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第四章特征值与特征向量§1

方阵的特征值与特征向量一、特征值与特征向量的定义二、特征值和特征向量的求法三、特征值和特征向量的性质说明一、特征值与特征向量的定义定义1设

A是

n

阶方阵,若数

和

n维非零列向量使关系式

A

=

成立,则称数

为方阵

A的特征值,非零列向量

称为

A的对应于特征值

的特征向量.2.特征值问题只对方阵而言.二、特征值与特征向量的求法方阵的特征值与特征向量的一般方法：

(1)求出特征方程的所有根，即

A的全部特

征值：(可能有重根).

(2)对于A的每个特征值，求齐次线性方程组

的一个基础解系则

即为A的对应于的全部特征

向量，其中为不全为零的任意常数.

解例1

例２

解例３

设求A的特征值与特征向量．解得基础解系为：三、特征值和特征向量的性质定理1A与其转置矩阵有相同的特征多项式，从而有相同的特征值。定义2n阶方阵主对角线上的元素的和称为A的迹，记为tr(A)。定理2设是n阶方阵A的n个特征值，则(1)

tr(A)

；(2)。推论1n阶方阵A可逆的充分必要条件是A的所有特征值都不为零。例４

证明：若是矩阵A

的特征值,x

是A

的属于

的特征向量，则证明再继续施行上述步骤次，就得例5设是一个多项式，若为方阵A的一个特征值，则为的一个特征值。例6例7设，证明：A的特征值只能为0或1。证明则即类推之，有把上列各式合写成矩阵形式，得定理3的一个常用推广：定理4设是方阵A的m个互不相同的特征值，是A的对应于的线性无关的特征向量，则线性无关。定义3设是n阶方阵A的特征值，作为特征方程的根的重数称为

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