是.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(12分)如图所示，四棱柱—中，底面ABCD为梯形，AD//BC,NADC=90。，

AB=BC=BB[=2,4）=1,CD=6NA网=60。.

(1)求证：ABIBC；

(2)若平面A8CO_L平面求二面角。—BC-B的余弦值.

18.（12分）如图，在三棱柱ABC-A131G中，AiA_L平面A6C,ZACB=90°,AC=CB=GC=LM,N分别是A8,

AC的中点.

(1)求证：直线MN_L平面AC3i；

(2)求点G到平面BxMC的距离.

1,

19.(12分)已知函数/(x)=—x~—ax-Inx(aGR).

(1)若a=2时，求函数/(x)的单调区间；

3o_1

（2）设g（x）=/（x）+-x2+L若函数g（x）在一，e上有两个零点，求实数。的取值范围.

2\_e-

20.（12分）已知集合4={%|1082（*+3）<3},B={x\2m-1<x<m+3].

（1）若m=3,则AIJB；

（2）若AnB=8,求实数〃?的取值范围.

21.（12分）在①G3cosc-a）=csin3；@la+c-2/?cosC；③1sinA=也asin]；。这三个条件中任选一

个，补充在下面问题中的横线上，并解答相应的问题.

在AABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且满足,b=2瓜a+c=4,求AABC的面

积.

22.（10分）设数列{a,,}是公差不为零的等差数列，其前〃项和为S.,q=l,若%,%，4成等比数列.

（1）求见及S”；

⑵设"=丁二■（"6'*）,设数列出}的前〃项和北，证明：Tn<\.

4〃+1—14

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.A

【解析】

根据|OF|=1可知y2=4x，再利用抛物线的焦半径公式以及三角形面积公式求解即可.

【详解】

由题意可知抛物线方程为y2=4x,设点M（X,,y）点N（z，%），则由抛物线定义

知,MN|=|+1NF|=芭+々+2,|MN|=8则玉+々=6.

由y2=4x得y；=4内,y[=4x2则y：+y1=24.

又MN为过焦点的弦，所以多%=-4，则一R=+货-2yM=48,所以S.OMN=f。加值一yI=2啦.

故选：A

【点睛】

本题考查抛物线的方程应用，同时也考查了焦半径公式等.属于中档题.

2.D

【解析】

先将函数/*)=侬2%+氐皿2》+1化为/(外=25皿(2尤+总+1,再由三角函数的性质，逐项判断，即可得出结

果.

【详解】

f(x)=cos2x+>/3sin2x+1

可得f(x)=2—cos2x+———,sin2x+l=2sin(2x+—]+l

、22JV6J

2万2万

对于A,/(x)的最小正周期为7=「=不-=乃，故A正确；

\0)\2

对于B,由一14sin(2x+?卜1,可得—lW/(x)K3,故B正确；

jrjr

对于C,•.•正弦函数对称轴可得：2xo+-=^〃+—,(keZ)

62

]7C

解得：=5左"+1,仕£Z),

7T

当％=0,x0=-,故C正确；

6

JT

对于D,•.•正弦函数对称中心的横坐标为：2%+—=攵肛(％€2)

6

1jr

解得：Xo=-^+—,(/:eZ)

若图象关于点(一£,。]对称，则[%乃+二=一£

<4J2124

2

解得：k=--,故D错误；

3

故选：D.

【点睛】

本题考查三角恒等变换，三角函数的性质，熟记三角函数基本公式和基本性质，考查了分析能力和计算能力，属于基

础题.

3.A

【解析】

根据等差数列和等比数列公式直接计算得到答案.

【详解】

由4,%,4成等比数列得“；=6,％,，即(4+2。=4(4+5d),已知dw(),解得号=4.

故选：A.

【点睛】

本题考查了等差数列，等比数列的基本量的计算，意在考查学生的计算能力.

4.D

【解析】

设丽=£，BC=b>作为一个基底，表示向量力ETACN[伍-a),DF=1-DE=^-(b-a),

22'/24V'

AF=AD+DF=--a+-(b-a]=--a+-b,然后再用数量积公式求解.

24、'44

【详解】

设8A=a，BC=b>

[142IQQ

所以血=一衣=-仿一£),DF^-DE^-(b-a],AF^AD+DF^一一a+-(b-a]=--a+-b,

2>24、/24k/44

_____53i

所以而—己7B+二〜B=—.

448

故选：D

【点睛】

本题主要考查平面向量的基本运算，还考查了运算求解的能力，属于基础题.

5.C

【解析】

-114I44

试题分析：由题意知，当再e-,3时，由/(x)=x+222卜・?=4,当且仅当尤=一时，即x=2等号是成立，

所以函数“X)的最小值为4,当£€[2,3]时，g(x)=2'+a为单调递增函数，所以g(xL=g(2)=a+4,又因

为g,3，叫e[2,3],使得“xjNgG)，即在xeg，3的最小值不小于g(x)在xe[2,3]上的最小

值，即a+4W4,解得“40,故选C.

考点：函数的综合问题.

【方法点晴】本题主要考查了函数的综合问题，其中解答中涉及到基本不等式求最值、函数的单调性及其应用、全称

命题与存在命题的应用等知识点的综合考查，试题思维量大，属于中档试题，着重考查了学生分析问题和解答问题的

能力，以及转化与化归思想的应用，其中解答中转化为/(X)在XG；,3的最小值不小于g(x)在xe[2,3]上的最小

值是解答的关键.

6.B

【解析】

e且l+2i,(l+2i)(2+i),2+i+4i+2i2,,.寸一-.凶

因为z=~^7y+l=Q_j)Q+j)+1=-------------+1=1+1,所以z=l-i，故选B.

7.B

【解析】

%1111

先根据题意，对原式进行化简可得号一-=”/,八=------,然后利用累加法求得一a皿=3——,然后不等

n+\nn\n+\)nn+\n+]n+\

式幺±L<2/+s—1恒成立转化为2产+成-123恒成立，再利用函数性质解不等式即可得出答案.

〃+1

【详解】

由题，n(an+l-an)=ait+l=>nan+l=(〃+1)4+1

1

即_g---2_=------二一

Hn+ln+n〃+1

区用二Q〃+i

由累加法可得:〃+1l/i+l

即也不一，]+(，」]+…+卜」]+2=3<3

〃+1\nn+\J-In)\2)〃+l

对于任意的aw[—2,2],〃eN*,不等式巴包<2户+g—1恒成立

n+1

即2产+〃一IN3n2〃+at-4>0

令/(a)=2/+加一4=m+2f2-4,(ae[-2,2])

可得"2"0且"—2)20

[t2+t-2>Q"21或2

即L=>5r

t2-t-2>0[/之2或/4一1

可得122或右一2

故选B

【点睛】

本题主要考查了数列的通项的求法以及函数的性质的运用，属于综合性较强的题目，解题的关键是能够由递推数列求

出通项公式和后面的转化函数，属于难题.

8.B

【解析】

1cl1

根据题意计算生019〉0，«2020<0>4019+4020>。，计算<°,-一>0,--+：—>0,得到答案.

“2018“2019力2018”2019

【详解】

是等差数列的前〃项和，若

S”｛4｝S2018<S2020<52019,

11

02019>°，“2020<°，«2019+«2020>°»5=4+14+2,故7=

44+4+2

1八11<0,

当〃W2017时，厂>0,---=--------------->0,

b.“2018〃2018%019〃2020。2019^2019^2020^2021

11142019+“2020

--------1+—1

“2018---%19>0,

42018a201942020°2019a2020。202102018^2019^2020^2021

当〃22020时，；<°，故前2019项和最大.

b”

故选：B.

【点睛】

本题考查了数列和的最值问题，意在考查学生对于数列公式方法的综合应用.

9.A

【解析】

先根据丽=反,丽=24得到P为ZVIBC的重心，从而4户=，4月故可得A户=1A与+利用

3333

胡=涔_浅可得加=-|,月+AC,故可计算2+〃的值.

【详解】

因为丽=反，而=2而，所以。为AABC的重心，

所以加=,通+，/,..9丽=,4月+’/，

22222

所以衣=，A月+」配，

33

______2__i___

所以BP—AP—AB=——AB+—AC,因为BP=AAB+juAC,

211

所以几=,,=一,/./l+//=—故选A.

3339

【点睛】

对于ZVU3C,一般地，如果G为八48c的重心，那么=月+■仁)，反之，如果G为平面上一点，且满足

AG=1(AB+AC),那么G为AABC的重心.

10.B

【解析】

化简复数」」，由它是纯虚数，求得“，从而确定2。+2i对应的点的坐标.

1+1

【详解】

2：+力=2(：+?：-：)=q+1+(]_m是纯虚数,则[，1一：，a=-\,

1+z(l+z)(l-z)[l-a^O

2a+2i=-2+2i,对应点为(-2,2),在第二象限.

故选：B.

【点睛】

本题考查复数的除法运算，考查复数的概念与几何意义.本题属于基础题.

11.D

【解析】

由等差数列的性质可知q+%=々+%,进而代入等差数列的前〃项和的公式即可.

【详解】

由题应*R=9x(-2+10)=36.

222

故选:D

【点睛】

本题考查等差数列的性质,考查等差数列的前〃项和.

12.D

【解析】

分析：根据等比数列的定义可知每一个单音的频率成等比数列，利用等比数列的相关性质可解.

详解：因为每一个单音与前一个单音频率比为咫，

所以。“=蚯("之2,〃eM),

又见=f,则为=ad=/(啦y=行/

故选D.

点睛：此题考查等比数列的实际应用，解决本题的关键是能够判断单音成等比数列.等比数列的判断方法主要有如下

两种：

(1)定义法，若为"=4(qwO,〃eN*)或2=4(qH0,2,〃eN*),数列｛4｝是等比数列；

a„%

(2)等比中项公式法，若数列。｝中，4产。且=4。一2(〃23,〃eN*),则数列0｝是等比数列.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.迪

3

【解析】

依题意得S°BB、GC=2X2=4，再求点P到平面的距离为点A到直线BC的距离hp，用公式

所以心明℃=1S。%GCXhp即可得出答案•

【详解】

解：正三棱柱ABC-4SG的所有棱长均为2,

则5口844。=2x2=4,

点P到平面的距离为点A到直线BC的距离

所以%=、22-瓜

Vxh

所以P-BB,CtC=|SaBB©cp=1x4xV3=

故答案为：逑

3

【点睛】

本题考查椎体的体积公式,考查运算能力，是基础题.

14.11

【解析】

根据复数运算法则计算复数z=V+根据复数的概念和模长公式计算得解.

22

【详解】

a+i(a+i)(l+i)(a-l)+(a+l)ia—\a+1.

复数彳口=(j)(l+，)==一+一'

222

0=0

2

•.•复数z是纯虚数，.•乂\，解得。=1,

”1*0

2

：.z=i,，|z|=l,

故答案为：1,1.

【点睛】

此题考查复数的概念和模长计算，根据复数是纯虚数建立方程求解，计算模长，关键在于熟练掌握复数的运算法则.

5

15.-

2

【解析】

利用余弦定理计算cosZPA民cos（90"-ZPAB）,然后根据平方关系以及三角形面积公式，可得结果.

【详解】

设AB=AC=x

由题可知：

PA2+AB2-PB2

cosNPAB-

2PAAB

〈Mi吁怨；w…

由sin2ZPAB+cos2ZPAB=b

PA=\,PB=y/2>PC=2

2

222

1+X-(V2)2

『+/一22

所以=1

2xlx

化简可得：X4-6X2+5=0

则=5或f=],即X=&或X=1

由AB>Q4,所以x=J5

所以%2c=gA8SC=g

故答案为：—

2

【点睛】

本题主要考查余弦定理解三角形，仔细观察，细心计算，属基础题.

取4G中点G,连结/G,BG,推导出平面FG8//平面AEU,从而点P在线段BG上运动，作AHLBG于丹,

由A”麴月2AB,能求出线段A|P长度的取值范围.

【详解】

取瓦G中点G,连结/G,BG,

••・在棱长为2的正方体488-4旦。|2中，点E、/分别是棱AA、A4的中点，

:.AEHBG,AC//FG,

A£QAC=A,BGp\FG=G,

平面FGBII平面AEC,

•••P是侧面正方形BCGg内一点（含边界），"//平面AEC,

二点P在线段BG上运动，

在等腰△ABG中，A、G=BG=五+12=非,48=@+2?=2夜,

作A”,8G于H,由等面积法解得：

一即一?25g2而,

.-----而-----=~

:.AtH^PA,B,

，线段AP长度的取值范围是［2叵，26.

故答案为:

【点睛】

本题考查线段长的取值范围的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是

中档题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.(1)证明见解析(2)型

【解析】

(D取4?中点为。，连接OC,。4，AC,AB-根据线段关系可证明AABC为等边三角形，即可得A8_L0C；

由A434为等边三角形，可得从而由线面垂直判断定理可证明平面。BC，即可证明A3,gC.

(2)以。为原点，。与，OB,OC为x,y,二轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标，并求得平面88c和

平面B,CD的法向量，即可由法向量法求得二面角D-B.C-B的余弦值.

【详解】

(1)证明：取43中点为。，连接OC,OB、,AC,如下图所示：

所以AC=2,故AABC为等边三角形，则A8LOC.

连接因为AB=BB]=2,ZABB,=60°,

所以AABB1为等边三角形，贝|]AB，04.

又。。0。月=。，所以AB,平面。gC.

因为gCu平面OB。,

所以ABiqC.

(2)由(1)知ABLOC,

因为平面A8QDC平面=AB,OCu平面ABC。，

所以OC_L平面A8与A，

以。为原点，。用，OB,OC为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系,

易求℃=。4=百，则8(0,1,0),^(A/3,0,0),C(0,0,V3),D。，一*手

I22)

则前=gl,G),鸵=(一6,0,码,CD=。，-|，一周.

设平面3gC的法向量勺=(3,y,zj,

n,-BC=0,一乂+百Z|=0,

则<J一令X=1,则y=#,4=1,

勺•B}C—0,->/3X|+\/3Z|—0,

故1=(1,6,1).

设平面8co的法向量后=(辱+Z2)，

z

n,-CD=0,y2~~^~2

则{二一.则<2222

fK,B,C=0,r—r—

[-\J3X2+V3Z2=0,

令々=1，则％=-立，Z2=l>故2=

3I3

所以cos仍,4

由图可知，二面角。-BC-B为钝二面角角,

所以二面角D-B.C-B的余弦值为一业身

35

【点睛】

本题考查线面垂直的判定，由线面垂直判定线线垂直，由空间向量法求平面与平面形成二面角的大小，属于中档题.

18.(1)证明见解析.(2)昱

3

【解析】

(1)连接AG,8G,结合中位线定理可证再结合线面垂直的判定定理和线面垂直的性质分别求证

即可求证直线MN_L平面ACBi；

(2)作3c交于点P,通过等体积法，设G到平面用CM的距离为人则有结合

几何关系即可求解

【详解】

(1)证明：连接AG,BCi,则NGAG且N为AG的中点；

是AB的中点.

所以：MN//BC、；

ACu平面ABC,

：.AiAl.AC,

在三棱柱ABC-481G中，AAi//CC,

：.ACLCCt,

'：ZACB=90°,BCCCCi=C,BCcYffiBBxCxC,CGcY®BBiCtC,

.,.4C_L平面BBiCiC,BCu平面BB\C\C,

：.AC±BC!t又MN〃BC\

：.AC±MN,

,:CB=CiC=l,

二四边形BBiCiC正方形,

：.BCiYBiC,：.MNLBiC,

TOACC\B\C=C,且ACu平面ACBi,CBicYffiACBi,

平面AC8i,

(2)作MP_LBC交于点P,设G到平面81cM的距离为瓦

因为MP=g,S^cG=g,

所以匕/_用比］=3,SAKG'MPH~'

5

因为CM=半，BiC=O；

3画=叵所以

2

所以：SABQM

24

因为%/MC=^/GC，所以gsBM/=gs8©c.MP，解得红日

所以点G，到平面&MC的距离为走

3

【点睛】

本题主要考查面面垂直的证明以及点到平面的距离，一般证明面面垂直都用线面垂直转化为面面垂直，而点到面的距

离常用体积转化来求，属于中档题

19.(1)单调递减区间为(0,6+1),单调递增区间为(、反+1,+oo)(2)(3,2e]

【解析】

(1)当。=2时，求出了‘(X),求解/'(x)>0,/'(x)<0,即可得出结论;

31■InxI

(2)函数g(x)=/(x)+—厂9+1=2/0一以+1-inx在-上有两个零点等价于a=2x+------在一上有两

2exxe

1/nr1

解，构造函数/z(x)=2x+±-丝，xe—,e,利用导数，可分析求得实数。的取值范围.

xxl_e_

【详解】

1,

(1)当a=2时，/(%)=5%2-2》一111%定义域为(0,+8),

则:(x)=x_2」=三二生11,令八口=0,

XX

解得X=J5+1,或x=_J5+l(舍去)，

所以当xe(O,加+l)时，/'(x)<O,/(x)单调递减；

当xe(、/^+l,+8)时，/'(X)>0,/(x)单调递增；

故函数的单调递减区间为(0,V2+1),单调递增区间为(V2+l,+oo),

3

(2)设g(x)=/(x)+^x2+1=2x2—ox+1-Inx,

"1I1而「1一

函数g(x)在Y上有两个零点等价于。=2X+---------在一,e上有两解

_eJxx\_e

A”、c1欣「11ej,/、2x2-2+lnx

令h(x)—2xH----------九e-,e,则力(x)=---------------,

xx9l_e」%2

A7「1一

令Z(x)=2x-2+lnx,xG—,e,

e

显然，f(x)在区间-,e上单调递增，又f(l)=0,

_e

所以当xeJ」)时，有，(幻<0,即/(x)<0,

当x£(l,e]时，有心)>0,Bph\x)>0,

所以"(x)在区间一，1上单调递减，在区间(1,团上单调递增，

Le7

.・.x=l时，〃(工)取得极小值，也是最小值，

12

即〃(幻mm=力(1)=3,/z(-)=2e+-,/z(e)=2e,

ee

1Inx11

由方程。=2x+--------在一,e上有两解及//(—)>〃(e),

xxJe

可得实数a的取值范围是(3,2e].

【点睛】

本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、等价转化思想以及数形结合思想，考查逻辑推理、数学计算能力,

属于中档题.

20.(1){x|—3<x<6}；(2)[—1,2]|j[4,+oo)

【解析】

(1)将根=3代入可得集合B,解对数不等式可得集合A,由并集运算即可得解.

(2)由4n8=8可知B为A的子集，即8=A；当8=0符合题意，当B不为空集时，由不等式关系即可求得加

的取值范围.

【详解】

(1)若加=3,则3={x[5<xW6},

依题意A={x|log2(x+3)<3}=1x|Iog2(x+3)<log28}={x|-3<xW5},

故AUB={x[-3<xW6}；

(2)因为4口8=8,故B=A；

若2〃?-12m+3,即时，B-0,符合题意；

2/zi—12—3

若2加一1<m+3,即根<4时，〈,厂，

m+3<5

解得一1(根<2；

综上所述，实数加的取值范围为[-1,2]U[4,+8).

【点睛】

本题考查了集合的并集运算，由集合的包含关系求参数的取值范围，注意讨论集合是否为空集的情况，属于基础题.

21.横线处任填一个都可以，面积为

【解析】

无论选哪一个，都先由正弦定理化边为角后，由诱导公式sinA=sin(8+C),展开后，可求得B角，再由余弦定理

b~=a?+c?-2accos8求得“c，从而易求得三角形面积.

【详解】

在横线上填写“g(/?cosC-a)=csin8”.

解：由正弦定理，得百(sinBcosC-sinA)=sinCsin8.

由sinA=sin(B+C)=