2013年全国入学统一考试数学二试题及答案解析

入学统一考试数学二试题及答案解一、选择题:1～8432分.下列每题给出的四个选项中，只有一个选项题目要求的，请将所选项前的字母填在答指定位置上.1、设cosx1xsin(x)(x)x高阶的无穷x低阶的无穷与x同阶但不等价的无穷x是等价无穷【答案】【考点】同阶【难易

，当x0时，(x（2【详解】cosx1xsin(xcosx112xsin(x1x2，即sinx1 x0时，(x)0sinx)(x)1x，即(x)x同阶但不等价的无穷小，故选22yf(x由方程cosxylnyx1确定，则limnf(21]（ （C）- （D）-【答案】【考点】导数的概念；隐函数的导【难易2 limn[f(2) f(n)

f(2x)

2

f(2x)f

2f n

x x 方程cosxylnyx1两边同时对x求导，sin(xy)(yxy)1y1y将x0，y1代入计算， y(0)f(0)所以limnf21]2，选 3、设f(x)sin [0,)，F(x)f(t)dt，则（ xF(x)的跳跃间断xF(x)的可去间断F(x)xF(x)x处可【答案】【考点】初等函数的连续性；导数的【难易 【详解】F(0)sintdt2sintdtsintdt2F(0)22F(0)F(0)F(xx处连续 f

fF()lim f(t)dt

f(t)dt 2， x xF()F(F(xx处不可导.选 1x(x4、设函数f(x) ，若反常积

f(x)dx收敛，则（（A）【答案】

x （B） （C）2 （D）0【考点】无穷限的反常积【难易 【详解】 f(x)dx1f(x)dx

f由 f(x)dx收敛可知，1f(x)dx与 f(x)dx均收敛 f

dx1(lnx)

，要使其收敛，则 所以02

x yf(xy)，其中函数f可微， y y （2yf【答案】

x

f

（D）x

f【考点】多元函数的偏导【难易【详解z

y

z x2f xf(xy)， xf yf2xzz y y

f(x

f(xy)][ f(xy) yf(xy)] 1f(xyyf(xy1f(xyyf(xy2yf(xy)，故选 k6DD(xy)x2y21位于k象限的部分，kIkyx)dxdy(k12,3,4，则（（A）I1 （B）I2 （C）I3 （D）I4【答案】【考点】二重积分的性质；二重积分的计【难易I1I30I2(yx)dxdy0（yx0），I4(yx)dxdy0（yx0 因此，选矩阵C的行向量组与矩阵A的行矩阵C的列向量组与矩阵A的列矩阵C的行向量组与矩阵B的行矩阵C的列向量组与矩阵B的列【答案】【考点】等价【难易【详解】将矩阵A、C按列分块，A(1,,nC(1,,n b1n由于ABC，故(,,) (,, n b nn即C的列向量组可由A的列向由于B可逆，故ACB1，A的列向量组可由C的列向量组线性表示，故选 18、矩阵

2 0 0 与

相似的充分必要条件是（ 1 0 （A）a0,ba0,ba2,ba2,b为任意常【答案】【考点】矩阵可相似对角化的充分必要条【难易【详解】题中所给矩阵都是实对称矩阵，它们相似的充要条件是有相同的特征值. 0 由 0的特征值为2，b，0可知，矩阵A 0

1 a 1 a的特征值也2b 1 因此，2EA 2 a 2ba 2a4a20a 1a0A

1

的特征2b此时，两矩阵相似，与 的取值无关，故选9～14小题,每小题4分,共24分.请将答案写在指定位置上9、lim(2

)x 1【答案】【考点】两个重要极【难易【详解ln(1x)

ln(1

1ln(1x)1

ln(1x)

1

ln(1x)

1ln(1x)lim(2

]

lim

lime

)

1x x0 x 1x10f(xx

1etdtyf(xxf1yy0 y1【答【考点】反函数的求导法则；积分上限的函数及其导【难易f(x)dy dx yy11、设封闭曲线L的极坐标方程方程为rcos

L所围平面图积

【答案【考点】定积分的几何应用—平面图形的面【难易1

1cos

sin6 2

6r26

6cos2 0xarctan12、曲线

上对应于t1点处的法线方程 【答案】yxln24【考点】由参数方程所确定的函数的【难易 【详解】由题意可知

dydy/dt1(1t2)1(1t2)21t

t

t曲线对应于t1点处的法线斜率为k 1当t1x，yln24yln2(x

yxln20 13、已知y1 xe，yexe，y 是某二阶常系数非齐次线性微分方3 2 22的3个解，则该方程满足条件ye3xexxe2

0，

1的解为y 【考点】简单的二阶常系数非齐次线性微分方【难易yye3xexyyex是对应齐次微分方程的 y*xe2xyC(e3xexCexxe2xCC

0，

1

ye3xexxe2xC11，C20aijAij0(i,j1,2,3)，则A 【答案】-【考点】伴随矩【难易aA0AaA*ATAA*AATA 等式两边取行列式得AAA0A 当A0时，AAT0A0（与已 A三、解答题：15～23小题,共94分.请将解答写指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15、（本题满分10分x0时，1cosxcos2xcos3x与axn为等价无穷小，求na的值【考点】等价无穷小；洛必达法【难易1cosxcos2xcos

1cos6xcos4xcos2x【详解】 lim lim3cos6xcos4xcos2xlim6sin6x4sin4x2sin2 4anxnlim36cos6x16cos4x4cos 4an(n当n2时，由题意得lim1cosxcos2xcos3xlim36cos6x16cos4x4cos2x36164an2,a

16、（本题满分10分1Dyx3xa(a0)x轴所围成的平面图形，Vx，VyD绕【考点】旋转体的体【难易【详解】根据题意，V

a(x31)2dx x35

303aV 31a

505 07 070因V10V

6a7

3a3a 35 3517、（本题满分10分DD【考点】利用直角坐标计算二重积【难易y x y1 x【详解】根据题

xy

y

，

y x2dxdy2dx3xx2dy6dx8xx2dy2x

2

x31x4)632128 18、（本题满分10分设奇函f(x)在[1,1上具有二阶导数，且f(1)1，证明（Ⅰ）存在(0,1)，使得f()1【考点】罗尔定【难易【详解】（Ⅰ）由于f(x)在[1,1上为奇函数，故f(0)F(xf(xxF(x在[0,1上连续，在(0,1)F(1)f(1)10（Ⅱ）f(xf(x1exf(xf(xexexf(x))e[exf(x)ex]g(xexf(xexf(xf(x是偶函数，由（Ⅰ）19、（本题满分10分）x3xyy31(x0y0【考点】拉格朗日乘【难易x2y【详解】设M(x,y)为曲线上一点，该点到坐标原点的x2y构造拉格朗日函 Fx2y2(x3xyy3

x由F2y(3y2x0得 yFx3xyy3112 ，然后考虑边界点，即(1,0)，(0,1)，12 20、（本题满分11分）f(xln

，最短距离为xf(x设数列x满足lnx11，证明lim

存在，并求此

n【考点】函数的极值；单调有界准【难易【详解】（Ⅰ）f(xlnx1x0f(x11xx

当0x1f(x0x1f(x0x1f(x的极小值点，即最小值点，最小值为f(1) （Ⅱ）由（Ⅰ）知lnx 1，又由已知lnx ，即 n故数列xn单调递增

xn xn

xn

1又由lnx 1，故lnx10xe，所以数列x有上界1xnx所以limxn

在ln

1两边取极限 lnA1An在lnx11两边取极限 lnA1n 1所以lnA 1A1即limx11 n21、（本题满分11分Ly1x21lnx(1xe L的弧长DL，直x1xex轴所围平面图形，求D的形心的横坐【考点】定积分的几何应用—平面曲线的弧长；定积分的物理应用—形【难易【详解】（Ⅰ）设弧长为S，由弧长的计算公式， 12 S

1(y)dx

1 x

)dxe111)2dx x1)2(( e

1

x

)dx x2

lnx) 1由形心的计算公式，1 1x21lnx

1lndx x

1x21ln

e1

dx x

ln 1 1e411(e21e21 23(e2e3) 4(e3 e3 22、（本题满分11分 a 1设A ，B ，当a,b为何值时，存在矩阵C使得ACCAB，并求 0 b有矩阵【考点】非齐次线性方程组有解的充分必要条【难易 x2 【详解】由题意可知矩阵C为2阶矩阵，故可设C .由ACCAB 4 a x x 1 1

xax axaax 0

x

x

整理后可得方程组xxx 4 4 ①

xax 由于矩阵C存在，故方程组①有解.对①的增广矩阵进行初等行变换010a0 0 11 011010a0100001 000b0001 0a

b 11 0 0 0 x30,x41x20,x1 0，得特解(1,0,0, xkkkk1,k,k,k)T（kk为任意常数1 2 1 k1k2 k1所以C k 223、（本题