2018版数学大复习讲义教师版文档第二章函数概念与基本初等函数I2.6含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精1．对数的概念如果a(a>0,a≠1)的b次幂等于N，即ab＝N，那么数b叫作以a为底N的对数，记作logaN＝b,其中a叫作对数的底数,N叫作真数．2．对数的性质与运算法则(1）对数的运算法则如果a〉0且a≠1，M>0,N〉0，那么①loga（MN)＝logaM＋logaN；②logaeq\f（M,N）＝logaM－logaN;③logaMn＝nlogaM（n∈R)；eq\f(n，m)logaM(m，n∈R且m≠0）．(2)对数的性质N；②logaaN＝N（a〉0,且a≠1）．（3)对数的重要公式①换底公式:logbN＝eq\f(logaN，logab)(a，b>0，a，b≠1，N>0）；②logab＝eq\f（1,logba),推广logab·logbc·logcd＝logad。3．对数函数的图像与性质a>10<a<1图像性质（1)定义域：(0，＋∞)（2）值域：R(3）过点(1，0），即x＝1时，y＝0(4)当x〉1时，y〉0,0<x〈1时，y<0(4)当x>1时，y〈0，0〈x<1时，y>0(5）是(0，＋∞)上的增函数(5）是（0，＋∞）上的减函数4。反函数指数函数y＝ax与对数函数y＝logax互为反函数,它们的图像关于直线y＝x对称．【知识拓展】1．换底公式的两个重要结论(1)logab＝eq\f(1,logba)；其中a>0且a≠1，b〉0且b≠1，m，n∈R。2．对数函数的图像与底数大小的比较如图，作直线y＝1,则该直线与四个函数图像交点的横坐标为相应的底数．故0〈c<d〈1<a<b.由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大．【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)（1）若MN〉0，则loga(MN)＝logaM＋logaN。(×)（2)logax·logay＝loga（x＋y）．（×)(3)函数y＝log2x及都是对数函数．（×）（4）对数函数y＝logax(a〉0且a≠1）在(0，＋∞）上是增函数．(×）(5)函数y＝lneq\f（1＋x,1－x）与y＝ln(1＋x）－ln(1－x）的定义域相同．（√）(6）对数函数y＝logax(a〉0且a≠1）的图像过定点（1,0）且过点(a，1),eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（\f（1,a），－1)），函数图像只在第一、四象限．（√）

1．（2016·江西吉安一中期中）log225·log34·log59的值为（）A．6B．8C．15D．30答案B解析log225·log34·log59＝2log25·eq\f（2,log23)·eq\f(2log23，log25）＝8.2．函数f(x)＝lg(|x|－1）的大致图像是()答案B解析由函数f(x）＝lg（｜x｜－1)的定义域为(－∞，－1）∪(1，＋∞），值域为R。又当x>1时,函数是增加的，所以只有选项B正确．3．已知则()A．a〉b>c B．b〉a〉cC．a>c>b D．c>a〉b答案C解析∵log3eq\f（10，3）〉log33＝1且eq\f(10，3）〈3。4,∴log3eq\f（10，3)〈log33.4<log23.4.∵log43。6〈log44＝1,log3eq\f(10，3)>1，∴log43.6<log3eq\f(10，3)。∴log23。4>log3eq\f(10,3）>log43。6.由于y＝5x为增函数，即故a〉c>b。4．（2016·成都模拟)函数y＝eq\r(log0。54x－3）的定义域为．答案（eq\f（3,4)，1]解析由log0.5（4x－3)≥0且4x－3〉0，得eq\f（3，4）<x≤1.5．(教材改编）若logaeq\f（3，4）<1(a〉0且a≠1），则实数a的取值范围是．答案eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1（0,\f（3，4)))∪(1，＋∞)解析当0〈a〈1时，logaeq\f(3，4)<logaa＝1，∴0〈a<eq\f（3,4）；当a〉1时，logaeq\f（3，4）〈logaa＝1,∴a>1.∴实数a的取值范围是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f（3,4）））∪（1,＋∞）。题型一对数的运算例1(1）已知loga2＝m,loga3＝n,则a2m＋n＝。（2)计算：eq\f(1－log632＋log62·log618，log64)＝.答案(1）12（2)1解析（1)∵loga2＝m，loga3＝n，∴am＝2，an＝3，∴a2m＋n＝(am)2·an＝22×3＝12.(2)原式＝eq\f（1－2log63＋log632＋log6\f（6，3）·log66×3，log64)＝eq\f（1－2log63＋log632＋1－log631＋log63,log64)＝eq\f(1－2log63＋log632＋1－log632,log64）＝eq\f（21－log63,2log62）＝eq\f（log66－log63,log62)＝eq\f（log62，log62)＝1.思维升华对数运算的一般思路（1）拆：首先利用幂的运算把底数或真数进行变形,化成分数指数幂的形式，使幂的底数最简，然后利用对数运算性质化简合并．（2)合:将对数式化为同底数的和、差、倍数运算，然后逆用对数的运算性质，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算．（1)若a＝log43，则2a＋2－a＝。(2)（2016·济南模拟)2(lgeq\r（2））2＋lgeq\r(2)·lg5＋eq\r(lg\r（2）2－lg2＋1)＝。答案(1）eq\f（4\r（3)，3)（2）1解析（1）∵a＝log43＝log223＝eq\f（1，2)log23＝log2eq\r(3),＝eq\r(3)＋eq\f(\r（3),3）＝eq\f（4\r(3）,3）。（2）原式＝2×（eq\f（1,2）lg2)2＋eq\f(1,2)lg2×lg5＋eq\r（lg\r（2)－12）＝eq\f（1，2)lg2(lg2＋lg5)＋1－eq\f(1,2)lg2＝eq\f（1，2)lg2＋1－eq\f（1，2)lg2＝1。题型二对数函数的图像及应用例2(1）已知函数y＝loga(x＋c)（a，c为常数，其中a>0,a≠1)的图像如图，则下列结论成立的是（）A．a〉1，c>1 B．a〉1，0<c〈1C．0〈a<1，c〉1 D．0<a<1,0〈c<1（2）（2016·合肥模拟)当0<x≤eq\f(1，2）时,4x<logax，则a的取值范围是（)A．(0,eq\f（\r(2）,2)） B．（eq\f(\r（2),2)，1）C．（1，eq\r（2）） D．（eq\r(2)，2)答案(1)D（2）B解析(1)由该函数的图像通过第一、二、四象限知该函数为减函数,∴0<a〈1，∵图像与x轴的交点在区间（0，1）之间，∴该函数的图像是由函数y＝logax的图像向左平移不到1个单位后得到的，∴0<c〈1。(2）构造函数f(x）＝4x和g（x）＝logax，当a〉1时不满足条件，当0<a〈1时，画出两个函数在(0,eq\f（1，2）］上的图像，可知f(eq\f(1,2）)〈g（eq\f(1，2）)，即2〈logaeq\f（1，2)，则a〉eq\f（\r（2),2）,所以a的取值范围为(eq\f(\r（2）,2)，1)．思维升华（1)对一些可通过平移、对称变换作出其图像的对数型函数，在求解其单调性（单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想求解．（2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图像问题,利用数形结合法求解．（1)若函数y＝logax(a>0且a≠1)的图像如图所示，则下列函数图像正确的是（）(2)（2016·新疆乌鲁木齐一诊）设f（x)＝|ln（x＋1）｜，已知f（a)＝f(b）(a<b）,则(）A．a＋b>0 B．a＋b〉1C．2a＋b>0 D．2a＋b>1答案(1）B（2)A解析(1）由题意y＝logax（a〉0且a≠1）的图像过（3,1)点，可解得a＝3。选项A中,y＝3－x＝（eq\f(1，3））x，显然图像错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图像性质可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图像不符；选项D中，y＝log3(－x）的图像与y＝log3x的图像关于y轴对称，显然不符，故选B.（2)作出函数f（x）＝|ln(x＋1)|的图像如图所示，由f(a）＝f（b）,得－ln(a＋1）＝ln(b＋1),即ab＋a＋b＝0,0＝ab＋a＋b<eq\f（a＋b2，4）＋a＋b，即（a＋b）(a＋b＋4）〉0，显然－1〈a<0，b〉0，∴a＋b＋4>0，∴a＋b〉0,故选A。题型三对数函数的性质及应用命题点1比较对数值的大小例3（2015·天津)已知定义在R上的函数f(x)＝2｜x－m|－1(m为实数)为偶函数，记a＝f(log0.53)，b＝f(log25），c＝f(2m),则a，b，c的大小关系为()A．a＜b＜c B．a＜c＜bC．c＜a＜b D．c＜b＜a答案C解析由f(x)＝2｜x－m|－1是偶函数可知m＝0,所以f(x)＝2|x|－1.所以c＝f（0）＝2|0｜－1＝0，所以c<a<b.命题点2解对数不等式例4(1)若logaeq\f(2,3）<1,则a的取值范围是．(2）(2016·北京东城区模拟)已知函数则不等式f(x)〉1的解集为．答案（1)(0，eq\f(2，3））∪（1，＋∞)（2)(－1,eq\f（1，3)）解析(1)当a>1时,函数y＝logax在定义域内为增函数,所以logaeq\f(2，3）<logaa总成立．当0〈a<1时，函数y＝logax在定义域内是减函数，由logaeq\f（2,3)〈logaa，得a<eq\f（2，3），故0<a<eq\f(2,3）.综上，a的取值范围为（0，eq\f（2,3)）∪（1，＋∞）．（2）若x≤0，则不等式f(x）>1可转化为3x＋1〉1⇒x＋1>0⇒x>－1，∴－1〈x≤0；若x>0，则不等式f(x)〉1可转化为logx>1⇒x〈eq\f(1,3）,∴0〈x〈eq\f(1，3）。综上,不等式f（x）>1的解集是（－1，eq\f（1，3）)．命题点3和对数函数有关的复合函数例5已知函数f(x)＝log4（ax2＋2x＋3）．（1)若f（1)＝1，求f(x)的单调区间；(2）是否存在实数a，使f(x）的最小值为0？若存在，求出a的值；若不存在,请说明理由．解(1)因为f（1）＝1，所以log4(a＋5）＝1，因此a＋5＝4，a＝－1，这时f（x)＝log4（－x2＋2x＋3)．由－x2＋2x＋3>0，得－1〈x<3,函数f（x)的定义域为（－1,3)．令g（x)＝－x2＋2x＋3，则g（x）在(－1，1）上递增，在（1，3）上递减．又y＝log4x在（0，＋∞)上递增，所以f（x）的单调递增区间是(－1，1），单调递减区间是(1,3）．（2）假设存在实数a，使f(x）的最小值为0，则h（x)＝ax2＋2x＋3应有最小值1,即eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a>0，,\f(3a－1，a)＝1，））解得a＝eq\f（1,2）。故存在实数a＝eq\f（1，2)使f（x)的最小值为0。思维升华(1)对数值大小比较的主要方法①化同底数后利用函数的单调性；②化同真数后利用图像比较；③借用中间量(0或1等）进行估值比较．（2)解决与对数函数有关的复合函数问题，首先要确定函数的定义域，根据“同增异减”原则判断函数的单调性，利用函数的最值解决恒成立问题．（1）设函数f（x)＝eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(21－x，x≤1，，1－log2x，x〉1，））则满足f(x)≤2的x的取值范围是()A．［－1,2] B．［0,2］C．［1,＋∞) D．［0，＋∞）(2)若f（x）＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减,则a的取值范围为()A．[1，2） B．[1,2］C．［1，＋∞） D．[2，＋∞）答案(1）D(2)A解析(1)当x≤1时，21－x≤2,解得x≥0，所以0≤x≤1；当x〉1时，1－log2x≤2，解得x≥eq\f(1,2)，所以x>1。综上可知x≥0。(2)令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝（x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在（－∞，1]上递减，则有eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(g1>0,,a≥1，))即eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a〉0，，a≥1,）)解得1≤a<2，即a∈[1,2)，故选A.3．比较指数式、对数式的大小考点分析比较大小问题是每年高考必考内容之一：(1)比较指数式和对数式的大小，可以利用函数的单调性,引入中间量；有时也可用数形结合的方法．（2）解题时要根据实际情况来构造相应的函数,利用函数单调性进行比较,如果指数相同,而底数不同则构造幂函数，若底数相同而指数不同则构造指数函数，若引入中间量，一般选0或1.典例（1）(2016·全国乙卷)若a>b>0，0〈c〈1，则（）A．logac〈logbc B．logca<logcbC．ac〈bc D．ca〉cb(2)（2016·河南八市质检）若a＝20。3，b＝logπ3,c＝log4cos100，则（）A．b〉c〉a B．b>a>cC．a>b>c D．c〉a>b（3)若实数a，b，c满足loga2<logb2〈logc2，则下列关系中不可能成立的是(）A．a〈b〈c B．b<a<cC．c〈b〈a D．a〈c<b解析（1）对A:logac＝eq\f(lgc，lga)，logbc＝eq\f（lgc,lgb），因为0〈c〈1，所以lgc〈0，而a〉b〉0，所以lga>lgb，但不能确定lga、lgb的正负，所以它们的大小不能确定，所以A错；对B：logca＝eq\f（lga，lgc),logcb＝eq\f（lgb，lgc)，而lga〉lgb，两边同乘以一个负数eq\f（1，lgc）改变不等号方向，所以B正确；对C:由y＝xc在第一象限内是增函数，即可得到ac〉bc,所以C错；对D：由y＝cx在R上为减函数，得ca<cb，所以D错．故选B.(2)因为20。3〉20＝1，0＝logπ1<logπ3〈logππ＝1，log4cos100〈log41＝0，所以a>b〉c,故选C。（3)由loga2〈logb2〈logc2的大小关系，可知a，b,c有如下四种可能：①1<c〈b〈a；②0〈a〈1〈c<b；③0<b<a〈1<c；④0<c<b<a<1。对照选项可知A中关系不可能成立．答案（1）B（2）C(3)A1．函数y＝eq\f(lgx＋1，x－1）的定义域是（)A．(－1，＋∞） B．［－1，＋∞）C．（－1，1)∪（1，＋∞） D．［－1,1)∪（1，＋∞）答案C解析要使eq\f(lgx＋1,x－1）有意义,需满足x＋1>0且x－1≠0，得x>－1且x≠1.2．设a＝log37,b＝21.1，c＝0.83。1，则（)A．b〈a<c B．c<a<bC．c〈b<a D．a〈c〈b答案B解析∵a＝log37，∴1<a〈2.∵b＝21。1，∴b〉2.∵c＝0。83.1，∴0〈c〈1。即c<a〈b,故选B。3．函数y＝2log4（1－x）的图像大致是（）答案C解析函数y＝2log4(1－x)的定义域为(－∞，1）,排除A、B；又函数y＝2log4（1－x)在定义域内是减少的,排除D。故选C.4．（2016·吉林模拟)已知函数f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（log25－x，x≤1，,fx－1＋1，x>1，））则f(2018）等于（）A．2019 B．2018C．2017 D．2016答案A解析由已知f（2018)＝f(2017）＋1＝f（2016)＋2＝f（2015）＋3＝…＝f(1）＋2017＝log2(5－1）＋2017＝2019。5．(2016·太原模拟）设f(x）＝lg（eq\f（2，1－x)＋a）是奇函数，则使f（x）〈0的x的取值范围是（)A．（－1,0) B．(0，1)C．（－∞，0） D．（－∞，0)∪(1，＋∞)答案A解析∵f（x）为奇函数，∴f（0）＝0，即eq\f（2,1－0)＋a＝1，∴a＝－1.∴f（x)＝lgeq\f(x＋1，1－x)，由f(x)<0，得0〈eq\f（x＋1，1－x)<1，∴－1<x〈0.6．若函数f（x)＝loga（x2＋eq\f（3,2)x）（a>0,a≠1)在区间（eq\f(1,2)，＋∞）内恒有f（x）〉0，则f(x)的单调递增区间为(）A．(0，＋∞） B．(2，＋∞）C．(1，＋∞) D．（eq\f(1,2），＋∞）答案A解析令M＝x2＋eq\f(3,2）x，当x∈(eq\f（1，2)，＋∞)时，M∈(1，＋∞),f（x)>0，所以a〉1，所以函数y＝logaM为增函数，又M＝（x＋eq\f（3,4))2－eq\f(9,16)，因此M的单调递增区间为（－eq\f（3，4），＋∞）．又x2＋eq\f(3,2）x〉0,所以x〉0或x〈－eq\f(3,2）,所以函数f（x）的单调递增区间为（0,＋∞)．7．(2016·渭南模拟)若x∈(e－1，1)，a＝lnx，b＝2lnx，c＝ln3x,则a，b，c的大小关系为．答案b〈a<c解析∵e－1<x〈1,∴－1<lnx〈0,∴2lnx<lnx〈ln3x,即b<a〈c。8．函数的最小值为．答案－eq\f(1，4)解析＝eq\f(1，2)log2x·2log2(2x）＝log2x(1＋log2x)．设t＝log2x(t∈R),则原函数可以化为y＝t（t＋1）＝（t＋eq\f(1,2））2－eq\f(1，4)(t∈R)，故该函数的最小值为－eq\f(1,4)，故f(x）的最小值为－eq\f(1,4）.9．已知函数f（x)＝loga（2x－a）在区间[eq\f(1，2),eq\f（2,3)]上恒有f（x)>0，则实数a的取值范围是．答案(eq\f(1，3）,1)解析当0<a〈1时，函数f（x）在区间[eq\f(1，2），eq\f(2,3）］上是减函数,所以loga(eq\f（4,3)－a）>0，即0<eq\f(4,3）－a<1，解得eq\f（1，3)<a<eq\f（4,3），故eq\f(1,3)〈a〈1;当a〉1时,函数f(x)在区间［eq\f(1,2），eq\f(2,3）]上是增函数,所以loga（1－a)>0，即1－a〉1，解得a<0,此时无解．综上所述，实数a的取值范围是（eq\f(1,3），1）．10。（2016·南昌模拟)关于函数f（x)＝lgeq\f(x2＋1，|x|)(x≠0，x∈R)有下列命题：①函数y＝f(x）的图像关于y轴对称；②在区间（－∞，0）上,函数y＝f(x)是减函数；③函数f(x)的最小值为lg2；④在区间（1,＋∞）上,函数f（x)是增函数．其中是真命题的序号为．答案①③④解析∵函数f（x)＝lgeq\f（x2＋1，|x｜)（x≠0,x∈R），显然f(－x)＝f（x)，即函数f（x）为偶函数，图像关于y轴对称，故①正确；当x>0时，f（x)＝lgeq\f（x2＋1，｜x|）＝lgeq\f（x2＋1,x)＝lg（x＋eq\f(1,x）),令t（x）＝x＋eq\f(1,x），x>0，则t′(x）＝1－eq\f(1,x2)，可知当x∈(0,1）时，t′(x）<0,t(x）是减少的，当x∈(1,＋∞）时，t′（x)>0，t（x）是增加的，即在x＝1处取得最小值为2。由偶函数的图像关于y轴对称及复合函数的单调性可知②错误，③正确，④正确，故答案为①③④.11．已知函数f(x）＝lneq\f(x，1－x）,若f(a）＋f（b）＝0，且0<a<b〈1，则ab的取值范围是．答案eq\b\lc\(\rc\）（\a\vs4\al\co1（0，\f（1,4））)解析由题意可知lneq\f(a，1－a)＋lneq\f（b,1－b)＝0，即lneq\b\lc\(\rc\)（\a\vs4\al\co1(\f(a,1－a）×\f(b,1－b））)＝0，从而eq\f（a，1－a)×eq\f(b，1－b)＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a）＝－a2＋a＝－eq\b\lc\（\rc\）（\a\vs4\al\co1(a－\f(1，2）））2＋eq\f(1，4)，又0<a〈b<1，∴0〈a〈eq\f（1，2）,故0<－eq\b\lc\（\rc\)（\a\vs4\al\co1（a－\f（1,2)）)2＋eq\f（1,4)〈eq\f(1,4).12.设f(x）