方程组迭代法

方程组迭代法第一页，共四十七页，2022年，8月28日12.0引言第二页，共四十七页，2022年，8月28日22.1求实根的二分法第三页，共四十七页，2022年，8月28日3第四页，共四十七页，2022年，8月28日4局限性：只能求一个实根，不能辨识重根或求复根，收敛速度对任何函数均一样且慢，对多元方程的情形须做修改。第五页，共四十七页，2022年，8月28日5第六页，共四十七页，2022年，8月28日6INPUTa,b;TOL;maximumnumberofiterationN.

OUTPUTapproximationsolutionpormessageoffailure.

Step1Seti=1;FA=f(a),giveNStep2whilei<=Ndostep3-6

Step3setp=a+(b-a)/2;

FP=f(p)

Step4IfFP=0or(b-a)/2<TOLthenOUTPUTp;STOP.

Step5Seti=i+1

Step6IfFA·FP>0

thenset

a=p;FA=FP

elsesetb=p

Step7OUTPUT(‘methodfailedafterNiteration,N=’,N)

STOPDescribetheAlgorithmofBisection第七页，共四十七页，2022年，8月28日72.2迭代法及收敛性迭代法求非线性方程f(x)=0的根的迭代解法是指从给定的一个或者几个初始值出发，按某种方法产生一个解的序列，该序列称为迭代序列，使得此序列收敛于非线性方程f(x)=0的一个根。迭代法可分为两类：（1）从任何初始值出发都收敛（全局收敛）；（2）只有初始值充分接近于所求根时才收敛（局部收敛）。第八页，共四十七页，2022年，8月28日8方程f(x)=0改为等价形式x=g(x)，若x1满足x1=g(x1)则称x1为g(x)的一个不动点，x1也是f(x)=0的一个根。构造不动点迭代法：，g(x)成为迭代函数，若固定点迭代：第九页，共四十七页，2022年，8月28日9迭代法的几何意义

通常将方程f(x)=0化为与它同解的方程的方法不止一种,有的收敛,有的不收敛,这取决于的性态。(a)(b)第十页，共四十七页，2022年，8月28日102.2迭代法及收敛性第十一页，共四十七页，2022年，8月28日112.2迭代法及收敛性第十二页，共四十七页，2022年，8月28日122.2迭代法及收敛性上式的最后两项分别用于事后估计和事先估计。第十三页，共四十七页，2022年，8月28日13局部收敛性定义：定理：（例题中迭代公式的选取）第十四页，共四十七页，2022年，8月28日14局部收敛性证明：第十五页，共四十七页，2022年，8月28日15局部收敛性第十六页，共四十七页，2022年，8月28日16局部收敛性例：试用不同迭代法第十七页，共四十七页，2022年，8月28日17收敛阶收敛阶（刻画收敛速度的标准之一）：

第十八页，共四十七页，2022年，8月28日18收敛阶定理：第十九页，共四十七页，2022年，8月28日19收敛阶证明：第二十页，共四十七页，2022年，8月28日202.3Newton迭代法第二十一页，共四十七页，2022年，8月28日21几何意义（切线法）第二十二页，共四十七页，2022年，8月28日22Newton迭代法几何解释

几何意义第二十三页，共四十七页，2022年，8月28日23第二十四页，共四十七页，2022年，8月28日24Newton法局部收敛定理证明:注意到第二十五页，共四十七页，2022年，8月28日25Newton下山法从Newton迭代法的收敛性可见，他仅是局部收敛的，为扩大收敛范围，可改进迭代公式为：第二十六页，共四十七页，2022年，8月28日26第二十七页，共四十七页，2022年，8月28日27弦截法SecantMethodNewton迭代法有一个较强的要求是且存在。因此，用弦的斜率近似的替代。

第二十八页，共四十七页，2022年，8月28日28几何意义第二十九页，共四十七页，2022年，8月28日29弦截法的几何解释第三十页，共四十七页，2022年，8月28日30第三十一页，共四十七页，2022年，8月28日31例题例

用快速弦截法求方程在区间（1，2）内的实根。解：取x0=1,x1=2,代入公式计算结果,如表所示。第三十二页，共四十七页，2022年，8月28日32kxkf(xk)01-112521.166666667-0.5787036931.253112023-0.2853630241.3372064440.05388057951.323850096-0.003698116861.324707936-4.273521*10E-571.3247179653.79*10E-8第三十三页，共四十七页，2022年，8月28日332.5*

解非线性方程组的Newton迭代法第三十四页，共四十七页，2022年，8月28日34第三十五页，共四十七页，2022年，8月28日35据此抽出不动点形式，进而构造Newton迭代公式：第三十六页，共四十七页，2022年，8月28日362.6最速下降迭代法（规划法）解非线性方程组第三十七页，共四十七页，2022年，8月28日37第三十八页，共四十七页，2022年，8月28日38第三十九页，共四十七页，2022年，8月28日39第四十页，共四十七页，2022年，8月28日40第四十一页，共四十七页，2022年，8月28日41习题1.误差传播（例1）2.二分法（例2）p533(a)3.迭代法（例3、4、5、6）p633(b)12(b)4.牛顿迭代法

（例7）p74

12第四十二页，共四十七页，2022年，8月28日42例3试用迭代法求方程在区间(1，2)内的实根。解：由建立迭代关系

k=10,1,2,3…….计算结果如下:第四十三页，共四十七页，2022年，8月28日43精确到小数点后五位第四十四页，共四十七页，2022年，8月28日44但如果由建立迭代公式仍取，则有，显然结