江苏省镇江市行宫中学2021年高三数学理期末试卷含解析

江苏省镇江市行宫中学2021年高三数学理期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.执行如图所示的程序框图，输出的M的值为（

）A.17

B.53

C.161

D.485参考答案：C略2.下列命题中正确的是A.的最小值是 B.的最大值是C.的最小值是

D.的最小值是参考答案：B略3.已知定义在上的函数，则曲线在点处的切线方程是A．

B．

C．

D．参考答案：A令，解得.对求导，得+2x?1+cosx，令，解得，故切线方程为.选A.4.定义域为R的函数对任意X都有，且其导函数满足，则当时，有(

)参考答案：C略5.等比数列{}中，＞0，则“＜”是“＜”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：B【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；等比数列的性质．【专题】等差数列与等比数列．【分析】先用等比数列的通项公式，表示出＜，进而可判断＜不一定成立；同时根据＜a3成立可知q2＜q5，进而推断出＜，判断出必要条件．最后综合可得答案．【解答】解：如果＜，∴＜q2∴q2＞

1，若q＜﹣1，则=q2＞0，=q5＜0

∴＞，∴“＜”不是“＜a6”的充分条件；如果＜a6成立，则q2＜q5，又a1＞0，∴1＜q3

∴q＞1，∴＜a2＜，故可判断，“＜”是“＜”的必要条件．综合可知，“＜”是“＜”必要而不充分条件．故选B．【点评】本题主要考查了等比数列的性质和必要条件，充分条件与充要条件的判断．6.已知关于x的方程，则下列说法错误的是A.当时，方程的解的个数为1个

B.当时，方程的解的个数为1个C.当时，方程的解的个数为2个

D.当时，方程的解的个数为2个参考答案：D7.若集合是函数的定义域，是函数的定义域，则等于(

)

A．

B．

C．

D．

参考答案：A8.从1，2，3，4，5中任取两个不同的数，其中一个作为对数的底数，另一个作为对数的真数，则对数值大于0且小于1的概率是（

）．A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据对数的限制条件，列出所有对数的基本事件，确定出满足条件的对数个数，由古典概型的概率公式，即可求解.【详解】由于1只能作为真数，从其余各数中任取一数为底数，共得到4个对数，其值均为0．从1除外的其余各数中任取两数分别作为对数的底数和真数，基本事件为，，，，，，，，，，，，共12个，所以基本事件总数为16个，满足题设条件的事件有，，，，，，共6个，由古典概型的计算公式得所求事件的概率．故选：C．【点睛】本题考查古典概型的概率，属于基础题.9.若复数满足（为虚数单位），则在复平面内对应的点在（

）A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限参考答案：【知识点】复数的基本概念．L4A

解析：由，得．∴在复平面内对应的点的坐标为，是第一象限的点．故选：A．【思路点拨】由复数的除法运算化简复数，得到对应点的坐标得答案．10.设，，，则下列关系中正确的是A．

B．

C．

D．

参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若sin4xsin2x﹣sinxsin3x=a在[0，π）有唯一解，则a的值是．参考答案：1或0【考点】53：函数的零点与方程根的关系．【分析】化简函数解析式为f（x）=（cos4x﹣cos6x），利用导数可得f（0）=0是函数的极小值，f（）=1是函数的极大值，f（π）=0是函数的极小值，当a=1或0时，函数f（x）=sin4xsin2x﹣sinxsin3x和函数y=a在[0，π）上只有一个交点，从而得到结论．【解答】解：令f（x）=sin4xsin2x﹣sinxsin3x=﹣（cos6x﹣cos2x）+（cos4x﹣cos2x）=（cos4x﹣cos6x），则有f′（x）=3sin6x﹣2sin4x，令f′（x）=0，可得x=0或x=，即f′（0）=0，f′（）=0，而且还有f′（π）=0．由于f′（x）在x=0的左侧小于0，右侧大于0，故f（0）是函数的极小值，由于f′（x）在x=的左侧大于0，右侧小于0，故f（）=1是函数的极大值，同理可得f（π）=0是函数的极小值．故函数f（x）在[0，π）上只有一个极大值是f（）=1，故当a=1或0时，函数f（x）=sin4xsin2x﹣sinxsin3x和函数y=a只有一个交点．即sin4xsin2x﹣sinxsin3x=a在[0，π）有唯一解．故答案为1或0．12.直线（极轴与x轴的非负半轴重）合，且单位长度相同），若直线l被圆C截得的弦长为，则实数a的值为

．参考答案：0或213.若球的球面上共有三点其中任意两点间的球面距离都等于大圆周长的经过这三点的小圆周长为，则球的体积为__________；

参考答案：略14.已知函数f（x）=ax+1﹣ex（a∈R，e为自然对数的底数），若函数f（x）在点（1，f（1））处的切线平行于x轴，则a=．参考答案：e【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】导数的概念及应用．【分析】先求出函数的导数，得到f′（1）=a﹣e=0，解出即可．【解答】解：直线平行于x轴时斜率为0，由f′（x）=a﹣ex，得k=f′（1）=a﹣e=0，得出a=e，故答案为：e．【点评】本题考查了导数的应用，考查曲线的切线问题，是一道基础题．15.设点满足条件，点满足恒成立，其中是坐标原点，则点的轨迹所围成图形的面积是

．参考答案：【知识点】简单线性规划的应用．E5∵，∴，∵作出点P（x，y）满足条件的区域，如图，即，且点Q（a，b）满足恒成立，只须点P（x，y）在可行域内的角点处：A（1，0），B（0，2），成立即可，∴，即，它表示一个长为1宽为的矩形，其面积为：，故答案为．【思路点拨】由已知中在平面直角坐标系中，点P（x，y），则满足的点Q的坐标满足，画出满足条件的图形，即可得到点Q的轨迹围成的图形的面积．16.已知点在圆 上，点关于直线的对称点也在圆上，则___________,______________.参考答案：【知识点】与直线关于点、直线对称的直线方程；点与圆的位置关系。G3H3

【答案解析】

解析：设点P（1，4）关于直线x+y﹣3=0对称点是P′（x0，y0），则直线PP′的斜率k==1，①又线段PP′的中点M（，）在直线x+y﹣3=0上，∴+﹣3=0，②由①②解得x0=﹣1，y0=2，∴P′（﹣1，2）；∴将两点的坐标代入圆C方程x2+y2+2ax﹣4y+b=0上得：，解得．故答案为：﹣1，1．【思路点拨】可求得点P（1，4）关于直线x+y﹣3=0对称点的坐标，将两点的坐标代入圆C的方程，通过解关于a，b的方程组即可求得a，b．17.（x﹣）6展开式的常数项为_________．参考答案：15略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.某旅游胜地欲开发一座景观山，从山的侧面进行勘测，迎面山坡线ABC由同一平面的两段抛物线组成，其中AB所在的抛物线以A为顶点、开口向下，BC所在的抛物线以C为顶点、开口向上，以过山脚（点C）的水平线为x轴，过山顶（点A）的铅垂线为y轴建立平面直角坐标系如图（单位：百米）．已知AB所在抛物线的解析式y=x2+m，BC所在抛物线的解析式为y=（x﹣n）2，且B（4，4）．（1）求m，n值，并写出山坡线ABC的函数解析式；（2）在山坡上的700米高度（点D）处恰好有一小块平地，可以用来建造索道站，索道的起点选择在山脚水平线上的点E处，OE=1600（米），假设索道DE可近似地看成一段以E为顶点、开口向上的抛物线y=（x﹣16）2．试求索道的最大悬空高度；（3）为了便于旅游观景，拟从山顶开始、沿迎面山坡往山下铺设观景台阶，台阶每级的高度为20厘米，长度因坡度的大小而定，但不得少于20厘米，每级台阶的两端点在坡面上（见图）．试求出前三级台阶的长度（精确到厘米），并判断这种台阶能否一直铺到山脚，简述理由？参考答案：（1）将点B（4，4）分别代入y=﹣x2+m，y=（x﹣n）2，∴m=4+×16=8，n=8，∴f（x）=（2）D（2，7）、E（16，0）、B（4，4）、C（8，0）由图可知，只有当索道在BC上方时，索道的悬空高度才有可能取最大值索道在BC上方时，悬空高度y=（x﹣16）2﹣（x﹣8）2=（﹣3x2+40x﹣96）=﹣（x﹣）2+，当x=时，ymax=∴索道的最大悬空高度为米．（3）在山坡线AB上，x=2，A（0，8）①令y0=8，得x0=0；令y1=8﹣0.002=7.998，得x1=2≈0.08944∴第一级台阶的长度为x1﹣x0=0.08944（百米）≈894（厘米），同理，令y2=8﹣2×0.002、y3=8﹣3×0.002，可得x2≈0.12649、x3≈0.15492∴第二级台阶的长度为x2﹣x1=0.03705（百米）≈371（厘米））第三级台阶的长度为x3﹣x2=0.02843（百米）≈284（厘米）②取点B（4，4），又取y=4+0.002，则x=2≈3.99900∵4﹣3.99900=0.001＜0.002∴这种台阶不能从山顶一直铺到点B，从而就不能一直铺到山脚．19.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcos2+acos2=c．（Ⅰ）求证：a，c，b成等差数列；（Ⅱ）若C=，△ABC的面积为2，求c．参考答案：【考点】数列与三角函数的综合；正弦定理；余弦定理的应用．【分析】（Ⅰ）利用正弦定理以及两角和与差的三角函数，三角形的内角和，化简求解即可．（Ⅱ）利用三角形的面积以及余弦定理化简求解即可．【解答】解：（Ⅰ）证明：由正弦定理得：即，∴sinB+sinA+sinBcosA+cosBsinA=3sinC…∴sinB+sinA+sin（A+B）=3sinC∴sinB+sinA+sinC=3sinC…∴sinB+sinA=2sinC∴a+b=2c…∴a，c，b成等差数列．…（Ⅱ）∴ab=8…c2=a2+b2﹣2abcosC=a2+b2﹣ab=（a+b）2﹣3ab=4c2﹣24．…∴c2=8得…20.已知点F（0，1）为抛物线x2=2py的焦点．（1）求抛物线C的方程；（2）点A、B、C是抛物线上三点且++=，求△ABC面积的最大值．参考答案：【考点】抛物线的标准方程；直线与圆锥曲线的关系．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）利用抛物线的定义，可以求出p，即可得到抛物线的方程；（2）首先设出A，B，C点的坐标，再设出直线AB与y轴交于点D（0，yD），进一步求出yD，根据几何位置关系表示出三角形的面积，再根据基本不等式求出最值及最值成立的条件，则答案可求．【解答】解：（1）由题意知，即p=2，∴抛物线C的方程为：x2=4y；（2）令，不妨设直线AB与y轴交于点D（0，yD），∴即．又∵且++=，∴，．从而x1+x2=﹣x3，∴=，即．，=．令，，，令y′=0，则t1=2，t2=6．当t∈（0，2）时函数单调递减，当t∈（2，6）时函数单调递增，t∈（6，+∞）时函数单调递减且当t=0时y=，当t=6时y=，∴．．【点评】本题考查了抛物线的标准方程，考查了利用基本不等式求出最值及最值成立的条件，属于中档题．21.如图，某小区中央广场由两部分组成，一部分是长边为的正方形，另一部分是以为直径的半圆，其圆心为.规划修建的3条直道，，将广场分割为6个区域：I、III、V为绿化区域（图中阴影部分），II、IV、VI为休闲区域、其中点在半圆弧上，分别与，相交于点，.（道路宽度忽略不计）（1）若经过圆心，求点到的距离；（2）设，.①试用表示的长度；②当为何值时，绿化区域面积之和最大.参考答案：以所在直线为轴，以线段的中垂线为轴建立平面直角坐标系.（1）直线的方程为，半圆的方程为（）,由得.所有，点到的距离为.(2)①由题意，得.直线的方程为，令，得.直线的方程为，令，得.所有，的长度为，.②区域IV、VI的面积之和为，区域II的面积为，所以（）.设，则，，当且仅当，即时“=”成立.所有，休闲区域II、IV、VI的面积的最小值为.答：当时，绿化区域I、III、V的面积之和最大.22.（本小题满分12分）如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的离心率为，过椭圆由焦点F作两条互相垂直的弦AB与CD.当直线AB斜率为0时，弦AB长4.(1)

求椭圆的方程；(2)

若.求直线AB的方程.参考答案：【知识点】椭圆及其几何性质；直线的方程.

H5

H1

【答案解析】(1);(2)x-y-1=0或x+y-1=0.解析：（1）由题意知，，又，解得：，所以椭圆方程为：.--------6分（2）①当两条弦中一条斜率为0时，另一条弦的斜率不存在，由题意知，不满足条件；②当两弦斜率均存在且