2022届黑龙江省伊春市嘉荫县第一中学高考数学一模试卷含解析

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知点(m,8)在幂函数的图象上，设，则（）A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．a＜c＜b2．设为虚数单位，为复数，若为实数，则（）A． B． C． D．3．设集合，，若集合中有且仅有2个元素，则实数的取值范围为A． B．C． D．4．已知分别为双曲线的左、右焦点，点是其一条渐近线上一点，且以为直径的圆经过点，若的面积为，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．5．空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面，，两两互相垂直，点，点到，的距离都是3，点是上的动点，满足到的距离与到点的距离相等，则点的轨迹上的点到的距离的最小值是（）A． B．3 C． D．6．若向量，则（）A．30 B．31 C．32 D．337．已知命题：R，；命题：R，，则下列命题中为真命题的是（）A． B． C． D．8．“”是“函数（为常数）为幂函数”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分又不必要条件9．在复平面内，复数（为虚数单位）对应的点位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限10．抛物线的准线与轴的交点为点，过点作直线与抛物线交于、两点，使得是的中点，则直线的斜率为（）A． B． C．1 D．11．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，（其中e是自然对数的底数），若，则实数a的值为()A． B．3 C． D．12．随着人民生活水平的提高，对城市空气质量的关注度也逐步增大，下图是某城市月至月的空气质量检测情况，图中一、二、三、四级是空气质量等级，一级空气质量最好，一级和二级都是质量合格天气，下面叙述不正确的是（）A．1月至8月空气合格天数超过天的月份有个B．第二季度与第一季度相比，空气达标天数的比重下降了C．8月是空气质量最好的一个月D．6月份的空气质量最差.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知是偶函数，则的最小值为___________.14．已知四棱锥，底面四边形为正方形，，四棱锥的体积为，在该四棱锥内放置一球，则球体积的最大值为_________．15．设函数，则满足的的取值范围为________.16．已知双曲线的右准线与渐近线的交点在抛物线上，则实数的值为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知函数（1）已知直线：，：.若直线与关于对称，又函数在处的切线与垂直，求实数的值；（2）若函数，则当，时，求证：①；②.18．（12分）已知函数，其中.（1）当时，求在的切线方程；（2）求证：的极大值恒大于0.19．（12分）等差数列中，．（1）求的通项公式；（2）设，记为数列前项的和，若，求．20．（12分）已知是递增的等差数列，，是方程的根.（1）求的通项公式；（2）求数列的前项和.21．（12分）△的内角的对边分别为,且．(1)求角的大小(2)若,△的面积,求△的周长．22．（10分）在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.（1）求曲线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程；（2）若直线与曲线、曲线在第一象限交于两点，且，点的坐标为，求的面积.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．B【解析】

先利用幂函数的定义求出m的值，得到幂函数解析式为f（x）＝x3，在R上单调递增，再利用幂函数f（x）的单调性，即可得到a，b，c的大小关系.【详解】由幂函数的定义可知，m﹣1＝1，∴m＝2，∴点（2，8）在幂函数f（x）＝xn上，∴2n＝8，∴n＝3，∴幂函数解析式为f（x）＝x3，在R上单调递增，∵，1＜lnπ＜3，n＝3，∴，∴a＜b＜c，故选：B.【点睛】本题主要考查了幂函数的性质，以及利用函数的单调性比较函数值大小，属于中档题.2．B【解析】

可设，将化简，得到，由复数为实数，可得，解方程即可求解【详解】设，则.由题意有，所以.故选：B【点睛】本题考查复数的模长、除法运算，由复数的类型求解对应参数，属于基础题3．B【解析】

由题意知且，结合数轴即可求得的取值范围.【详解】由题意知，，则，故，又，则，所以，所以本题答案为B.【点睛】本题主要考查了集合的关系及运算，以及借助数轴解决有关问题，其中确定中的元素是解题的关键，属于基础题.4．B【解析】

根据题意，设点在第一象限，求出此坐标，再利用三角形的面积即可得到结论.【详解】由题意，设点在第一象限，双曲线的一条渐近线方程为，所以，，又以为直径的圆经过点，则，即，解得，，所以，，即，即，所以，双曲线的离心率为.故选：B.【点睛】本题主要考查双曲线的离心率，解决本题的关键在于求出与的关系，属于基础题.5．D【解析】

建立平面直角坐标系，将问题转化为点的轨迹上的点到轴的距离的最小值，利用到轴的距离等于到点的距离得到点轨迹方程，得到，进而得到所求最小值.【详解】如图，原题等价于在直角坐标系中，点，是第一象限内的动点，满足到轴的距离等于点到点的距离，求点的轨迹上的点到轴的距离的最小值．设，则，化简得：，则，解得：，即点的轨迹上的点到的距离的最小值是.故选：.【点睛】本题考查立体几何中点面距离最值的求解，关键是能够准确求得动点轨迹方程，进而根据轨迹方程构造不等关系求得最值.6．C【解析】

先求出,再与相乘即可求出答案.【详解】因为,所以.故选:C.【点睛】本题考查了平面向量的坐标运算,考查了学生的计算能力,属于基础题.7．B【解析】

根据，可知命题的真假，然后对取值，可得命题的真假，最后根据真值表，可得结果.【详解】对命题：可知，所以R，故命题为假命题命题：取，可知所以R，故命题为真命题所以为真命题故选：B【点睛】本题主要考查对命题真假的判断以及真值表的应用，识记真值表，属基础题.8．A【解析】

根据幂函数定义，求得的值，结合充分条件与必要条件的概念即可判断.【详解】∵当函数为幂函数时，，解得或，∴“”是“函数为幂函数”的充分不必要条件.故选：A.【点睛】本题考查了充分必要条件的概念和判断，幂函数定义的应用，属于基础题.9．C【解析】

化简复数为、的形式，可以确定对应的点位于的象限．【详解】解：复数故复数对应的坐标为位于第三象限故选：．【点睛】本题考查复数代数形式的运算，复数和复平面内点的对应关系，属于基础题．10．B【解析】

设点、，设直线的方程为，由题意得出，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，结合可求得的值，由此可得出直线的斜率.【详解】由题意可知点，设点、，设直线的方程为，由于点是的中点，则，将直线的方程与抛物线的方程联立得，整理得，由韦达定理得，得，，解得，因此，直线的斜率为.故选：B.【点睛】本题考查直线斜率的求解，考查直线与抛物线的综合问题，涉及韦达定理设而不求法的应用，考查运算求解能力，属于中等题.11．B【解析】

根据题意，求得函数周期，利用周期性和函数值，即可求得.【详解】由已知可知，，所以函数是一个以4为周期的周期函数，所以，解得，故选：B.【点睛】本题考查函数周期的求解，涉及对数运算，属综合基础题.12．D【解析】由图表可知月空气质量合格天气只有天，月份的空气质量最差．故本题答案选．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．2【解析】

由偶函数性质可得，解得，再结合基本不等式即可求解【详解】令得，所以，当且仅当时取等号.故答案为：2【点睛】考查函数的奇偶性、基本不等式，属于基础题14．【解析】

由题知，该四棱锥为正四棱锥，作出该正四棱锥的高和斜高，连接，则球心O必在的边上，设，由球与四棱锥的内切关系可知，设，用和表示四棱锥的体积，解得和的关系，进而表示出内切球的半径，并求出半径的最大值，进而求出球的体积的最大值.【详解】设，，由球O内切于四棱锥可知，，，则，球O的半径，，，，当且仅当时，等号成立，此时.故答案为：.【点睛】本题考查了棱锥的体积问题，内切球问题，考查空间想象能力，属于较难的填空压轴题.15．【解析】

当时，函数单调递增，当时，函数为常数，故需满足，且，解得答案.【详解】，当时，函数单调递增，当时，函数为常数，需满足，且，解得.故答案为：.【点睛】本题考查了根据函数单调性解不等式，意在考查学生对于函数性质的灵活运用.16．【解析】

求出双曲线的渐近线方程，右准线方程，得到交点坐标代入抛物线方程求解即可．【详解】解：双曲线的右准线，渐近线，双曲线的右准线与渐近线的交点，交点在抛物线上，可得：，解得．故答案为．【点睛】本题考查双曲线的简单性质以及抛物线的简单性质的应用，是基本知识的考查，属于基础题．三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（1）（2）①证明见解析②证明见解析【解析】

（1）首先根据直线关于直线对称的直线的求法，求得的方程及其斜率.根据函数在处的切线与垂直列方程，解方程求得的值.（2）①构造函数，利用的导函数证得当时，，由此证得.②由①知成立，整理得成立.利用构造函数法证得，由此得到，即，化简后得到.【详解】（1）由解得必过与的交点.在上取点，易得点关于对称的点为，即为直线，所以的方程为，即，其斜率为.又因为，所以，，由题意，解得.（2）因为，所以.①令，则，则，且，，时，，单调递减；时，，单调递增.因为，所以，因为，所以存在，使时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增.又，所以时，，即，所以，即成立.②由①知成立，即有成立.令，即.所以时，，单调递增；时，，单调递减，所以，即，因为，所以，所以时，，即时，.【点睛】本小题考查函数图象的对称性，利用导数求切线的斜率，利用导数证明不等式等基础知识；考查学生分析问题，解决问题的能力，推理与运算求解能力，转化与化归思想，数形结合思想和应用意识.18．（1）（2）证明见解析【解析】

（1）求导，代入，求出在处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程；（2）分类讨论得出极大值即可判断.【详解】（1），当时，，，则在的切线方程为；（2）证明：令，解得或，①当时，恒成立，此时函数在上单调递减，∴函数无极值；②当时，令，解得，令，解得或，∴函数在上单调递增，在，上单调递减，∴；③当时，令，解得，令，解得或，∴函数在上单调递增，在，上单调递减，∴，综上，函数的极大值恒大于0.【点睛】本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.19．（1）（2）【解析】

（1）由基本量法求出公差后可得通项公式；（2）由等差数列前项和公式求得，可求得．【详解】解：（1）设的公差为，由题设得因为，所以解得，故．（2）由（1）得．所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，由得，解得．【点睛】本题考查求等差数列的通项公式和等比数列的前项和公式，解题方法是基本量法．20．（1）;（2）.【解析】

（1）方程的两根为，由题意得，在利用等差数列的通项公式即可得出；（2）利用“错位相减法”、等比数列的前项和公式即可求出．【详解】方程x2－5x＋6＝0的两根为2，3.由题意得a2＝2，a4＝3.设数列{an}的公差为d，则a4－a2＝2d，故d＝，从而得a1＝.所以{an}的通项公式为an＝n＋1.（2）设的前n项和为Sn，由（1）知＝，则Sn＝＋＋…＋＋，Sn＝＋＋…＋＋，两式相减得Sn＝＋－＝＋－，所以Sn＝2－.考点：等差数列的性质；数列的求和．【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解答中方程的两根为，由题意得，即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题．21．（I）；（II）．【解析】

试题分析：（I）由已知可得；（II）依题意得：的周长为．试题解析：（I）∵，∴．∴，∴，∴，∴，∴．（II）依题意得：∴，∴，∴，∴，∴的周长为．