中考高分的十八个关节9用代数式表示变化规律

第三 这种思想方法的是通过分析与研究提供的“变化片断”——一些连续的特殊情况，归纳概括出整个变化过程所“分类归纳型”；“递推归纳型”。1例1 如图，下列几何体是由棱长为1的小立方体按一定规律在地面上摆成的，若将露出的表面都涂上颜色（底面不涂色），则第n个几何体中只有两个面涂色的小立方体共有 ① ……③…………410……

424

434

……第n

4n4(n……… ……… 解:应选8n41010例2 如图,是用火柴棒摆出的一系列三角形图案,按这种方式摆下去,当每边上摆10根火柴棒时, 101010 【观察与思考】本题可以归结为在相应图形中求有多少个涂色的角形(所用火柴棒数就等于这样的三角形数再乘3).4 涂色三角 165

12

123

123410

123...10553【说明】12，都是统一系列变化的“图形”，首先是要分离出符合要求的部分，使问题简化与明晰化，例3世界上著名的莱布尼茨三角形如图所示：则排在第10行从左边数第3个位置上的数是 1A

B

D（2）每行中间及偏左的数，都等于它左上角的数减去它左边的数，如第3行中，111，如第7行中，1

1

1

依（1）和（2）9211

110211

10 3

B例4 探索nn的正方形钉子板上（n是钉子板每边上的钉子数），连接任意两个钉子所得到的不同长度值的线段 n

n

n

n22n21S2;22

2S

五种，比n23S235钉子数(nS2234）5（）写出(n1n1和(nn（用式子或语言表述均可对(nn的钉子板，写出用nS【观察与思考】n4时，钉子板上所连不同线段的长度值只有

。（这些是n3时已有的23,2

2（新增加的）——即左下角的钉子分别和最上一行四个钉子的所连线段的长——（第一层归纳n3时比n23n4时比n34(nn时比(n1n1)时多出n数 解:(1)两个括号内应分别埴: (nn的钉子板比(n1n1)的钉子板中不同长度值的线段种数增加了nS234 n2、分类归纳 例 观察下列等式：212,224，238，2416，2532，2664，27 发现的规律确定22008的个位数字 个位数 2的乘 21,25…归纳概括为24n1（n为自然数，下同 22,26…归纳概括为 23,27...归纳概括为 24,28归纳概括为2200824502，个位数字应为6解22008个位数应为6例

),分别 -4-4第一步，可以看出除了点A1外，其他各点均在象限内2-2--二

A2A6A10...A4n2（n为自然数 A,A,A...归纳概括为 A,A 归纳概括为 200745013,20084502A2007A2008点A1~

A5~

A9~

…归纳概括为

~ …

n200745013知其坐标的绝对值应为5011502；由20084502，知其坐标的绝对值应为502；将第一步和第二步结合，可得A2007和A2008的坐标A2007的坐标为(502,502A2008的坐标为(502,5023、递推归纳例 示意图，这种细胞每过30分钟便由1个成2个，根据此项规律可得 裂 ）这样的一个细胞经过n（n为正整数）小时 要 【观察与思考】如果假设,由1个细胞开始,经过m 后细胞数记为Pm,且记P01,依题意有P01,PP22,PP222,PP223,……m 后细胞数为2m，所以本题的结果为 解：（1）24 （2）2664；（3）【说明】本题当中Pm1pm2，即每经过一 后细胞数的2倍。就是一种“例8 如图（1），在RtABC中，C90,BC1,AC2，把边长分别为x1,x2,x3,……，xn的n个正方形依次放入ABC中，请回答下列问题：

第n个正方形的边长xn 【观察与思考】如图（1`），BCx0x01RtAB1C1RtABCB1C1

B

x,

ACx11

1 1

2

x2 2

0 22x2x133 2

2解：（1）依次应填 ；（2）

3 例9数字：第一个数是321，第二个数是532，第三个是954，第四个数是1798,…… 【观察与思考】本题解法获得的关键是从提供的数据中，借助于归纳得到递推规律：后一个数前一个数+（前一个数1），如第二个数第一个数（第一个数1），3，所以第二个数是325，……如此等等。找到这个递推关系，很容易有第五个数171633，第六个数333265。例10 若原正六边形的面积为a1 分割次数

(3)S与分割次数n有何关系?(S用含a和n的a

,则图(1`S63 1

1

1a

14

()a11a1a

1a1S（Sn）1

a 122，4；……y3x1，满足的对应值有(1,2，(2,5，(3,8)，（4,11，(5,14)，(6,17)1，32，6；……例 m

（用含n的代数式表示） n1m

n2m

n3m

n4m n（自变量）1，对应的函数值m3。因此，它们就应当成一次函数关系。这样，我们就可以用待定系mknb，由（1，5），（2，8）m3n解：应填3n例2 当用剪刀像图（3）那样沿虚线b(b//a)把绳子再剪一次时，绳子就被剪成9段。若用剪刀在虚线a,b之间把绳子剪(n2)次（剪刀的方向与a平行），这样一共剪n次时绳子的段数是 A4n

B4n

C、4n

D、4n13）14yknb，由（1，1），（2，5）y4n3本题要求的是“剪n次”，实际上是序号n1y4(n134n1。A。n刀则是第n1（3，13）y4n1例3 图(3),再将(3)中最小的某一个正六边形按同样的方式进行分割,…，则第n个图形中，其 可知mn的一次函数，用待定系数法（略）求得m3n(3n2)由函数思想和待定系数法,将那些可用一次函数表示的变化规律问题用统一而程序化的方式解决,对我们不是一种由函数思想和待定系数法,将那些可用一次函数表示的变化规律问题用统一而程序化的方式解决,对我们不是一种时，思考解法的重点不应再是归纳，而应直接从第n个情况中通过计算得出表示规律的代数式。例1 如图，是用火棍摆成边长分别是1，2，3根火柴棍时的正方形，当边长为n根火柴棍时，若摆出的正方形所用的火柴棍的根数为S，则S= 。（用含n的代数式表示，n为正整数）。…【观察与思考】这只要直接计算第n个图形（如上图所示）n1列，有行，共有n(n1S2n(n例 如图，已知ABC的面积SABC1

12

1141

13

A2B2C2

14

7

19

A8B8C8 CA CA 其实不用管图（1），（2），（3），可直接计算A8B8C8 1

1 表示AA 边AA上的高 AB)1

边AB上的高

8

1

ABh82

81

，SCC8

SABCS 25332 25332 1

序号（1）（2）（3）（4）周长6 2、观察下列球的排列规律（其中是实心球 是空心球）； 3、用火柴棒按下图中的方式搭图形，按照这种方式搭下去，搭第n个图形 4、用火柴棒按如图所示的方式摆图形，按照这样的规律继续摆下去，第4个图形需要 根火柴棒，第n个图形 根火柴棒（用含n的代数式表示）。…5、计算：2111，2213，2317，24115，25131，……归纳各计算结果中的个位数字规律，猜测220081的个位数字是（ A、 C、

A B C D

,,,

87293148729314O 5DE 上F位置，则P1000和P1001的横坐标x1000，x1001分别为 PBPB（9、已知等边三角形OAB的边长为aAB边上的高OA1为边，按逆时针方向作等边OA1B1A1B1与OBA2求线段OA2OA2OA2B2A2B2OB1A3OA3B3OA4B1OAnBn（如图），求OA6B6O 10、观察图（1）至图（5）中小黑点的摆放规律，并按照这样的规律继续摆放。记第nyn12345…y(2)当n8y13.7…,

1AB

DEEFFD，可得DEFADFS1S,DEF的面积S'11S1 1 1BAB

11C

1 CACB

11

DEF分别是等边ABC

BECF1AB（（2），若用S表示AD

2的面积S，则S ；若用S表示DE