2023届高二秋学期第一次月考数学试题及答案

2023届高二秋学期第一次月考(数学)

一、选择题

I.已知复数2=曾.贝喏=()

3—1

.31.31.心62.62.

A.---IBD.--+-IC.---IU.--+-1

第7题图

2.“Q=-1”是“直线2x+ay+4=0与直线(Q-l)x+y+2=。平行”的()

A.充分不必要条件B.必要不充分条件

A.4B.10C.19D.40

C.充要条件D.既不充分也不必要条件

8.点P(2,5)关于直线x+y+1=0的对称点的坐标为()

A.(6,-3)B.(3,-6)C.(-6,-3)D.(-6,3)

3.若直线±y=依-6与直线x+y-3=0的交点位于第二象限，则直线，的倾斜角的取值范围是()

A.M】B.[言C.(*)呜99.点P(cos6,sin。)到直线3x+4y-12=0的距离的取值范围为()

A后9B.[鸿]/爸D岩与

4.甲组数据为：5,12,16,21,25,37,乙组数据为：1,6,14,18,38,39,则甲、乙的平均数、极

差，及中位数相同的是()

A.极差氏平均数C.中位数D.都不相同10.已知四面体。一若8C,G是AABC的重心,且b=3而,若b=宣工+¥后+2反;贝IJ(x,y,z)为

()

5.已知P为空间中任意一点，4、B、C、。四点满足任意三点均不共线，但四点共面，且易而-

AG-H)B.(l.l.l)呜居)D.(222)

xPC+^PD,则实数x的值为()

II.自点力(-2,1)发出的光线1经过x轴反射，其反射光线所在直线正好与圆死/+/一轨-6、+9=0相切,

BL：C.iD.-l则反射光线所在直线的斜率之和为()

A.-B.2C.-D.4

33

6.端午节放假,甲回老家过节的概率苏乙、丙回老家过节的概率分别为淳假定三人的行动相互之间没

有影响,那么这段时间内至少1人回老家过节的概率为()12.已知M(3,4)是半径为1的动圆。上一点，P为圆O：/+y2=i上一动点，过点P作圆。的切线，切点分别为

A.B,则当|48|取最大值时.△248的外接圆的方程为()

A卷B.1C.；D.白

2222

605260A.x4-y-3x-4y-6=0B.x+y-3x-4y+6=0

C.x2+y2-3x-4y=0D.x2+y2-4x-3y=0

7.某市通过统计50个大型社区产生的日均垃圾量，绘制了如下图所示的频率分布直方图，数据的分组依次

二、填空题

为:[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),口2,14),[14,16),[16,18),为了鼓励率先实施垃圾分类回收，将日均垃圾量不

少于14吨的社区划定为试点社区，则这样的试点社区个数是()

一次掷两枚均匀的骰子，得到的点数为m和乩则关于工的方程/+(771+72%+4=0无实数根的概率是

已知圆G：*2+y2+2x+8y-8=0,圆C?：/+y?-4“-4y-2=0,则圆G与圆两交点所在直线方程

为.

已知正方体力BCD-Ai/GDi的棱长为2,以A为球心，2四为半径的球面与正方体4BCD-力各面的P

交线长为.

已知平面向量a,b,>|a|=\b\=2,ab=2,向量c满足-2Q-28|=|展一b|,则自一助|(入wR)的最

小值为•

三、解答题

过点P(3,2)的直线)与4轴和y轴正半轴分别交于4,B.在四棱锥P-力中，底面48。。是正方形.侧棱P0_L底面力8C，

PD=DC.E是PC中点，作EF1PB于点尸.

(1)若P为48的中点时，求，的方程；

(1)求证：PBJ_平面EF0；

(2)求平面CPB与平面PBD的夹角的余弦值.

(2)若△408的面积S最小时,求，的方程；

已知点P到力(-2,0)的距离是点P到8(1,0)的距离的2倍.

△力8c中，角4、B、C的对边分别为a、6c.2asinF=V3b.

(1)若点P与点Q关于点B对称，点C(5,8),求|QBF+|QC『的最大值；

(1)若为锐角三角形、其面积为苧.c=2,求a的值；

(2)若过8的直线与(I)中Q的轨迹交于E,尸两点.试问在x轴上是否存在点M(m,0),使ME.MF恒为定值？

(2)若4bcosA=3c,求tanC的值.

若存在，求出点M的坐标和定值；若不存在，请说明理由

如图所示，在棱长为1的正方体48。0-4当。】。1中，E为线段4%的中点，尸为线段48的中点。

(1)求直线FC到平面/1EG的距离；

(2)求48与平面4EG所成角的正弦值.

2

已知圆C：(%-1乃+(y-2)=25,直线I：(2m+l)x+(m+l)y-7m-4=0o

(1)求出直线/所过定点的坐标；

(2)求直线1被圆。截得的弦长最短时，的方程.

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参考答案与试题解析B

【考点】

共线向量与共面向量

2023届高二秋学期第一次月考(数学)

【解析】

一、选择题此题暂无解析

I.【解答】

【答案】B

A6.

【考点】【答案】

复数代数形式的乘除运算

B

【解析】

【考点】

此题暂无解析

对立事件的概率公式及运用

【解答】【解析】

A此题暂无解析

2.【解答】

【答案】B

C7.

【考点】【答案】

必要条件、充分条件与充要条件的判断

B

【解析】

【考点】

此题暂无解析

频率分布直方图

【解答】【解析】

C此题暂无解析

3.【解答】

【答案】B

D8.

【考点】【答案】

两条直线的交点坐标

C

【解析】

【考点】

此题暂无解析

与直线关于点、直线对称的直线方程

【解答】【解析】

D设出点P(2,5)关于直线/的对称点的坐标，利用对称点的连线被对称轴垂直平分，可以建立方程组，由此即

4.可求得结论.

【答案】【解答】

B答案选C

【考点】解：设点P(2,5)关于直线I的对称点的坐标为(匕y),则

极差、方差与标准差f1.(x-y+3=0(x=-6

【解析】

［在+小+1=0,-b+y+9=0'=-3'

此题暂无解析

【解答】・・・点P(2,5)关于直线珀勺对称点的坐标为(-6,-3)

B9.

5.【答案】

【答案】C

【考点】当俨。=|。时|+2=7时.|48|取最大值，aP/lB的外接圆以线段PC为直径，而PC中点，即。M中点为

点到直线的距离公式

【解析】:泗•

利用点到直线的距离公式.三角函数的性质可得答案.

即#2+y2-3x-4y-6=0.

【解答】

答案选C

记d为点P(cos。,sin。)到直线3翼+4y-12=0的距离，

即：d=313cos8+4sin0-12|=1|5sin(0+—12|,其中tane=:；

当。变化时，d的最大值为9，d的最小值为，

10.

【答案】

A

【考点】

向量加减混合运算及其几何意义

【解析】

此题衡无解析故选：A

【解答】二、填空题

A【答案】

11.i

【答案】12

C【考点】

【考点】古典概型及其概率计算公式

直线和圆的方程的应用【解析】

【解析】此题暂无解析

此题暂无解析【解答】

【解答】

C

12.【答案】

【答案】x+2y-1=0

A【考点】

相交弦所在直线的方程

【考点】

【解析】

圆的一般方程

【解析】此题暂无解析

此题暂无解析【解答】

【解答】x+2y-1=0

由|MC|=1,则动圆心C的轨迹方程为(％-3尸+(y-4)2=1.【答案】

P为圆0：/+y2=1上的动点又|0河|=5,・•.3<\PC\<7.37r

•・•\PC\•\AB\=2\AC\\PA\,\AC\=1,\PC\2=|PX|24-|4C|2,【考点】

球面距离及相关计算

网=需=2升日•

【解析】

A当|PC|最小时，|48|最小,当|PC|最大时,|48|最大.此题暂无解析

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【解答】

(2)由题意设直线的截距式方程为：+(=Ua.b>0).

37r

【答案】直线过P(32),,那=1,、1=那22后工abN24,

2(V3-1)

【考点】当且仅当即a=6且b=4时取等号，•••△40B的面积S=：ab212,

平面向量数量积的运算

【解析】.•・△408面积的最小值为12,此时直线1的方程为*+3=L即直线/的方程为2x+3y—12=0.

o4

此题暂无解析

【解答】

【考点】

基本不等式在最值问题中的应用

*.*|a|=\b\=2,而a•b=|a||b|cos(a,b>=2

【解析】

cos<a,b)=I，又va,力>6[0,TT],即VQ,b)=g,\C—2(a+bj=a-b|=2,|2(ab)1=4>/3,此题暂无解析

【解答】

(1)设4(a,0),8(0,b)尸(3,2)为48的中点,

・•・4(6,0),8(0,4),由截距式得/的方程为：*+3=1,SP2x+3y-12=0.

(2)由题意设直线的截距式方程为，+菅=l(a,b>0).

直线过P(32),;+;=1,+ab>24.

当且仅当？即a=6且b=4时取等号，.・.△4。8的面积§=；。8212,

aD2

△力。8面积的最小值为12,此时直线/的方程为：+三=1,即直线/的方程为2;<:+3>-12=0.

64

【答案】

解：:2asinB=43b,/.2sinAsinB=V5sinSnsin4==，A=60°或120°

T_T_*T/-»**、--»TT/f222

如上图示，若。4—a,OB=b,OE=2(Q+b),OC=c,贝Ij84=a—b,EC=c—2(a-}■bJ,(1)*.*S4ABe=gbx2sin4=等=>b=3a=2+3-2x2x3cos60°,=a=夕

・••。在以E为圆心，2为半径的圆上，若曲=丘则民="—石，(2)4dcos/l=3c,=cos/1=^>0,/.A=60°,b=；c

4D2

・•・问题转化为求C在圆£上哪一点时，使|民|最小，又4E00=3,:.b=^c,sinB=sin(120°-C)=gsinC,=>sinC=ycosC,tanC=y

.・.当且仅当E,CD三点共线且£7)_L00时，|左|最小为0£-sin，-2=2(遍-1).【考点】

：角形的面积公式

正弦定理

三、解答题

余弦定理的应用

【答案】

(1)设A(a,0),B(0,b)、•:P(3,2)为AB的中点,【解析】

此题暂无解析

・•・4(6,0),8(0,4),由截距式得/的方程为：?+3=1,BP2x+3y-12=0,

【解答】

解：：2asinF=yf3b,，2sin4sinF=V3sinF=>sinA=—,A=60°或120°FC到平面AEC］的距离，求出平面4EC］的法向量，4F=(o［,O),然后利用空间向量的数量积求解点尸到平面

z22AEG的距离.

(1)S^ABC=\bx2sin/l=^=>ft=3a=2+3-2x2x3cos60°,=>a=V?

(2)求出平面EFCG的法向量，利用空间向量的数量积求解平面4EG与平面EFCG所成锐二面角的余弦值

(2)4bcosA=3c,=>cosA=^>0,・'・A—60°,b=

即可.

b=|c.sinB=sin(120°—C)=jsinC,=>sinC=^-cosC,tanC=?【解答】

解:(1)以Di为原点，劣4，％G，D］。所在的直线分别为x轴、y轴、z轴.建立如图所示的空间坐标系，

【答案】

则4(1,0,1),C(0,1,1),G(0,1,0).E(l,1,0),F(l,1,l).

解：(1)以Di为原点，。遇1，DiG，劣。所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间坐标系，

则力(1,0,1),C(0,1,1),G(0,1,0),F(l,1,0),F(l,1,l).••・4F=(0,1,-l),EG=(F，0),FC=(-l,pO),

・••族=(0彳,-1),EZ=(-1W，0),FC=(-l,pO),AF=(0,1,0),EF=(0,0,1).

人•=(()*,0),EF=(0,0,1).

•・•FC=EC1=(-1,^0)

:.FC//EC・'・尸C//平面AECi，

・・・FC=EC=(-l,1,0).lt

1点/到平面AEQ的距离即为直线尸C到平面AEG的距离，

JFC//EC:.FC//平面力EC】，

lt设平面AEG的法向量为］=(%，y，z).贝J3.丝二°,

・••点/到平面AEG的距离即为直线rC到平面AEG的距离，

(n•EQ=0

设平面4EG的法向量为％=(x,y,z),贝J：.芯二°.

.伊-2=0.rx=y

(n•EC]=02

,,(r+］=0-7y=2z，

.(>-2=0.(2x=y

..[r+]=0'..iy=2z，

取z=l,则％=1,y=2.・•・n=(1,2,1).

取z=l,贝收=1,y=2,・•・n=(1,2,1),又去•=((),；,0).

又河=(0^,0),・•・点F到平面力EG的距离为曾=l(°吧zi)|=9