人教版数学必修五解三角形

人教版数学必修五

第一章解三角形

1.1正弦定理和余弦定理

【要点内容】

一、正弦定理:

在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦比相等，即，_=」_=_==2R（R为

sinAsinBsinC

△ABC外接圆半径）

正弦定理的应用

正弦定理可以用来解两种类型的三角问题:

1.两角和任意一边，求其它两边和一角;

2.两边和其中一•边对角，求另一边的对角,进而可求其它的边和角。（见图示）已知a,b

和A,用正弦定理求B时的各种情况：

⑴若A为锐角时:

a<bsinA无解

a=bsinA一解（直角）

bsinA<a<b二解（一锐,一钝）

a>b一解（锐角）

已知边a,b和/A

a<CH=bsinAa=CH=bsinACH=bsinA<a<b

无解仅有一个解有两个解

aSb无解

⑵若A为直角或钝角时：4"

a>b一解（锐角）

2、余弦定理

余弦定理用语言可以这样叙述，二角形一边的平方等于另两边的平方和再减去这两边与

夹角余弦的乘积的2倍.即：

a2=/?2+c2-2bccosA

h2—c1+a2-2cacosB

c2=a2+b~-2ahcosC

若用三边表示角，余弦定理可以写为

co«A=~ac-

a'+J・b'

co«B=

2ac

co«C=―-

余弦定理可解以下两种类型的三角形：

(1)已知三角形的三条边长，可求出三个内角；

(2)已知三角形的两边及夹角，可求出第三边.

注意：

在(0,Ji)范围内余弦值和角的一一对应性.若cosA>0.则A为锐角；若cosA=0,

则A为直角；若cosA<0,则A为钝角.

3、余弦定理与勾股定理的关系、余弦定理与锐角三角函数的关系

在aABC中,c2=a2+b-2abcosC.若NC=90°,则cosC=0,于是

c2=a2+b2-2ab,0=a'+b2.

说明勾股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广.

另外，8认二线;W中,当/C=90・时，《?=丁+/，A

ZDC

2blb

COSA.----------------------------------——

2bcc

这与RlZXABC中，ZC=90°的锐角三角函数一致，即直角三角形中的锐角三角函数是

余弦定理的特例.

4、三角形的有关定理：

内角和定理:A+B+C=180°,sin(A+B)=sinC,cos(A+B)=-cosC,

CA+BCA+B

cos-=sin-----,sin—=cos------

2222

面积公式：S=-absinC=—bcsinA=—casinB

222

S=prrp(p_a)(p-b)(p_c)(其中p=——-——r为内切圆半径）

射影定理：a-bcosC+ccosB；b-acosC+ccos4c=acosB+bcosA

【典型例题】

例1已知在A4BC中，,=10,4=45°,。=30°,求兄6和5

解：•••c=10,A=45°,C=30°

8=180°—(A+C)=105°

由,=，得fl=£sinA=10xsin45°=10^

sinAsinCsinCsin30°

hr

由=得

sinBsinC

csinB_10xsinl05°2。、丁=56+5行

=20sin75°

sinCsin300

例2在A48c中，b=0,8=60°4=1,求。和人,。

..bc.csinB1xsin6001

解：.------=-------sinC=-------------=------；=—=-

sin5sinChJ32

•:b>c,B=60°,.-.C<8,C为锐角，.・.C=30°,6=90°

a=ylb2+c2=2

例3AA3C中，C=遥,4=45°,4=2,求万和3,。

”，ac.八csinA76xsin45

解：•/------=-------sinC=-------------=-----------------=—

sinAsinCa22

・.♦csinA<a<c,:.C=60°或120°

csinB遥sin75°

.•.当C=60°时，8=75°/Vs+1,

sinCsin60°

・••当CM-S*二4q

:.b=43+l,B=75°,C=60°或b=6-、,B=15°,C=120°

例5在△ABC中，已知a=Ji,b=J^,B=45°,求A,C及边c.

解：由正弦定理得：$出人=竺*=叵平竺"=且，因为&=45°<90°且b<a,

b422

所以有两解A=60°或A=120°

(1)当A=60°时,C=180°YA+B)=75°,©=如£=二当"_=

sinBsin45°2

Q)当A=“。。时，C—95:。=鬻=印联V6-V2

2

思维点拨：已知两边和其中一边的对角解三角形问题，用正弦定理解，但需注意解的情况的

讨论.

★★★高考要考什么

【考点透视】

本专题主要考查正弦定理和余弦定理.

【热点透析】

三角形中的三角函数关系是历年高考的重点内容之一，本节主要帮助考生深刻理解正、

余弦定理，掌握解斜三角形的方法和技巧,学生需要掌握的能力：

(1)运用方程观点结合恒等变形方法巧解三角形；

(2)熟练地进行边角和已知关系式的等价转化；

(3)能熟练运用三角形基础知识，正(余)弦定理及面积公式与三角函数公式配合，通过等

价转化或构建方程解答三角形的综合问题，注意隐含条件的挖掘，

★★★突破重唯皮

［范例1］在4ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c,b=acosC,且4ABC的最大

边长为12,最小角的正弦值为

3

(1)判断AABC的形状；

(2)求aABC的面积。

解析(1),/b=acosC,•二由正弦定理，得sinB=sinAcosC,(#)

VB=^—(A4-C),・・sinB=sin(A+C),从而(#)式变为sin(A+C尸sinAcosC,

♦・♦

••cosAsinC=0,XA,CE(0,不)・・cosA=0,A=y,・・z^ABC是直角三角形。

(2)•一△ABC的最大边长为12,由(1)知斜边。=12,又•「△ABC最小角的正弦值

为L/.Rt/XABC的最短直角边为12x1=4,另一条直角边为8J5

33

,,SAABC=—x4xSy/2=16A/2

2

【点晴】此题主要考查三角函数变换及正弦定理的应用.用正弦定理化边为角，再以角

为突破口，判断出AABC的形状，最后由已知条件求出三条边，从而求面积.

【文】在aABC中，若tanA：tanB=&2：/,试判断aABC的形状.

解析由同角三角函数关系及正弦定理可推得包细竺■包£4.

cosAonfiairB

*：A、B为三角形的内角，...sinA和,sinB^O.

cosBdnA

..an2A-sin2B.

cosXanB'

；.2A=2B或2A=TT-2B,，A=B或A+B=—.

2

所以4ABC为等腰三角形或直角三角形.

【点晴】三角形分类是按边或角进行的，所以判定三角形形状时一般要把条件转化为边

之间关系或角之间关系式，从而得到诸如矛+丫=&a2+b〉c，(锐角三角形)，炉+加

(钝角三角形)或sin(A—B)=0,sinA=sinB,sinC=1或cosC=0等一些等式，进而判定

其形状，但在选择转化为边或是角的关系上，要进行探索.

【文】在△48C中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，4sin2B+C-cos2A=-.

22

(1)求角A的度数；

⑵若b+c=3,求6和c的值.

解析⑴由4sin2"C—cos2A=2及A+8+C=180°,得：

22

,7,

2[1-cos(B+C)]-2cos*,A+l=—,4(1+cosA)-4cos~A=5

即4cos之A—4cosA+l=0,.\cosA=—,

・・・00<A<180°,.\A=60°

序上「22

(2)由余弦定理得：cosA='

2bc

222

A1,b+c-a].〃、22八

*.*cosA=—..--------------=-..(b+c)—a=3bc,

22bc2

r八、、r”口,[b+c=3.f/?=1»f/?=2

〃=+c=3代入上式得:be=2由《得t=J：《或《

be=2[c=2[c=1

【点睛】正弦定理和余弦定理在解斜三角形中应用比较广泛.

【范例3】已知AABC的周长为6,|后斗|《司彳可成等比数列，求

(1)AABC的面积S的最大值；

(2)而就的取值范围.

解析设|前而|依次为a,b,c,则a+b+c=6,b2=ac.

,.a2+c2-b~

在△AABC中得cosBn=----------------

2ac

故有0<8wC.又〃=疝4"£=I,从而0<bW2.

322

吟即皿

(1)S=—acsinB=—b~sinB<--22si=Gs=3

222

-z~r■cC+c**—b~(〃+c)2_2ac_b~

(2)BABC=accosB=----------------=--------------------------

22

=空字j+3A+27.

v0</><2,：.2<BABC<IS.

【点睛】三角与向量结合是高考命题的一个亮点.问题当中的字母比较多，这就需要我

们采用消元的思想，想办法化多为少，消去一些中介的元素，保留适当的主变元.主变元是

解答问题的基本元素，有效的控制和利用对调整解题思路是十分有益处的.