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文档简介
2022年湖南省衡阳市福田第一中学高三数学理测试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.如图,半径为的扇形的圆心角为,点在上,且,若,则(
).(A)
(B)
(C)
(D)参考答案:A2.函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间()A.(﹣2,﹣1) B.(﹣1,0) C.(0,1) D.(1,2)参考答案:B【考点】函数零点的判定定理.【分析】判断函数的单调性,利用f(﹣1)与f(0)函数值的大小,通过零点判定定理判断即可.【解答】解:函数f(x)=2x+3x是增函数,f(﹣1)=<0,f(0)=1+0=1>0,可得f(﹣1)f(0)<0.由零点判定定理可知:函数f(x)=2x+3x的零点所在的一个区间(﹣1,0).故选:B.3.若,则的值为(
)A.
B.
C.
D.参考答案:C∵,∴,故选:C.4.函数的零点所在的大致区间是(
)A.(0,1) B.(1,2) C.(2,3) D.(3,4)参考答案:B5.复数z=(a+i)(﹣3+ai)(a∈R),若z<0,则a的值是()A.a= B.a=﹣ C.a=﹣1 D.a=1参考答案:A【考点】复数的基本概念.【分析】z=(a+i)(﹣3+ai)=﹣4a+(a2﹣3)i<0,利用实部小于0,虚部等于0,即可求解.【解答】解:z=(a+i)(﹣3+ai)=﹣4a+(a2﹣3)i<0,∴a=,故选A.6.设是函数的导函数,的图象如图所示,则的图象最有可能的是(
)参考答案:C略7.函数的图象向左平移个单位长度,所得图象的函数解析式为(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:B略8.已知函数与互为反函数,且函数与函数也互为反函数,若则=(
)参考答案:D由,互换得,,,累加法:
9.如图y=f(x)是可导函数,直线l:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,令g(x)=xf(x),g(x)是g(x)的导函数,则g(3)=
A.-1B.0
C.2D.4参考答案:B
【知识点】利用导数研究函数的单调性.B11解析:∵直线L:y=kx+2是曲线y=f(x)在x=3处的切线,∴f(3)=1,又点(3,1)在直线L上,∴3k+2=1,从而k=,∴f′(3)=k=,∵g(x)=xf(x),∴g′(x)=f(x)+xf′(x)则g′(3)=f(3)+3f′(3)=1+3×()=0,故选:B.【思路点拨】先从图中求出切线过的点,再求出直线L的方程,利用导数在切点处的导数值为切线的斜率,最后结合导数的概念求出g′(3)的值.10.已知点在角的终边上,且,则的值为A.
B.
C.
D.参考答案:C略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知实数x,y满足则z=2x+y的最大值是
.参考答案:10【考点】简单线性规划.【分析】由约束条件作出可行域,化目标函数为直线方程的斜截式,数形结合得到最优解,联立方程组求得最优解的坐标,代入目标函数得答案.【解答】解:由约束条件作出可行域如图,联立,解得A(4,2),化目标函数z=2x+y为y=﹣2x+z,由图可知,当直线y=﹣2x+z过A时,直线在y轴上的截距最大,z有最大值为10.故答案为:10.12.若一个球的体积为,则它的表面积为________________.参考答案:解析:由得,所以.13.一位同学种了甲、乙两种树苗各一株,分别观察了9次、10次得到树苗的高度数据的茎叶图如图(单位:厘米),则甲乙两种树苗高度的数据中位数和是
参考答案:52略14.设x1、x2、x3、x4为自然数1、2、3、4的一个全排列,且满足|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+|x4﹣4|=6,则这样的排列有
个.参考答案:9【考点】D8:排列、组合的实际应用.【分析】利用和值为6,分解为4个非负数的和,最大值为3,最小值为0,列出所有情况即可.【解答】解:x1、x2、x3、x4为自然数1、2、3、4的一个全排列,且满足|x1﹣1|+|x2﹣2|+|x3﹣3|+|x4﹣4|=6,可得4个数的和为6,共有,0+0+3+3=6;1+1+1+3=6;0+1+2+3=6;1+1+2+2=6;所有x1、x2、x3、x4分别为:0+0+3+3=6;类型有:4,2,3,1;1+1+1+3=6;类型有:2,3,4,1;4,1,2,3;0+1+2+3=6;类型有:4,1,3,2;4,2,1,3;3,2,4,1;2,4,3,1;1+1+2+2=6;类型有:2,4,1,3;3,1,4,2;共9种.故答案为:9.15.已知函数满足,则
.参考答案:略16.若向量a=(1,1),b=(-1,2),则a·b等于_____________.参考答案:1
本题主要考查了两向量的数量积。属容易题由17.将全体正整数排成一个三角形数阵:按照以上排列的规律,第n行(n≥3)从左向右的第3个数为 参考答案:三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.在中,角对的边分别为,已知.(1)若,求的取值范围;(2)若,求面积的最大值.
参考答案:(1)(2)解析:(1)………(2分).
………(6分)(2)………(8分)………(10分)当且仅当时,的面积取到最大值为.
………(12分).
略19.(本小题满分14分)已知函数.(Ⅰ)当时,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求函数的单调区间;(Ⅲ)若对任意,,且恒成立,求的取值范围.参考答案:定义域:(Ⅰ)切线:(Ⅱ)(Ⅲ)20.已知函数f(x)=ln(ax)+x2﹣ax(a为常数,a>0)(1)当a=1时,求函数f(x)在x=1处的切线方程;(2)当y=f(x)在x=处取得极值时,若关于x的方程f(x)﹣b=0在[0,2]上恰有两个不相等的实数根,求实数b的取值范围;(3)若对任意的a∈(1,2),总存在x0∈[,1],使不等式f(x0)>m(a2+2a﹣3)成立,求实数m的取值范围.参考答案:【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程;函数的零点与方程根的关系;其他不等式的解法.【分析】(1)a=1时求出f′(x),则切线斜率k=f′(1),求出切点,利用点斜式即可求得切线方程;(2)求导数f′(x),令f′()=0可得a,利用导数可求得函数f(x)在[0,2]上的最小值、最大值,结合图象可知只需满足直线y=b与y=f(x)的图象有两个交点即可;(3)先利用导数求出f(x)在[,1]上的最大值f(1)=ln()+1﹣a,则问题等价于对任意的a∈(1,2),不等式ln()+1﹣a﹣m(a2+2a﹣3)成立,然后利用导数研究不等式左边的最小值即可;【解答】解:(1)a=1时,,∴,于是,又f(1)=0,即切点为(1,0),∴切线方程为;(2),,即a2﹣a﹣2=0,∵a>0,∴a=2,此时,,∴上递减,上递增,又,∴;(3)f′(x)=+2x﹣a==,∵1<a<2,∴=<0,即,∴f(x)在[,2]上递增,∴f(x)max=f(1)=ln()+1﹣a,问题等价于对任意的a∈(1,2),不等式ln()+1﹣a>m(a2+2a﹣3)成立,设h(a)=ln(+a)+1﹣a﹣m(a2+2a﹣3)(1<a<2),则h′(a)=﹣1﹣2ma﹣2m=,又h(1)=0,∴h(a)在1右侧需先增,∴h′(1)≥0,m≤﹣,设g(a)=﹣2ma2﹣(4m+1)a﹣2m,对称轴a=﹣1﹣≤1,又﹣2m>0,g(1)=﹣8m﹣1≥0,所以在(1,2)上,g(a)>0,即h′(a)>0,∴h(a)在(1,2)上单调递增,h(a)>h(1)=0,即ln()+1﹣a>m(a2+2a﹣3),于是,对任意的a∈(1,2),总存在x0∈[,1],使不等式f(x0)>m(a2+2a﹣3)成立,m.21.(本小题满分13分)已知函数.(Ⅰ)若,求曲线在点处的切线方程;(Ⅱ)求函数的单调区间.参考答案:解:,
……………1分令.(Ⅰ)当时,函数,,.曲线在点处的切线的斜率为.
…………2分从而曲线在点处的切线方程为,即.
………………4分(Ⅱ)函数的定义域为.设,(1)当时,在上恒成立,则在上恒成立,此时在上单调递减.……………6分(2)当时,,(ⅰ)若,由,即,得或;……………8分由,即,得.………9分所以函数的单调递增区间为和,单调递减区间为.
……11分(ⅱ)若,在上恒成立,则在上恒成立,此时
在上单调递增.………………13分
22.(本小题满分14分)已知,点在轴上,点在轴的正半轴,点在直线上,且满足,.(Ⅰ)当点在轴上移动时,求动点的轨迹方程;(Ⅱ)过的直线与轨迹交于、两点,又过、作轨迹的切
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