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《线性代数《线性代数B》课程试卷A解答第页共9页223A-2E)-1=1101211所以B=(A-2E)-1A=1186=2960131121035011201311210350112001100002 1 3028.解一1 30102243419103501120088001414100201010011,0000所以a4=2a1+a2+a3，组合系数为（2，1， 1）解二考虑a4=X1a1+X2a2+X3a3,2X1X23X30即 X13X212X22X343X14X2X39.方程组有唯一解（2，1，1）T，组合系数为（2，1，1）29.解对矩阵A施行初等行变换12102TOC\o"1-5"\h\z0 0 0 6 2A0 3 2 8 20 9 6 3 2

12102121020328303283=B000620003100021700000(1)秩(B)=3,所以秩(A)=秩(B)=3.(2)由于A与B的列向量组有相同的线性关系，而 B是阶梯形，B的第1、2、4列是B的列向量组的一个最大线性无关组，故 A的第1、2、4列是A的列向量组的一个最大线性无关组。(A的第1、2、5列或1、3、4列，或1、3、5列也是)30.解A的属于特征值入=1的2个线性无关的特征向量为E1=(2，-1,0)T， E2=(2,0,1)T.2.5/5 2、、5/15经正交标准化，得n1= 5/5,n2=4.5/150 .5/31经正交标准化，得n1= 5/5,n2=4.5/150 .5/311/3E3= 2 ,经单位化得n3=2/3.22/32.5/52.15/151/3所求正交矩阵为T=.5/545/152/30.5/32/3入=-8的一个特征向量为100对角矩阵D=010.00825/5215/151/3(也可取T=0■5/32/3•).5/54.5/152/3f(X1,X2,222-2X2+4X2X3-7X331•解X3)=(X1+2X2-2X3)=(X1+2X2-2X3)2-2(X2-X3)2-5X32.y1X12X22X3X1y12y2设y2X2X3，即X2y2y3 ，y3X3X3y3120因其系数矩阵C=011可逆,故此线性变换满秩。001经此变换即得f（x1，x2，x3）的标准形222

y1-2y2-5y3.四、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）32.证由于（E-A）（E+A+A2）=E-A3=E，所以E-A可逆，且（E-A）-1=E+A+A2.33•证由假设Ano=b,AEi=0,AE2=0.（1） Ani=A（n0+Ei）=An°+AEi=b，同理An2=b,所以n1,n2是Ax=b的2个解。（2） 考虑l0n0+l1n1+l2n2=0，即 （l0+l1+l2）n0+l1E1+l2E2=0.则lo+|i+|2=o，否则n0将是Ax=0的解，矛盾。所以l1E

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